专题5-6 热点题型五 两角和（差）的正弦、余弦及正切-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点+题型全突破

专题5-6 热点题型五 两角和（差）的正弦、余弦及正切-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点+题型全突破

热点题型五 两角和(差)的正弦、余弦及正切 ‎【基础知识整合】‎ ‎1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β))‎ cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β　(C(α＋β))‎ sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β　(S(α－β))‎ sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β　(S(α＋β))‎ tan(α－β)＝　(T(α－β))‎ tan(α＋β)＝　(T(α＋β))‎ ‎2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α；‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ tan 2α＝.‎ ‎3．公式的逆用、变形等 ‎(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；‎ ‎(2)cos2α＝，sin2α＝；‎ ‎(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin.‎ ‎4．公式的常见变形 ‎(1)1＋cos α＝2cos2；‎ ‎1－cos α＝2sin2；‎ ‎(2)1＋sin α＝(sin＋cos)2；‎ ‎1－sin α＝(sin－cos)2.‎ ‎(3)tan ＝＝.‎ ‎5．辅助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，‎ 其中sin φ＝，cos φ＝.‎ 类型一 三角函数公式的应用 ‎【典例1】【2015高考新课标1】 = ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原式= ==.‎ ‎【变式训练】.【2015高考重庆】若，则 ‎ ‎【答案】3‎ ‎【典例2】【2014·江苏卷】 已知α∈，sin α＝.‎ ‎(1)求sin的值；‎ ‎(2)求cos的值．‎ ‎【解析】‎ ‎ (1)因为α∈，sin α＝，‎ 所以cos α＝－＝－.‎ 故sin＝sincos α＋cossin α＝×＋×＝－.‎ ‎(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，‎ cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，‎ 所以cos＝coscos 2α＋sinsin 2α＝×＋×＝－.‎ ‎【变式训练】【2014·新课标全国卷Ⅱ】 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)‎ ‎＝sin【(x＋φ)＋φ】－2sin φcos(x＋φ)‎ ‎＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin x，‎ 故其最大值为1.‎ ‎【解题技巧】‎ ‎（1）两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．‎ ‎（2）运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β) 和二倍角的余弦公式的多种变形等．‎ 类型二、三角函数式的化简与给角求值 ‎【典例3】 【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D 考点：三角恒等变换. ‎ ‎【思路点拨】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：‎ ‎(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．‎ ‎(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．‎ ‎【变式训练】‎ ‎【2015江苏高考，8】已知，，则的值为_______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【考点定位】两角差正切公式 ‎【思路点拨】善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，完成统一角和角与角转换的目的是三角函数式的求值的常用方法. 三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．‎ ‎【一题多解】‎ ‎【2015高考四川，理12】 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值.‎ 有.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.‎ ‎【思路点拨】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角，然后再化为一个三角函数一般地，有.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.‎ ‎【解题技巧】‎ ‎(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．‎ ‎(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：‎ ‎①化为特殊角的三角函数值；‎ ‎②化为正、负相消的项，消去求值；‎ ‎③化分子、分母出现公约数进行约分求值．‎ 类型三、三角函数的给值求值、给值求角 ‎【典例4】【2015高考广东】已知．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【典例5】【2015·常州一模】已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.‎ ‎(1)求sin(α－β)的值；‎ ‎(2)求cos β的值.‎ ‎【解析】 (1)∵α，β∈，从而－<α－β<.‎ 又∵tan(α－β)＝－<0，∴－<α－β<0.‎ ‎∴sin(α－β)＝－.‎ ‎(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.‎ ‎∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝.‎ ‎∴cos β＝cos【α－(α－β)】‎ ‎＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)‎ ‎＝×＋× ‎＝.‎ ‎【变式训练1】【2015·青岛质量检测】设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．‎ ‎【答案】 ‎【变式训练2】【2014·华中师大模拟】已知α，β∈(0，π)，且tanα＝2，cosβ＝－.‎ ‎(1)求cos2α的值；‎ ‎(2)求2α－β的值．‎ ‎【解析】(1)cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.‎ ‎(2)因为α∈(0，π)，且tanα＝2，所以α∈(0，)．‎ 又cos2α＝－<0，故2α∈(，π)，sin2α＝.‎ 由cosβ＝－，β∈(0，π)，‎ 得sinβ＝，β∈(，π)．‎ 所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝×(－)－(－)×＝－.‎ 又2α－β∈(－，)，所以2α－β＝－.‎ ‎【典例6】【2015·重庆】已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和最大值；‎ ‎(2)讨论f(x)在上的单调性．‎ ‎【思维点拨】　(1)讨论形如y＝asin ωx＋bcos ωx型函数的性质，一律化成y＝sin(ωx＋φ)型的函数．‎ ‎(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sin x的图象解决．‎ ‎【规范解答】‎ ‎【解析】　(1)f(x)＝sinsin x－cos2x ‎＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，‎ 因此f(x)的最小正周期为π，最大值为 ‎(2)当x∈时，0≤2x－≤π， ‎ 从而当0≤2x－≤，‎ 即≤x≤时，f(x)单调递增， ‎ 当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减． ‎ 综上可知，f(x)在上单调递增；‎ 在上单调递减． ‎ ‎【温馨提醒】‎ ‎　(1)讨论三角函数的性质，要先利用三角变换化成y＝Asin(ωx＋φ)，φ的确定一定要准确．‎ ‎(2)将ωx＋φ视为一个整体，设ωx＋φ＝t，可以借助y＝sin t的图象讨论函数的单调性、最值等．‎ ‎【解题技巧】‎ ‎(1)解题中注意变角，①当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与 “已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；‎ ‎(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．‎