数学理卷·2017届四川省成都市龙泉驿区第一中学校高三下学期入学考试（2017

数学理卷·2017届四川省成都市龙泉驿区第一中学校高三下学期入学考试（2017

成都龙泉中学2014级高三下期入学考试试卷 数 学（理工类）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。满分150分，考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷(选择题，共60分)‎ 注意事项：‎ ‎ 1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.‎ ‎ 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，若，则实数的取值集合为 A. B. C. D.‎ ‎2. 已知是虚数单位，若，则 ‎ A. 2+i B. 2-i C. -1+i D. -1-i ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4.某几何体的三视图如图所示，则该【来源：全,品…中&高*考+网】几何体的体积为 A B C D ‎ ‎5.中，边上的高为，若，则 A． B． C． D． ‎ ‎6．如下图，将绘有函数的部分图象的纸片沿轴折【来源：全,品…中&高*考+网】成直二面角，若AB之间的空间距离为，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点(，－2)到焦点的距离为5，则的值为 ‎ A．　 B． C． D．‎ ‎8. 椭圆的一个焦点为，该椭圆上有一点，满足△是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为 ‎ 【来源：全,品…中&高*考+网】 A.1 ‎ ‎ B.2 ‎ ‎ C.3 ‎ ‎ D.4‎ ‎10.已知不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为【来源：全,品…中&高*考+网】 A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎12.要得到函数的图象，应该把函数的图象做如下变换 ‎ A.将图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变 ‎ B.沿向左平移个单位，再把得图象上的每一点横坐标伸长到原来的而纵坐标不变 ‎ C.先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变，再将所得图象沿向右平移个单位 ‎ D.先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变，再将所得图象沿向左平移个单位 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)‎ 二、填空题（本体包括4小题，每小题4分，共20分）‎ ‎13.二项式的展开式中常数项为_______.‎ ‎14、已知 （）的展开式中的系数为11．则当的系数取得最小值时，展开式中的奇次幂项的系数之和为___________．‎ ‎15.已知直线：（为常数）和双曲线恒有两个公共点，则斜率的取值范围为________．‎ ‎16、将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题成为“可换命题”.给出下列四个命题①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行.（平面不重合、直线不重合）其中是“可换命题”的是 。 ‎ 三、解答题（本题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎17.（本小题满分12分）已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-错误！未找到引用源。.‎ ‎(1)若0<α<错误！未找到引用源。,且sin α=错误！未找到引用源。,求f(α)的值;‎ ‎(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.‎ ‎18.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：‎ 出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 频数 ‎60‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值；‎ ‎(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值；‎ ‎(3)求续保人本年度的平均保费的估计值.‎ ‎19.（本小题满分12分）边长为的正方形所在的平面与所在的平面交于，且平面，．‎ ‎(I)求证:平面平面；‎ ‎(II)设点是棱上一点，若二面角的余弦值为，试确定点在上的位置．‎ ‎20.已知函数f(x)＝，【来源：全,品…中&高*考+网】数列{an}满足：2an＋1－2an＋an＋1an＝0且an≠0.数列{bn}中，b1＝f(0)且bn＝f(an－1)．‎ ‎(1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和Sn；‎ ‎(3)求数列{|bn|}的前n项和Tn；‎ ‎21.已知为实常数，函数.‎ ‎（1）若在是减函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时函数有两个不同的零点，求证：且.（注：为自然对数的底数）；‎ ‎（3）证明 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分10分。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 ‎ 在平面直角坐标系中，曲线为参数）经过伸缩变换后的曲线为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。‎ ‎ （Ⅰ）求的极坐标方程；‎ ‎ （Ⅱ）设曲线的极坐标方程为，且曲线与曲线相交于两点，求的值。‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】23．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知函数．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）解不等式.‎ 成都龙泉中学2014级高三下期入学考试试卷 数学（理工类）参考答案 ‎1—6 AADBDB 7—12 CABBBC ‎ ‎13. 24 14. 22 15、（－，） 16、ƒ ‎17 .（本小题满分12分）‎ ‎（1）解:(方法一)(1)因为0<α<,sin α=,所以cos α=.---------------2分 所以f(α)=.-------------------------------------------5分 ‎（2）因为f(x)=sin xcos x+cos2x- ‎=sin 2x+---------------------------------------6分 ‎=sin 2x+cos 2x=sin,----------------------7分 所以T==π.-----------------------------------------------9分 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,‎ 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.------------------------------------ -------11分 所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.-------------12分 ‎（其它解法酌情给分）‎ ‎18.解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.‎ ‎(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4，由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.‎ ‎(3)由所给数据得 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a ziyuanku.com频率 ‎0.30‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.‎ 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.‎ ‎19.(1)∵平面，∴，又∵，，∴面．‎ 又面，∴平面平面．‎ ‎(2)由（1）知，CD⊥平面ADE，又DE 平面ADE，所以，∴如图，建立空间直角坐标系， ‎ 则，∴，∴．‎ 设，则．‎ 设平面的法向量为，‎ 则，∴取，‎ 又平面的法向量为，‎ ‎∴，∴，‎ 故当点满足时，二面角的余弦值为．‎ ‎20.(1)解由2an＋1－2an＋an＋1an＝0得－＝，所以数列是等差数列．---------4‎ 而b1＝f(0)＝5，所以＝5，7a1－2＝5a1，所以a1＝1，‎ ＝1＋(n－1)，所以an＝ -----6‎ ‎(2) 解 ‎------8‎ ‎(3) 解　因为an＝.所以bn＝＝7－(n＋1)＝6－n.‎ 当n≤6时，Tn＝(5＋6－n)＝；‎ 当n≥7时，Tn＝15＋(1＋n－6)＝.‎ 所以，Tn＝------12‎ ‎21.【解析】（1）因，则，又在是减函数 所以在时恒成立，则实数的取值范围为 ‎（2）因当时函数有两个不同的零点，则有，‎ 则有.设 . .‎ 当 时， ；当 时， ；‎ 所以在 上是增函数，在 上是减函数. 最大值为 .‎ 由于 ，且 ，所以 ，又，所以.‎ 下面证明：当时， .设 ，‎ 则 .在 上是增函数，‎ 所以当时， .即当时，..‎ 由得 .所以.‎ 所以 ，即，，.‎ 又 ，所以，.‎ 所以 .‎ 而，则有.‎ 由（1）知，则在内单调递增，在内单调递减，‎ 由，得.所以， . ‎ ‎②证法二：‎ 由（II）①可知函数在是增函数，在是减函数.‎ 所以.故 ‎ 第二部分:分析:因为,所以.只要证明:就可以得出结论 下面给出证明：构造函数：‎ 则：‎ 所以函数在区间上为减函数.,则,又 于是. 又由(1)可知 ‎ .即 ‎ ‎（3）由（1）知当时，在上是减函数，且 所以当时恒有，即 当时，有，即，累加得：‎ ‎（）‎ ‎23．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲 解：（1），------------------3分 又当时，，‎ ‎ ∴-----------------------------------------------5分 ‎（2）当时，；‎ ‎ 当时，；‎ ‎ 当时，；-------------------------8分 ‎ 综合上述，不等式的解集为：.-------------------------10分