数学理卷·2018届北京市石景山区高三3月统一测试（一模）（2018

数学理卷·2018届北京市石景山区高三3月统一测试（一模）（2018

‎2018年石景山区高三统一测试 数学（理）试卷 第一部分（选择题共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1.设集合，集合，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的函数为（　　）‎ 是 开始 否 输出 结束 A．　　　　　　B．‎ C． D． ‎ ‎3.执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（　　）‎ A．　　　　　　　 　B．‎ C．　　　　　　　 　 D．‎ ‎4.在中，，，‎ ‎，则的面积为（　　）‎ A．　　　　　 B．‎ C．　　　　　 D．‎ ‎5.若某多面体的三视图（单位：）如图所示，‎ 则此多面体的体积是（　　）‎ ‎ A.　 ‎ B. ‎ C. 　 ‎ D.‎ ‎6.现有种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，‎ 则不同的涂色方法共有（　　）‎ ‎ A．种　　 B．种　 　C．种　　 D．种 ‎7.设，则“”是“”的（　　）‎ ‎ A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件 C．充要条件　　　　　　D．既不充分又不必要条件 B A C D ‎8.如图，已知线段上有一动点（异于）,线段,且满足（是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（　　）‎ ‎ A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9.双曲线的焦距是________,渐近线方程是________.‎ ‎10.若变量满足则的最大值是____________.‎ ‎11.已知圆的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，则直线截圆所得的弦长是_____________．‎ ‎12. 已知函数，若关于的方程有两个不同零点，则的取值范围是_____________．‎ ‎13.如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上 再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股 树”．若某勾股树含有个正方形，且其最大的正方形的边长 为，则其最小正方形的边长为________．‎ ‎14.设是由一平面内的个向量组成的集合．若，且的模不小于中除外的所有向量和的模．则称是的极大向量.有下列命题：‎ ‎①若中每个向量的方向都相同，则中必存在一个极大向量；‎ ‎②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量；‎ ‎③若中的每个元素都是极大向量，且中无公共元素，则中的每一个元素也都是极大向量．‎ ‎ 其中真命题的序号是_______________．‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题共13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期;‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值.‎ ‎16．（本小题共13分）‎ 抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内 ‎20名同学今年春节期间抢到红包金额（元）如下（四舍五入取整数）：‎ ‎102 52 41 121 72 ‎ ‎162 50 22 158 46‎ ‎43 136 95 192 59‎ ‎99 22 68 98 79‎ 对这20个数据进行分组，各组的频数如下：‎ 组别 红包金额分组 频数 A ‎0≤x＜40‎ ‎2‎ B ‎40≤x＜80‎ ‎9‎ C ‎80≤x＜120‎ m D ‎120≤x＜160‎ ‎3‎ E ‎160≤x＜200‎ n ‎（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；‎ ‎（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为、，E组红包金额的平均数与方差分别为、，试分别比较与、与的大小；（只需写出结论）‎ ‎（Ⅲ）从A，E两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为，求的分布列和数学期望．‎ ‎17．（本小题共14分）‎ 如图，四边形是正方形，平面，//，，，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：//平面；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的大小．‎ ‎18．（本小题共13分）‎ 在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与它到直线的距离相等．‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设动直线与曲线相切于点，与直线相交于点．‎ 证明：以为直径的圆恒过轴上某定点．‎ ‎19．（本小题共14分）‎ 已知，曲线在处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求在上的最大值；‎ ‎（Ⅲ）当时，判断与交点的个数.（只需写出结论，不要求证明）‎ ‎20．（本小题共13分）‎ 对于项数为（）的有穷正整数数列,记（），即为中的最大值，称数列为数列的“创新数列”.比如的“创新数列”为.‎ ‎（Ⅰ）若数列的“创新数列”为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列；‎ ‎（Ⅱ）设数列为数列的“创新数列”，满足（），求证：（）；‎ ‎（Ⅲ）设数列为数列的“创新数列”，数列中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列.‎ ‎2018年石景山区高三统一测试 数学（理）试卷答案及评分参考 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A B C C A D C B 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎，‎ ‎②③‎ ‎（两空题目，第一空2分，第二空3分）‎ 三、解答题共6小题，共80分．‎ ‎15．（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ ………………5分 所以周期为. ………………6分 ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以. ………………7分 所以当时，即时.‎ 当时,即时. …………13分 ‎16．（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）m=4，n=2，B； ………………… 3分 ‎（Ⅱ）<，<； ………………… 6分 ‎（Ⅲ）的可能取值为0，30，140，170，‎ ‎0‎ ‎30‎ ‎140‎ ‎170‎ ‎ 的数学期望为．‎ ‎ ………………… 13分 ‎17．（本小题共14分）‎ ‎ （Ⅰ）证明：依题意，平面．　‎ 如图，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系． ……2分 依题意，可得，，，，，，．　‎ 因为，，‎ 所以． 　……5分 所以. ……6分 ‎（Ⅱ）证明：取的中点，连接．‎ 因为，，，‎ 所以，‎ 所以． ……8分 又因为平面，平面，‎ 所以平面． ……9分 ‎（Ⅲ）解：因为，，‎ ‎，‎ 所以平面，故为平面的一个法向量．……10分 设平面的法向量为，‎ 因为，，‎ 所以 即 令，得，，故． ……12分 所以， ……13分 所以二面角的大小为． ……14分 ‎18．（本小题共13分）‎ ‎（Ⅰ）解：设动点E的坐标为，‎ 由抛物线定义知，动点E的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，‎ 所以动点E的轨迹C的方程为． ……………5分 ‎（Ⅱ）证明：由，消去得：．‎ 因为直线l与抛物线相切，所以，即． ……8分 所以直线l的方程为．‎ 令，得．‎ 所以Q． ……………10分 设切点坐标，则，‎ 解得：， ……………11分 设，‎ 所以当，即 所以 所以以PQ为直径的圆恒过轴上定点． ……………13分 ‎19．（本小题共14分）‎ 解：（Ⅰ）,‎ 由已知可得，‎ ‎ 解之得． …………3分 ‎（Ⅱ）令．‎ ‎ 则, …………5分 故当时，，在单调递减；‎ ‎ 当时，，在单调递增；‎ ‎ 所以， …………8分 故在单调递增，‎ 所以． ………11分 ‎（Ⅲ）当时，与有两个交点. ………14分 ‎20．（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）所有可能的数列为；；；‎ ‎ …………3分 ‎（Ⅱ）由题意知数列中. ‎ 又，所以 …………4分 所以，即（） …………8分 ‎（Ⅲ）当时，由得，又 ‎ 所以，不满足题意；‎ 当时，由题意知数列中，又 当时此时，而，所以等式成立；‎ 当时此时，而，所以等式成立；‎ 当，得，此时数列为. ‎ 当时，，而，所以不存在满足题意的数列.‎ 综上数列依次为. …………13分 ‎【注：若有其它解法，请酌情给分】‎