2020高中数学 第三章空间向量运算的坐标表示

2020高中数学 第三章空间向量运算的坐标表示

‎3.1.5　‎空间向量运算的坐标表示 学习目标：1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点)2.掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点，难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：‎ 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)‎ 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)‎ 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3‎ ‎2.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b)‎ a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b)‎ a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)‎ 模 ‎|a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 思考：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a∥b一定有＝＝成立吗？‎ ‎[提示]　当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立．‎ ‎3．向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 ‎(1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；‎ ‎(2)dAB＝||＝.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)若a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b＝(－2,4，－2)．(　　)‎ ‎(2)若a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则|a|＝|b|.(　　)‎ 9‎ ‎(3)若a＝(0,0,1)，b＝(1,0,0)则a⊥b.(　　)‎ ‎(4)在空间坐标系中，若A(1,2,3)，B(4,5,6)，则＝(－3，－3，－3)．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则‎4a＋2b等于(　　)‎ A．(16,0,4)　　　　 B．(8，－16,4)‎ C．(8,16,4) D．(8,0,4)‎ D　[‎4a＝(12，－8,4)，2b＝(－4,8,0)，‎ ‎∴‎4a＋2b＝(8,0,4)．]‎ ‎3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与‎2a－b互相垂直，则k＝(　　) ‎ ‎【导学号：46342154】‎ A．1　 B． C．　　　D． D　[ka＋b＝(k－1，k,2)，‎2a－b＝(3,2，－2)，且(ka＋b)·(‎2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝.]‎ ‎4．若点A(0,1,2)，B(1,0,1)，则＝__________，＝__________________.‎ ‎(1，－1，－1)　　[＝(1，－1，－1)，||＝＝.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 空间向量的坐标运算 ‎　(1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.‎ ‎(2)已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求适合下列条件的点P的坐标；‎ ‎①＝(－)；②＝(－)．‎ ‎[解析]　(1)c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2.‎ ‎[答案]　2‎ ‎(2)＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)．‎ ‎①＝(－)＝(6,3，－4)＝，则点P的坐标为.‎ ‎②设P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)．‎ 9‎ ‎∵＝(－)＝，∴ 解得x＝5，y＝，z＝0，则点P的坐标为.‎ ‎[规律方法]　1.一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．‎ ‎2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋‎2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．求：‎ ‎(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；‎ ‎(4)‎2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．‎ ‎[解]　(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)‎ ‎＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)．‎ ‎(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)‎ ‎＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)．‎ ‎(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)‎ ‎＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.‎ ‎(4)∵‎2a＝(4，－2，－4)，‎ ‎∴(‎2a)·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4)‎ ‎＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.‎ ‎(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.‎ 利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 ‎　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，‎ C(－3,0,4)．设a＝，b＝.‎ ‎(1)若|c|＝3，c∥，求c；‎ ‎(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.‎ ‎[思路探究]　(1)根据c∥，设c＝λ，则向量c的坐标可用λ表示，再利用|c|＝3求λ值；‎ ‎(2)把ka＋b与ka－2b用坐标表示出来，再根据数量积为0求解．‎ 9‎ ‎[解]　(1)∵＝(－2，－1,2)且c∥，‎ ‎∴设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)．‎ ‎∴|c|＝＝3|λ|＝3.‎ 解得λ＝±1.‎ ‎∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．‎ ‎(2)∵a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，‎ ‎∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．