专题3-2 不等式-2017年全国高考数学考前复习大串讲

专题3-2 不等式-2017年全国高考数学考前复习大串讲

‎【知识网络】‎ ‎【考点聚焦】‎ 内 容 要 求 A B C 不等式 基本不等式 ‎√‎ 一元二次不等式 ‎√‎ 线性规划 ‎√‎ ‎1.原题（必修5第75页习题3.1A组第2题）变式 若试比较与的大小.‎ ‎【解析】平方作差可得：.‎ ‎2.原题（必修5第80页习题3.2A组第3题）变式 已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】依题意有：，故或.‎ ‎3.原题（必修5第81页习题3.2B组第二题）变式1 若函数的定义域为，则的取值范围是 ．‎ ‎【解析】要使有意义，即对恒成立，则，即.‎ 变式2 若恒成立，则的取值范围是 ．‎ 变式3 若函数的定义域不是，则的取值范围是 ．‎ ‎【解析】要使函数有意义，则存在，使得（*）‎ ‎ 当时，（*）等价于：，即，满足题意；当时，，即；当时，，即；综上，．‎ 变式4 若函数的值域是，则的取值范围是 ．‎ ‎4.原题（必修5第81页习题3.2B组第四题）变式 如图，气象部门预报：在海面上生成了一股较强台风，在距台风中心60千米的圆形区域内将会受严重破坏．台风中心正从海岸M点登陆，并以72千米/时的速度沿北偏西60°的方向移动．已知M点位于A城的南偏东15°方向，距A城千米；M点位于B城的正东方向，距B城千米．假设台风在移动过程中，其风力和方向保持不变，请回答下列问题：（1）A城和B城是否会受到此次台风的侵袭？并说明理由；（2）若受到此次台风侵袭，该城受到台风侵袭的持续时间有多少小时？ ‎ ‎【解析】（1）A城不会受到台风影响：B城会受到台风影响；（2）小时；‎ ‎5.原题（必修5第80页习题3.2A组第四题）变式 已知不等式的解集为A，不等式的解集是B. （1）求；（2）若不等式的解集是 求的解集.‎ ‎6.原题（必修5第87页例题）变式 横坐标、纵坐标都是整数的点是整点坐标．若直线（为正整数），与坐标轴围成三角形内的整点坐标（含周界）的个数是100，则等于（ ） ‎ ‎ A．9 B．18 C．11 D．22‎ ‎【解析】B. ‎ ‎7.原题（必修5第100页练习题第1题）变式 求函数的值域.‎ ‎ 8.原题（必修5第91页练习题第1(2)题）‎ ‎【解析】‎ 目标函数为，可行域如图所示，‎ 作出直线可知，直线经过点时，‎ 取得最大值. 直线经过点时，‎ 取得最小值.‎ ‎ 解方程组 ，和 可得点和点.‎ 所以，‎ 变式1　(2014·广东)若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝________.‎ ‎【答案】　6‎ 变式2　实数x，y满足 ‎(1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；‎ ‎(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．‎ ‎【解析】‎ ‎　由作出可行域，‎ 如图中阴影部分所示．‎ ‎(1)z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，‎ 因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)．‎ 由得B(1,2)，‎ ‎∴kOB＝＝2，即zmin＝2，‎ ‎∴z的取值范围是2，＋∞)．‎ ‎(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．‎ 因此x2＋y2的值最小为OA2(取不到)，最大值为OB2.‎ 由得A(0,1)，‎ ‎∴OA2＝()2＝1，OB2＝()2＝5，‎ ‎∴z的取值范围是(1,5]．‎ 引申探究 ‎ ‎1．若z＝，求z的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎2．若z＝x2＋y2－2x－2y＋3.求z的最大值、最小值．‎ ‎【解析】‎ ‎　z＝x2＋y2－2x－2y＋3‎ ‎＝(x－1)2＋ (y－1)2＋1，‎ 而(x－1)2＋(y－1)2表示点P(1,1)与Q(x，y)的距离的平方，(PQ2)max＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，‎ ‎(PQ2)min＝()2＝，‎ ‎∴zmax＝2＋1＝3，zmin＝＋1＝.‎ 变式3已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________.‎ ‎【答案】　 ‎【思维升华】　‎ ‎(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．‎ ‎(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：‎ ‎①表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；‎ ‎②表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点 (a，b)连线的斜率．‎ ‎(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件．‎ ‎9.原题（必修5第93页练习题第3题）‎ 分析：将所给信息下表表示：‎ 每次播放时间/分 广告时间/分 收视观众/万 连续剧甲 ‎80‎ ‎1‎ ‎60‎ 连续剧乙 ‎40‎ ‎1‎ ‎20‎ 播放最长时间 ‎320‎ 最少广告时间 ‎6‎ ‎【解析】‎ 设每周播放连续剧甲次，播放连续剧乙次，收视率为.‎ 答：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率. ‎ 变式(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.‎ 甲 乙 原料限额 A(吨)‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎12‎ B(吨)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎【答案】　18‎ ‎【解析】　设每天甲、乙的产量分别为x吨，y吨，由已知可得 目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：‎ 可得目标函数在点A处取到最大值．‎ 由得A(2,3)．‎ 则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元)．‎ ‎【感受高考】‎ ‎1.【2016高考新课标1卷】若,则( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎2.【2016年高考四川理数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的( )‎ ‎（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故选A.‎ ‎3.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】‎ 二元一次不等式组①等价于 ‎ ②‎ 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.‎