2019年高考数学仿真押题试卷（十二）（含解析）

2019年高考数学仿真押题试卷（十二）（含解析）

专题12高考数学仿真押题试卷（十二）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎ 1．已知集合，，，1，，则满足的集合的个数为　　‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【解析】解：集合，，，1，，‎ 满足的集合有：‎ ‎，，，，，，1，，共4个．‎ ‎【答案】． 2．已知为虚数单位，复数，则　　‎ A． B． C．5 D．25‎ ‎【解析】解：为虚数单位，复数，‎ ‎，‎ ‎【答案】． 3．已知平面向量，的夹角为，且，，则与的夹角是　　‎ 20‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：向量，的夹角为，且，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 设与的夹角是，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【答案】． 4．空气质量指数是一种反映和评价空气质量的方法，指数与空气质量对应如表所示：‎ ‎300以上 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 如图是某城市2018年12月全月的指数变化统计图：‎ 根据统计图判断，下列结论正确的是　　‎ A．整体上看，这个月的空气质量越来越差 ‎ B．整体上看，前半月的空气质量好于后半个月的空气质量 ‎ C．从数据看，前半月的方差大于后半月的方差 ‎ D．从数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值 ‎【解析】解：从整体上看，这个月数据越来越低，故空气质量越来越好；故，不正确；‎ 从数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以正确；‎ 20‎ 从数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故不正确．‎ ‎【答案】． 5．的展开式中，常数项为　　‎ A． B． C．15 D．60‎ ‎【解析】解：的展开式的通项公式为，令，求得，‎ 可得常数项，‎ ‎【答案】． 6．若数列的前项和为，且，，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：由题意，可知：‎ 根据，‎ 可知：数列为等比数列．‎ 又，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎【答案】． 7．已知，，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：，，，‎ 则，‎ ‎，‎ 20‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎【答案】． 8．某商场通过转动如图所示的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动，当指针指向阴影区域时为中奖．规定每位顾客有3次抽奖机会，但中奖1次就停止抽奖．假设每次抽奖相互独立，则顾客中奖的概率是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：由题意应用几何概型面积之比得一次中奖概率，‎ 第一次就中奖的概率，‎ 第二次中奖概率为，‎ 第三次中奖概率为，‎ 所以顾客中奖的概率问哦．‎ ‎【答案】． 9．设椭圆的两焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与交于，两点．若△为直角三角形，则的离心率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：如图所示，‎ ‎△为直角三角形，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 则，‎ 解得．‎ 20‎ ‎【答案】．‎ ‎ 10．如图，是圆锥的底面的直径，是圆上异于，的任意一点，以为直径的圆与的另一个交点为，为的中点．现给出以下结论：‎ ‎①为直角三角形；‎ ‎②平面平面；‎ ‎③平面必与圆锥的某条母线平行．‎ 其中正确结论的个数是　　‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【解析】解：①底面圆，‎ ‎，‎ 在以为直径的圆上，‎ ‎，‎ ‎，‎ 平面，，‎ 即①为直角三角形正确，故①正确，‎ ‎②，‎ 若平面平面，则平面，‎ ‎，‎ 20‎ ‎，‎ 在中，，在一个三角形内不可能有两个直角，故平面平面不成立，故②错误，‎ ‎③连接并延长交圆于，连接，，‎ 为的中点，为的中点，‎ 是的中位线，‎ ‎，‎ 即平面，‎ 即平面必与圆锥的母线平行．故③正确，‎ 故正确是①③，‎ ‎【答案】．‎ ‎ 11．已知函数，且（a），则的取值范围是　　‎ A．， B． C．， D．，‎ ‎【解析】解：根据题意，函数，有，解可得，即函数的定义域为，‎ 设，则，则函数为奇函数；‎ 分析易得：在上为增函数，‎ ‎（a）（a）（a）（a）‎ 20‎ ‎，‎ 解可得：，即的取值范围为，；‎ ‎【答案】． 12．在中，，，，点在边上，点，关于直线的对称点分别为，，则△的面积的最大值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：由余弦定理可得，‎ ‎，且，‎ ‎，‎ 以为原点，以，为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：‎ 设直线的方程为，‎ 当与线段的端点重合时，，，在同一条直线上，不符合题意，‎ 则，设，显然，‎ 则，解得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 令，则，‎ 令可得或（舍，‎ 当时，，当时，，‎ 20‎ 当时，取得最大值．‎ ‎【答案】．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知平面向量，夹角为，，，　　；‎ ‎【解析】解：由题意，可知：‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎【答案】． 14．设随机变量，若，则　　；‎ ‎【解析】解：随机变量，，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【答案】． 15．过平行六面体的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线有　6　条；‎ ‎【解析】解：设、、、的中点分别为、、、，连接、、、、、，‎ 20‎ 平面平面，、、、、、都是平面内的直线 ‎、、、、、都与平面平行，共6条直线，‎ 因此，满足条件：“与平面平行的直线平行”的直线一共有6条．‎ ‎【答案】6．‎ ‎ 16．若存在正实数，使得关于方程有两个不同的实根，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是　　‎ ‎【解析】解：，‎ ‎，若方程存在两个不同解，‎ 则，‎ ‎，‎ 令，‎ ‎，，‎ 设，‎ 则在上单调递增，且（e），‎ 在上单调递增，上单调递减，‎ ‎（e），（1），‎ 在上恒成立，‎ 20‎ 若方程存在两个不同解，，‎ 即． ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知中，内角，，所对的边分别为，，，且．‎ ‎（Ⅰ）若，求；‎ ‎（Ⅱ）若的面积为，求的周长．‎ ‎【解析】（本题满分为12分）‎ 解：（Ⅰ），由正弦定理可得：，可得：，分 由，可得：，‎ 两边同时加，可得：，可得：，分 由，可得：，可求，分 由，可得：分 ‎（Ⅱ）由，可得：，，‎ 可得，解得：，分 又由，，‎ 可得：，‎ 联立，解得：，分 化简整理可得：，解得：，，，分 可得的周长为．分 18．如图，在四棱锥中，，底面四边形为直角梯形，，，，为线段上一点．‎ 20‎ ‎（Ⅰ）若，则在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由；‎ ‎（Ⅱ）己知，，若异面直线与成角，二而角的余弦值为，求的长．‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）时，则在线段上是存在点，且，使得平面．‎ 理由如下：如图取，连接，．‎ 可得，，‎ 四边形为平行四边形，，‎ ‎，分别为，的三等分点，．‎ 面面，‎ 平面．‎ ‎（Ⅱ）如图，过作交与，设．‎ 20‎ 则，0，，，0，，，0，，，1，．，1，‎ ‎，，‎ 设面的法向量为．‎ ‎．‎ ‎，．‎ 设面的法向量为．‎ ‎．‎ ‎．‎ 的长为2． 19．随着经济的发展，个人收入的提高．自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：‎ 个人所得税税率表（调整前）‎ 个人所得税税率表（调整后）‎ 免征额3500元 免征额5000元 级数 全月应纳税所得额 税率 级数 税率 20‎ 全月应纳税所得额 ‎1‎ 不超过1500元的部分 ‎3‎ ‎1‎ 不超过3000元的部分 ‎3‎ ‎2‎ 超过1500元至4500元的部分 ‎10‎ ‎2‎ 超过3000元至12000元的部分 ‎10‎ ‎3‎ 超过4500元至9000元的部分 ‎20‎ ‎3‎ 超过12000元至25000元的部分 ‎20‎ ‎（1）假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记表示总收入，表示应纳的税，试写出调整前后关于的函数表达式；‎ ‎（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：‎ 收人（元 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 人数 ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎5‎ 20‎ ‎①先从收入在，及，的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用表示抽到作为宣讲员的收人在，元的人数，表示抽到作为宣讲员的收入在，元的人数，随机变量，求的分布列与数学期望；‎ ‎②小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收人比调整前增加了多少？‎ ‎【解析】解：（1）调整前关于的解析式为；‎ 调整后关于的解析式为；‎ ‎（2）①由频率分布表可知，从收入在，及，的人群中抽取7人，‎ 其中在，元的人数为3人，‎ 在，元的人数为4人，‎ 再从这7人中选4人，所以的取值可能为0，2，4；‎ 则，，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ 所以的分布列为，‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ 数学期望为；‎ ‎②由于小李的工资、薪金等税前收入为7500元，‎ 按调整前起征点应纳个税为（元；‎ 按调整后起征点应纳个税为（元，‎ 比较两个纳税方案可知，按照调整后起征点应纳个税少交（元，‎ 20‎ 即个人的实际收入增加了220元，所以小李的实际收人比调整前增加了220元． 20．已知椭圆的左、右焦点分别为，且椭圆上存在一点，满足．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知，分别是椭圆的左、右顶点，过的直线交椭圆于，两点，记直线，的交点为，是否存在一条定直线，使点恒在直线上？‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）设，则△中，由余弦定理得，‎ 化简得，解得．‎ 故，，得，‎ 因此，椭圆的标准方程为；‎ ‎（Ⅱ）如下图所示，已知、，设、，、，，‎ 由，可得，①‎ 由，可得，②‎ 上述两式相除得，‎ 20‎ 又，所以，，‎ 故，③‎ 设直线的方程为，代入椭圆的方程并整理得，△恒成立，‎ 由韦达定理得，，‎ 代入③得 ‎，‎ 得，故点在定直线上． 21．设函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的极值点个数；‎ ‎（Ⅱ）若．‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）是奇函数，其图象关于原点对称，‎ 故只需考虑上的极值点的个数，‎ ‎，‎ 令，，‎ 故时，，递减，‎ ‎，时，，递增，‎ 故，‎ 取，，‎ 20‎ 故在，上存在唯一的使得，‎ 故在递减，在，递增，‎ 又是奇函数，‎ 故在递增，在，递减，在，递增，‎ 故的极值点共2个；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在区间递减，且恒成立，‎ 故时，，‎ 即得，‎ 又令，‎ 得，‎ ‎．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．（本小题满分10分[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．曲线的参数方程为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线关于对称．‎ ‎（Ⅰ）求极坐标方程，直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）将向左平移4个单位长度，按照变换得到；与两坐标轴交于、两点，为上任一点，求的面积的最大值．‎ 20‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）的参数方程为，消去参数得，，‎ 又由公式，代入，，即 所以极坐标方程是 曲线所以，即，即 圆心坐标是，半径是，又曲线关于对称 所以圆心在曲线上，所以，故 ‎（Ⅱ）将向左平移4个单位长度，得到新曲线的方程是，再按照变换得到；，整理得，即，‎ 又与两坐标轴交于、两点，不妨令，，，，‎ 为上任一点，设，，‎ 可得，‎ 则到直线的距离，即时，取到最大值．‎ 的面积的最大值为．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲] 23．已知．‎ ‎（Ⅰ）解关于的不等式；‎ 20‎ ‎（Ⅱ）对任意正数、，求使得不等式恒成立的的取值集合．‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）即为，‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得，‎ 综上可得，的解集为或；‎ ‎（Ⅱ）对任意正数、，不等式恒成立，‎ 可得小于的最小值，‎ 由，‎ 当时取得等号，即有，即为，‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得．‎ 综上可得，．‎ 20‎ 20‎