数学卷·2017届上海市徐汇区高三上学期学习能力诊断（一模）（2016

数学卷·2017届上海市徐汇区高三上学期学习能力诊断（一模）（2016

‎ 2016-2017学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 高三年级数学学科 ‎ 2016．12‎ 一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分（或5分），否则一律得0分．‎ 1. ‎____________．‎ 2. 已知抛物线的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在轴上，若经过点，则其焦点到准线的距离为____________．‎ 3. 若线性方程组的增广矩阵为，解为，则____________．‎ 4. 若复数满足：（是虚数单位），则=______．‎ 5. 在的二项展开式中第四项的系数是____________．（结果用数值表示）‎ 6. 在长方体中，若，则异面直线与所成角的大小为____________．‎ 7. 若函数的值域为，则实数的取值范围是____________．‎ 8. 如图：在中，若，则=____________．‎ 9. 定义在上的偶函数，当时，，则在上的零点个数为___________个．‎ 10. 将辆不同的小汽车和辆不同的卡车驶入如图所示的个车位中的某个内，其中辆卡车必须停在与的位置，那么不同的停车位置安排共有____________种？（结果用数值表示）‎ ‎　　　‎ 1. 已知数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为．设，若数列是递减数列，则实数的取值范围是____________．‎ 2. 若使集合中的元素个数最少，则实数的取值范围是_______________．‎ 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．‎ 3. ‎“”是“”成立的（ ） ‎ ‎（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 ‎（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 4. 若（是虚数单位）是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 5. 已知函数为上的单调函数，是它的反函数，点和点均在函 数的图像上，则不等式的解集为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 6. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，给出下列三个判断：‎ ① 到、、、四点的 距离之和为定值；‎ ② 曲线关于直线、均对称；‎ ③ 曲线所围区域面积必小于36.‎ 上述判断中正确命题的个数为（ ）‎ ‎（A）个 （B）个 （C）个 （D）个 三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ 1. ‎（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．‎ 如图，已知平面，，，‎ ‎，是的中点．‎ ‎（1）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；‎ ‎（2）求绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积（结果保留）．‎ 2. ‎（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，求的值域；‎ ‎（2）已知的内角的对边分别为，若，‎ 求的面积．‎ 1. ‎（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．‎ 某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）．（注：利润与投资额的单位均为万元）‎ ‎（1）分别将A、B两种产品的利润、表示为投资额的函数；‎ ‎（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？‎ 2. ‎（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．‎ 如图：双曲线：的左、右焦点分别为，过作直线交轴于点．‎ ‎（1）当直线平行于的一条渐近线时，求点到直线的距离；‎ ‎（2）当直线的斜率为时，在的右支上是否存在点，满足？若存在，‎ 求出点的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）若直线与交于不同两点，且上存在一点，满足 ‎（其中为坐标原点），求直线的方程．‎ 1. ‎（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．‎ 正数数列、满足：，且对一切，是与的等差中项，是与的等比中项．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）求证：是等差数列的充要条件是为常数数列；‎ ‎（3）记，当时，指出与的大小关系并说明理由．‎ 参考答案 一、 填空题：(共54分，第1题至第6题每小题4分；第7题至第12题每小题5分)‎ ‎1. 2. 3. 4. 5. 6. ‎ ‎7. 8. 9. 10. ‎ ‎11. 12. ‎ 二、 选择题：(共20分，每小题5分)‎ ‎13. C 14. D 15. C 16. C ‎ 一、 解答题 ‎17、解：（1）平面，，又，‎ 平面，‎ 所以就是与平面所成的角.………4分 在中，，………………………………………6分 所以，‎ 即与平面所成的角的大小为.………………………8分 ‎（2）绕直线旋转一周所构成的旋转体，是以为底面半径、为高的圆锥中挖去一个以为底面半径、为高的小圆锥. ………10分 所以体积. ……………14分.‎ ‎18、解：（1）由条件得：，‎ ‎ 即………2分 ‎，………3分 因为，所以 因此的值域是………6分 ‎（2）由，化简得，‎ 因为，所以，所以，即.………8分 由余弦定理得：，所以，‎ 又，解得，………12分 所以.………14分 ‎19、解：（1）.……3分，‎ ‎.………6分 ‎（2）设B产品的投资额为万元，则A产品的投资额为（）万元，‎ 创业团队获得的利润为万元，‎ 则.………10分 令，，即，‎ 当，即时，取得最大值………13分 答：当B产品的投资额为万元时，创业团队获得的最大利润为万元.……14分 ‎20、解：（1）易得，，的渐近线方程为，由对称性，‎ 不妨设,即，------------------2分 ‎ 所以，到的距离.-----------------------------4分 ‎（2）当直线的斜率为时，的方程为，------------------------5分 ‎ 因此，， -----------------------------6分 ‎ 又，故，‎ ‎ 设右支上的点的坐标为，则，‎ ‎ 由，得，-----------------------8分 ‎ 又，联立消去得，‎ ‎ 由根与系数的关系知，此方程无正根，‎ 因此，在双曲线的右支上不存在点，满足. --------------------10分 ‎（3）设，则， ----------------11分 ‎ 由点在曲线上，故(*) ‎ ‎ 设 联立与的方程，得---------------------------12分 ‎ 由于与交于不同两点，所以，.‎ ‎ 所以，，‎ ‎ 因此，. ------------14分 ‎ 从而(*)即为，‎ ‎ 解得. ‎ 即直线的方程为 . -------------------------------------------16分 ‎21、解：（1）由条件得，即=，=.----------4分 ‎（2）充分性：当为常数数列时，是公差为零的等差数列；--------------5分 必要性：当为等差数列时，对任意恒成立，‎ ‎----------------------------------------------------------------------6分 而 ‎=+‎ ‎= ‎ ‎=‎ ‎= ‎ ‎=，‎ 因为，所以，即，-------------9分 从而对恒成立,‎ 所以为常数列. ------------------------------------------------------------------------10分 ‎（3）因为任意，，--------------12分 又已知，所以. ‎ 从而 ‎=，‎ 即， ----------------------------------------------------------------------------------14分 则…，----------------------------------------------16分 所以++=<.-------------------18分