‎ ‎∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，‎ ‎∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0，‎ 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，‎ 解得k＝2或k＝－.‎ ‎[规律方法]　向量平行与垂直问题主要有两种题型：(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,‎2m－1,2)．‎ ‎(1)若a∥b，分别求λ与m的值；‎ ‎(2)若|a|＝，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a. ‎ ‎【导学号：46342155】‎ ‎[解]　(1)由a∥b，得 ‎(λ＋1,1,2λ)＝k(6,‎2m－1,2)，‎ ‎∴解得 ‎∴实数λ＝，m＝3.‎ ‎(2)∵|a|＝，且a⊥c，‎ ‎∴ 化简，得解得λ＝－1.‎ 因此，a＝(0,1，－2).‎ 空间向量夹角与长度的计算 ‎[探究问题]‎ 9‎ ‎1．已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点P的坐标是多少？‎ 提示：P ‎2．设异面直线AB，CD所成的角为θ，则cos θ＝cos〈，〉一定成立吗？‎ 提示：当cos〈，〉≥0时，cos θ＝cos〈，〉‎ 当cos〈，〉<0时，cos θ＝－cos〈，〉．‎ ‎　如图3138所示，在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A‎1A的中点．‎ 图3138‎ ‎(1)求BN的长；‎ ‎(2)求A1B与B‎1C所成角的余弦值；‎ ‎(3)求证：BN⊥平面C1MN.‎ ‎[思路探究]　→→→→ ‎[解]　(1)如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz.‎ 依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，‎ ‎∴||＝＝，‎ ‎∴线段BN的长为.‎ ‎(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，‎ ‎∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，‎ ‎∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.‎ 9‎ 又||＝，||＝.‎ ‎∴cos〈，〉＝ ‎＝.‎ 故A1B与B‎1C所成角的余弦值为.‎ ‎(3)证明：依题意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B(0,1,0)，‎ N(1,0,1)，M，‎ ‎∴＝，＝(1,0，－1)，‎ ＝(1，－1,1)，‎ ‎∴·＝×1＋×(－1)＋0×1＝0，‎ ·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.‎ ‎∴⊥，⊥，‎ ‎∴BN⊥C‎1M，BN⊥C1N，‎ 又∵C‎1M∩C1N＝C1，C‎1M⊂平面C1MN，C1N⊂平面C1MN，‎ ‎∴BN⊥平面C1MN.‎ ‎[规律方法] 　向量夹角的计算步骤 ‎(1)建系：结合图形建立适当的空间直角坐标系，建系原则是让尽可能多的点落到坐标轴上．‎ ‎(2)求方向向量：依据点的坐标求出方向向量的坐标．‎ ‎(3)代入公式：利用两向量的夹角公式将方向向量的坐标代入求出夹角．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3．如图3139所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．‎ 图3139‎ 9‎ ‎(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；‎ ‎(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．‎ ‎[解]　(1)证明：设＝p，＝q，＝r.‎ 由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60°.‎ ＝－＝(＋)－ ‎＝(q＋r－p)，‎ ‎∴·＝(q＋r－p)·p ‎＝(q·p＋r·p－p2)‎ ‎＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0.‎ ‎∴⊥，即MN⊥AB．‎ 同理可证MN⊥CD．‎ ‎(2)设向量与的夹角为θ.‎ ‎∵＝(＋)＝(q＋r)，‎ ＝－＝q－p，‎ ‎∴·＝(q＋r)· ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 又∵||＝||＝a，‎ ‎∴·＝||||cos θ＝a×a×cos θ＝.‎ ‎∴cos θ＝.‎ ‎∴向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ 9‎ ‎1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，则|‎3a＋b|为(　　)‎ A．　　　　　 　 B．4‎ C．5 D． D　[‎3a＋b＝3(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(3,3,0)＋(－1,0,2)＝(2,3,2)，故|‎3a＋b|＝＝.]‎ ‎2．已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O为原点，则与的夹角是(　　)‎ A．0　　 B．π　　　　C．π　　　D．2π B　[＝(3,3,3)，＝(－6，－6，－6)‎ 则·BO＝3×3×(－6)＝－54，||＝3，||＝6 所以cos〈，〉＝＝＝－1，所以〈，〉＝π.]‎ ‎3．已知a＝(1，x,3)，b＝(－2,4，y)，若a∥b，则x－y＝________.‎ ‎4　[∵a∥b，∴b＝λa.‎ ‎∴∴ ‎∴x－y＝4.]‎ ‎4．若a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________. ‎ ‎【导学号：46342156】‎ ‎6　[a·b＝2×(－2)＋3×1＋(－1)×3＝－4，|a|＝，|b|＝，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝－.‎ ‎∴sin〈a，b〉＝＝.‎ 因此以a，b为邻边的平行四边形的面积为|a||b|sin〈a，b〉＝××＝6.]‎ ‎5．在棱长为1的正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C‎1G的中点．利用空间向量解决下列问题：‎ ‎(1)求EF与B‎1C所成的角；‎ ‎(2)求EF与C‎1G所成角的余弦值；‎ ‎(3)求F，H两点间的距离．‎ 9‎ ‎[解]　如图所示，以DA，DC，DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，‎ 则D(0,0,0)，E，F，C(0,1,0)，C1(0，1,1)，B1(1,1,1)，G.‎ ‎(1)＝，＝(－1,0，－1)，‎ ‎∴·＝·(－1,0，－1)＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0.‎ ‎∴⊥，即EF⊥B‎1C．‎ ‎∴EF与B‎1C所成的角为90°.‎ ‎(2)因为＝.‎ 则||＝.‎ 又||＝，且·＝，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝，‎ 即EF与C‎1G所成角的余弦值为.‎ ‎(3)∵H是C‎1G的中点，∴H.‎ 又F，‎ ‎∴FH＝||‎ ‎＝＝.‎ 9‎