数学（文）卷·2017届天津市河东区高三第二次模拟考试（2017

数学（文）卷·2017届天津市河东区高三第二次模拟考试（2017

河东区2017年高考二模考试 数学试卷（文史类）‎ 第Ⅰ卷（共40分）‎ 一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知复数,,若为实数,则实数的值是( )‎ A． B．-1 C． D．1‎ ‎2. 设集合,,则 ( )‎ A．(0,1) B．(-1,2) C． D．‎ ‎3. 已知函数 ().若,则 ( )‎ A． B． C．2 D． 1‎ ‎4. 若,，直线:,圆:.命题:直线与圆相交；命题：.则是的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5. 为丰富少儿文体活动，某学校从篮球，足球，排球，橄榄球中任选2种球给甲班学生使用，剩余的2种球给乙班学生使用，则篮球和足球不在同一班的概率是( )‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 已知抛物线的准线与双曲线相交于，两点，点为抛物线的焦点，为直角三角形，则双曲线的离心率为( )‎ A．3 B． C.2 D．‎ ‎7. 若数列，的通项公式分别为，，且，对任意恒成立，则实数的取值范围是( )‎ A． B．[-1,1） C.[-2,1) D．‎ ‎8. 已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是( )‎ A．[-1,1) B．[-1,2) C. [-2,2) D．[0,2]‎ 第Ⅱ卷（共110分）‎ 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9.函数的单调递增区间为 ．‎ ‎10.执行如图所示的程序框图，若输入的，值分别为0和9，则输出的值为 ．‎ ‎11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．‎ ‎12.已知，，且，则的最小值是 ．‎ ‎13.已知，在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则值为 ．‎ ‎14.如图，已知中，点在线段上，点在线段上，且满足 ‎，若，，，则的值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15. 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.投资人对甲乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？最大盈利额为多少？‎ ‎16. 在中，内角，，对应的边分别为，，，已知.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的面积.‎ ‎17. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，为线段上一点，，且为的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎18. 已知数列的前项和，是等差数列，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列的前项和.‎ ‎19. 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且.直线与轴、轴分别交于，两点.设直线，的斜率分别为，，证明存在常数使得，并求出的值.‎ ‎20.选修4-4：坐标系与参数方程 设函数，.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的极小值；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数零点的个数；‎ ‎（Ⅲ）若对任意的，恒成立，求的取值范围.‎ 河东区2017年高考二模考试 数学试卷（文史类）参考答案 一、选择题 ‎1-5:ADABC 6-8:ADB 二、填空题 ‎9. 10.3 11. 12. 13. 14.-2‎ 三、解答题 ‎15.解：设甲、乙两个项目的投资分别为万元，万元，利润为（万元），由题意有：‎ 即.作出不等式组的平面区域：‎ 当直线过点时，纵横距最大，这时也取得最大值.‎ 解方程组.得，，即.‎ ‎.‎ 故投资人投资甲项目4万元，投资乙项目6万元，可能的盈利最大，最大盈利7万元.‎ ‎16.解：（Ⅰ）∵，则，∴.‎ ‎∵为三角形内角，则，则，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理可知，∴.‎ ‎∵.‎ ‎∴.‎ ‎17.解：（1）取，中点，，连，，，由为中点，所以，且.由，，则，又，则.‎ 所以四边形为平行四边形，所以，且面，面，则面.‎ ‎（2）∵，∴，又，所以四边形为平行四边形，故.又∵面.面，∴.又，所以面，∵面，∴面面.‎ ‎（3）过作，垂足为.由（2）知面面，面面，面，∴面，连接，.‎ 则为在平面上的射影，∴为与平面所成角. 中 ‎，‎ ‎，，‎ ‎∴与平面所成角正弦值为.‎ ‎18. 解：（Ⅰ）由题知，当时，；当时，，符合上式.‎ 所以.设数列的公差，由即为，解得，，所以.‎ ‎（Ⅱ），，则 ‎，‎ ‎，‎ 两式作差，得 ‎.‎ 所以.‎ ‎19. 解：（Ⅰ）∵，∴，，∴.①‎ 设直线与椭圆交于，两点，不妨设点为第一象限内的交点.∴，∴代入椭圆方程可得.②‎ 由①②知，，所以椭圆的方程为：.‎ ‎（Ⅱ）设，则，直线的斜率为，又，故直线的斜率为.设直线的方程为，由题知 ‎，联立，得.‎ ‎∴，，由题意知，‎ ‎∴，直线的方程为.‎ 令，得，即，可得，∴，即.‎ 因此存在常数使得结论成立.‎ ‎20. 解：（1）由题设，当时，，易得函数的定义域为，‎ ‎.∴当时，，在上单调递减；‎ ‎∴当时，，在上单调递增；所以当时，取得极小值，所以的极小值为2.‎ ‎（2）函数，令，得.‎ 设，则.‎ ‎∴当时，，在（0,1）上单调递增；‎ ‎∴当时，，在上单调递减；‎ 所以的最大值为，又，可知：‎ ‎①当时，函数没有零点；‎ ‎②当时，函数有且仅有1个零点；‎ ‎③当时，函数有2个零点；‎ ‎④当时，函数有且只有1个零点.‎ 综上所述：‎ 当时，函数没有零点；当或时，函数有且仅有1个零点；当时，函数有2个零点.‎ ‎（3）对任意，恒成立，等价于恒成立. .‎ 设，∴等价于在上单调递减.‎ ‎∴在上恒成立，‎ ‎∴恒成立，‎ ‎∴（对，仅在时成立）.‎ ‎∴的取值范围是.‎