数学理卷·2018届山东省实验中学高三第一次诊断性考试（2017

数学理卷·2018届山东省实验中学高三第一次诊断性考试（2017

山东省实验中学20l5级高三第一次诊断性考试 数学试题(理科)‎ ‎2017．09‎ 说明：本试卷满分l50分，分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷为第l页至第3页，第II卷为第3页至第5页．试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效．考试时间120分钟．‎ 第I卷 (共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1．已知集合 A． B． C． D．‎ ‎2．已知，其中i是虚数单位，则的虚部为 A． B. C． D．‎ ‎3.在上任取一点D，使为钝角三角形的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎4．在等比数列中，，且前n项和，则此数列的项数n等于 A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎5．的展开式中x的系数是 A. B. 3 C. D. 1‎ ‎6．将长方体截去一个四棱锥得到的几何体如右图所示，则该几何体的侧视图为的展开式中x的系数是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7．设偶函数上单调递增，则使得成立的x的取值范围是 A． B． C. D. ‎ ‎8．下图是一个算法流程图，则输出的x的值是 A．37 B．42 C．59 D．65‎ ‎9．已知曲线，则下面结论正确的是 A．把各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移至个单位长度，得到曲线C2‎ C．把 上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎10．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若 A． B．2 C． D．‎ ‎11．已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数m的取值范围是 A． B． C. D. ‎ ‎12.一个二元码是由0和1组成的数字串，其中称为第k位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0.‎ 已知某种二元码的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为.‎ 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于 A.3 B.4 C.5 D.6‎ 第II卷(非选择题，共90分)‎ 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．) ‎ ‎13．已知向量___________‎ l4．已知满足有最大值8，则实数k的值为___________.‎ l5．在三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为________ ‎ ‎16．已知抛物线的准线与双曲线交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是__________．‎ 三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)‎ ‎17．(12分)在中，角A，B，C的对边分别为 ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若的面积．‎ ‎18．(12分) ‎ 在三棱柱，侧面为矩形，中点，BD与交于点O，且平面.‎ ‎（1）证明：平面平面BCD；‎ ‎（2）若的重心为G，求直线GD与平面ABC所成角的正弦值.‎ ‎19．(12分)某公司每个工作日由位于市区的总公司向位于郊区的分公司开一个来回的班车（每年按200个工作日计算），现有两种使用班车的方案，方案一是购买一辆大巴，需花费90万元，报废期为10年，车辆平均每年的各种费用合计5万元，司机年工资6万元，司机每天请假的概率为0.1（每年请假时间不超过15天不扣工资，超过15天每天100元），若司机请假则需从公交公司雇佣司机，每天支付300元工资.方案二是租用公交公司的车辆（含司机），根据调研每年12个月的车辆需求指数如直方图所示，其中当某月车辆需求指数在时，月租金为万元.‎ ‎（1）若购买大巴，设司机每年请假天数为x ‎，求公司因司机请假而增加的花费y（元）及使用班车年平均花费（万元）的数学期望.‎ ‎（2）试用调研数据，给出公司使用班车的建议，使得年平均花费最少.‎ ‎20．(12分)已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率，过点的直线交椭圆于A，B两点，且的周长为8．‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程； ‎ ‎（2）过原点的直线与交椭圆E于M，N两点，且满足AB//MN，求证为定值，并求出该定值．‎ ‎21．(12分)已知函数.‎ ‎（1）函数函数在点处的切线与平行，求k的值；‎ ‎（2）若恒成立，试确定实数k的取值范围；‎ ‎（3）证明：．‎ ‎(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．[选修4-4，坐标系与参数方程】(10分)‎ 已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线相交于点A；B．‎ ‎(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求弦AB的长．‎ ‎23．【选修4—5：不等式选讲】(10分)‎ 已知函数．‎ ‎(1)当时，解不等式；‎ ‎(2)求证：．‎ 山东省实验中学2015级高三第一次诊断性考试 数学试题(理科) 2017．09‎ 一、选择题 DBABBD ACDCBC 二、填空题 ‎13． 14． 15． 16．(,+∞)‎ 三、解答题 ‎17. 解：⑴因为，所以．…………………………………2分 所以．…………………………………………………………………………3分 所以…………………………………6分 ‎⑵因为，所以．…………………………………………………………8分 又因为，所以．…………………………………………………10分 所以………………………………………12分 ‎18. 解：⑴为矩形，，，是的中点，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎…………………………………………………………2分 ‎，即……………………………………4分 平面，平面 又，‎ 平面 平面 平面平面………………………6分 ‎⑵如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系。‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ 为的重心，‎ ‎………………………8分 设平面的一个法向量为 ‎，‎ 由得 不妨令，则，即……………………10分 设直线与平面所成的角为，则 直线与平面所成的角的正弦值为……………………12分 ‎19. 解：⑴由已知，当时，，‎ 当时，‎ 所以………………………………………………………………………3分 由已知，所以 所以（万元）…………………………………………………6分 ‎⑵若使用方案二，由已知每年租车费用为1.2万元的月份为；‎ 每年租车费用为1.4万元的月份为；‎ 每年租车费用为1.6万元的月份为；‎ 每年租车费用为1.8万元的月份为；‎ 每年租车费用为2万元的月份为；…………………………………………………………10分 所以方案二每年的平均费用为万元…………11分 所以应该使用方案二，可以使得年平均花费最少……………………………12分 ‎20. 解:(1)由题意解得。---------------------------------------2分 所以椭圆E的标准方程为.-----------------------------------------3分 ‎（2） 当直线MN斜率不存在时，易知.--------------4分 ‎ 当直线MN斜率存在时设直线MN为，由 得.‎ ‎ 得得.-------------------------------6分 ‎ 设直线AB为，且，‎ ‎ 由消元整理得.‎ ‎ 得 --------------8分 ‎ ‎ 所以.----------11分 ‎ 综上：为定值4.---------------------------------------------12分 ‎21. 解：解：⑴函数定义域为，，------------1分 ‎ ，解得.---------------------------------------------------------3分 ‎⑵‎ 当时，，在定义域上单调递增，且当时,, 所以不满足题设条件------------------------------------------------------------------------------------------4分 当时，，解得 在上,函数单调递增, 在上,函数单调递减,‎ 所以 即,解得。-------------------------------------------------------------------------------------8分 ‎ 所以实数的取值范围是。‎ ‎⑶由(2)知，当k=1时，当且仅当x=0时取等号，‎ 等价于 即，-------------------------------------------------------10分 由(2)知，当k=1时，当且仅当x=0时取等号，‎ 令所以得成立，所以证明：（）。--12分 ‎22.解：⑴22.解：⑴ …5分 ‎ ‎ ⑵ …10分 ‎23. 解：‎