【数学】上海市松江区2020届高三5月模拟考质量监控测试（二模）试题

【数学】上海市松江区2020届高三5月模拟考质量监控测试（二模）试题

上海市松江区2020届高三5月 模拟考质量监控测试（二模）试题 考生注意： ‎ ‎1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。‎ ‎2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。‎ ‎3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。‎ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．‎ ‎1．若集合，，则= ▲ ．‎ ‎2．已知复数，（是虚数单位），若是纯虚数，则实数= ▲ ．‎ ‎3．已知动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则点的轨迹方程为 ▲ ．‎ ‎4．等差数列的前项和为，若，则= ▲ ．‎ ‎5．若的展开式中项的系数为，则实数= ▲ ．‎ ‎6．已知数列的首项，且满足，数列的前项和为，则 ▲ ．‎ ‎7．用半径为米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器,则这个容器的容积是 ▲ 立方米．‎ ‎8．若函数是偶函数，则= ▲ ． ‎ ‎9．已知等边的边长为，点是其外接圆上的一个动点，则的取值范围是 ▲ ．‎ ‎10．已知函数，若对于任意的，总存在，使得，则的最小值为_ ▲ ． ‎ ‎11．已知集合，元素称为集合的特征元素．对于中的元素与，定义：．当时，若是集合中的非特征元素，则的概率为 ▲ ．‎ ‎12．已知函数且为常数和且为常数，有以下命题：‎ ①当时，函数没有零点；‎ ② 当时，恰有3个不同的零点，则； ‎ ③对任意的，总存在实数，使得有4个不同的零点，且成等比数列．‎ 其中的真命题是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎13．若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎14．若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ‎ ‎ (A) (B) (C) (D) 或 ‎ ‎15．在正方体中，、两点分别从点和点出发，以相同的速度在棱和上运动至点和点，在运动过程中，直线与平面所成角的变化范围为 ‎ (A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎16．已知实数，且，则当取得最大值时，这个数中，值为的个数为 ‎ (A) 个 (B) 个 (C) 个 (D) 个 ‎ 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．‎ 如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点．‎ ‎（1）求异面直线与所成的角；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．‎ 已知函数．‎ ‎（1）求的最大值和最小正周期；‎ ‎（2）在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，且，求面积的最大值．‎ ‎19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．‎ ‎ 新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万套)，其中为工厂工人的复工率（）．A公司生产万件防护服还需投入成本(万元) ．‎ ‎（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；‎ ‎（2）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.‎ ‎20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．‎ 如图，已知椭圆经过圆与轴的两个交点和与轴正半轴的交点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点为椭圆上的动点，点为圆上的动点，求线段长的最大值；‎ ‎（3）若不平行于坐标轴的直线交椭圆于两点，交圆于两点，且满足 ‎ ‎ ，求证：线段的中点在定直线上．‎ ‎21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．‎ 已知函数的定义域为，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质.‎ ‎（1）判断函数是否具有性质，并说明理由； ‎ ‎（2）若函数具有性质，求及应满足的条件； ‎ ‎（3）已知函数不存在零点，当时具有性质（其中），‎ ‎ 记,求证：数列为等比数列的充要条件是或.‎ 参考答案 一．填空题 ‎1． 2．3 3． 4． 5．1 6．2 ‎ ‎7． 8． 9． 10． 11． 12．②‎ 二、选择题 ‎13．B 14．A 15．C 16．B 三．解答题 ‎17．如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点．‎ ‎（1）求异面直线AE与PD所成的角；‎ ‎（2）求点B到平面ECD的距离．‎ 解：（1）连AC、BD，两直线交于点O，连EO，‎ 因为E、O分别是PB、DB的中点，所以EO//PD，‎ 所以就是异面直线AE与PD所成的角 …………3分 因为为正方形，且，‎ 所以 …………4分 所以 …………6分 ‎（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎∵，点E是棱PB的中点，‎ ‎∴，，，，，，，，…………8分 设平面ECD的法向量，‎ 则由 得 取z＝2，得，…………11分 ‎∴点B到平面ECD的距离：…………14分 ‎18．已知函数．‎ ‎（1）求的最大值和最小正周期；‎ ‎（2）在中，内角、、的所对的边分别为、、，已知，且，求面积的最大值.‎ 解：（1）………4分 ‎∴， ………………………………5分 ‎ ………………………………6分 ‎（2）由 得 ‎ ‎ 因为 ，所以，得 ， ………………8分 因为，由余弦定理，得 ，………………10分 由 得 ，当且仅当时取得等号………12分 ‎∴面积，‎ ‎∴面积的最大值为 ………………14分 ‎19．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）．A公司生产万件防护服还需投入成本(万元) ．‎ ‎（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；‎ ‎（2）对任意的(万元)，当复工率达到多少时， A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.‎ 解：（1）………………4分 ‎，…………6分 ‎（2）若对任意的，公司都不产生亏损，‎ 则在恒成立 …………8分 即，记，则，‎ 此时 由于函数在单调递增 …………10分 所以当时， …………12分 ‎∴‎ 即当工厂工人的复工率达到时，对任意的，公司都不产生亏损. ……14分 ‎20．如图，已知椭圆经过圆与轴的两个交点和与轴正半轴的交点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点为椭圆上的动点，点为圆上的动点，求线段长的最大值；‎ ‎（3）若不平行于坐标轴的直线交椭圆于两点，交圆于两点，且满足，求证：线段的中点在定直线上．‎ 解：（1）在方程中，令，解得.令，解得..‎ 椭圆方程为：.…………4分 ‎（2）…………6分 设，，则 ‎…8分时，‎ ‎ …………10分 （3） 解法一：设 ‎ …………12分 设，代入得：‎ 即： ‎ 代入得：‎ 即…………14分 ‎ ‎ ‎，‎ 所以点E在直线上 …………16分 解法二：设 ‎…………12分 也是弦的中点，‎ ‎…………14分 代入化简，得：‎ 所以点E在直线上．…………16分 ‎21．已知函数的定义域为，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质，集合叫做函数的性质集.‎ ‎（1）判断函数是否具有性质，并说明理由； ‎ ‎（2）若函数具有性质，求的性质集； ‎ ‎（3）已知函数不存在零点，且当时具有性质（其中），若,求证：数列为等比数列的充要条件是或.‎ 解：（1）若函数具有性质，则存在实常数及，使得 对任意的都成立…………2分 即：‎ ‎，不合题意，舍 函数不具有性质 …………4分 ‎（2）由题意：存在实常数及，‎ 使得对任意的都成立 即：‎ 化简，得：‎ ‎…(1)对任意的都成立…………6分 在(1)中令，得：，代入(1)，得：‎ 所以 解得或…………8分 所以 或…………10分 ‎（3）证明：由函数不存在零点，且具有性质知，‎ 对任意的，都有 即……① …………12分 ‎∴ ，‎ 记，则……② …………14分 充分性：当时，，反复代入②式得 ‎ 即对任意的，都有，∴数列是以为首项，为公比的等比数列 同理，当时，数列是以为首项，为公比的等比数列…………16分 必要性：若数列是等比数列，不妨设，则 又由①知 ∴，‎ ‎∴，即 ∴或即或. …………18分 证法二 由函数不存在零点，且具有性质知，‎ 对任意的，都有 即……① …………12分 对①变形可得如下两式 ‎……②‎ ‎……③‎ 由②得……④‎ 由③得 ‎……⑤‎ ④-⑤得：‎ ‎∴ …………16分 当.时，，当时，，此时是等比数列；‎ 当且时，显然不是等比数列． …………18分