2020年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术-几何平均不等式优化

2020年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术-几何平均不等式优化

‎3 三个正数的算术-几何平均不等式 ‎[课时作业]‎ ‎ [A组　基础巩固]‎ ‎1．设x，y，z>0且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，lg 6]　　　　　 B．(－∞，3lg 2]‎ C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞)‎ 解析：∵lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)，‎ 而xyz≤3＝23，‎ ‎∴lg x＋lg y＋lg z≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x＝y＝z＝2时，取等号．‎ 答案：B ‎2．函数y＝x2·(1－5x)(0≤x≤)的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：∵0≤x≤，∴1－5x≥0，‎ ‎∴y＝x2·(1－5x)＝[x·x·(1－5x)]‎ ‎≤[]3＝.‎ 当且仅当x＝1－5x，‎ 即x＝时取“＝”，故选A.‎ 答案：A ‎3．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式正确的是(　　)‎ A．V≥π B．V≤π C．V≥π D．V≤π 解析：如图，设圆柱半径为R，高为h，则4R＋2h＝6，即2R＋h＝3.‎ V＝S·h＝πR2·h＝π·R·R·h≤π3＝π，当且仅当R＝R＝h＝1时取等号．‎ 答案：B 6‎ ‎4．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，若M＝··，则必有(　　)‎ A．0≤M< B.≤M<1‎ C．1≤M<8 D．M≥8‎ 解析：M＝·＝≥＝8，‎ 当且仅当a＝b＝c时等号成立．‎ 答案：D ‎5．已知x为正数，下列各题求得的最值正确的是(　　)‎ A．y＝x2＋2x＋≥3＝6，∴ymin＝6‎ B．y＝2＋x＋≥3＝3，∴ymin＝3 C．y＝2＋x＋≥4，∴ymin＝4‎ D．y＝x(1－x)(1－2x)≤[]3＝，‎ ‎∴ymax＝ 解析：A，B，D在使用不等式a＋b＋c≥3(a，b，c∈R＋)和abc≤()3(a，b，c∈R＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C中，∵x>0，∴y＝2＋x＋＝2＋(x＋)≥2＋2＝4，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．‎ 答案：C ‎6．若x>0，则函数y＝4x2＋的最小值是________．‎ 解析：∵x>0，‎ ‎∴y＝4x2＋＝4x2＋＋ ‎≥3 ＝3.‎ 当且仅当4x2＝(x>0)，‎ 即x＝时，取“＝”，‎ 6‎ ‎∴当x＝时，‎ y＝4x2＋(x>0)的最小值为3.‎ 答案：3‎ ‎7．若a>2，b>3，则a＋b＋的最小值为________．‎ 解析：∵a>2，b>3，∴a－2>0，b－3>0，‎ ‎∴a＋b＋ ‎＝(a－2)＋(b－3)＋＋5‎ ‎≥3 ＋5‎ ‎＝3＋5＝8(当且仅当a＝3，b＝4时等号成立)．‎ 答案：8‎ ‎8．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________．‎ 解析：设底面边长为x，高为h，则 x2·h＝V，‎ 所以h＝，‎ 又S表＝2·x2＋3xh ‎＝x2＋3x·＝x2＋ ‎＝＝ ‎≥×3＝3×，‎ 当且仅当x2＝，即x＝时，S表最小．‎ 答案： ‎9．已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3.‎ 证明：因为x>0，y>0，x－y>0，‎ ‎2x＋－2y 6‎ ‎＝2(x－y)＋ ‎＝(x－y)＋(x－y)＋ ‎≥3＝3，‎ 所以2x＋≥2y＋3.‎ ‎10．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器的容积最大值．‎ 解析：设正六棱柱容器底面边长为x(x>0)，高为h，由图可有2h＋x＝，‎ ‎∴h＝(1－x)，‎ V＝S底·h＝6×x2·h ‎＝x2··(1－x)‎ ‎＝2××××(1－x)‎ ‎≤9×3＝.‎ 当且仅当＝＝1－x，‎ 即x＝时，等号成立．‎ 所以当底面边长为时，正六棱柱容器的容积最大，为.‎ ‎[B组　能力提升]‎ 6‎ ‎1．已知a，b，c∈R＋，x＝，y＝，z＝ ，则(　　)‎ A．x≤y≤z B．y≤x≤z C．y≤z≤x D．z≤y≤x 解析：∵a，b，c∈R＋，∴≥，‎ ‎∴x≥y，又x2＝，z2＝，‎ ‎∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥‎2ac，‎ 三式相加得：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.‎ ‎∴‎3a2＋3b2＋‎3c2≥(a＋b＋c)2，‎ ‎∴z2≥x2，∴z≥x，即y≤x≤z.‎ 答案：B ‎2．若实数x，y满足xy>0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：xy＋x2＝xy＋xy＋x2‎ ‎≥3 ＝3 ＝3＝3.‎ 答案：C ‎3．设x∈，则函数y＝4sin2x·cos x的最大值为________．‎ 解析：∵y2＝16sin2x·sin2x·cos2x ‎＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8()3＝8×＝，‎ ‎∴y2≤，当且仅当sin2x＝2cos2x，‎ 即tan x＝时，等号成立．∴ymax＝.‎ 答案： ‎4．设正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．‎ 解析：∵a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，‎ ‎∴(‎3a＋2)＋(3b＋2)＋(‎3c＋2)＝9.‎ ‎∴(＋＋)·[(‎3a＋2)＋(3b＋2)＋(‎3c＋2)]≥‎ 6‎ ‎3··3＝9.‎ 当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．‎ 即＋＋≥1.‎ 故＋＋的最小值为1.‎ 答案：1‎ ‎5．设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2.‎ 证明：因为a，b，c为正实数，由算术—几何平均不等式可得 ＋＋≥3 ，‎ 即＋＋≥(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．‎ 所以＋＋＋abc≥＋abc.‎ 而＋abc≥2 ＝2(当且仅当a2b‎2c2＝3时，等号成立)，‎ 所以＋＋＋abc≥2(当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立)．‎ ‎6．已知某轮船速度为每小时10千米，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和为最小．‎ 解析：设船速为V千米/小时，燃料费为A元/小时，则依题意有A＝k·V3，且有30＝k·103，∴k＝.‎ ‎∴A＝V3.‎ 设每千米的航行费用为R，需时间为小时，‎ ‎∴R＝(V3＋480)＝V2＋ ‎＝V2＋＋ ‎≥3 ＝36.‎ 当且仅当V2＝，即V＝20时取最小值．‎ 6‎ 答：轮船航行速度为‎20千米/小时时，每千米航行费用总和最小．‎ 6‎