数学理卷·2018届云南省师范大学附属中学高考适应性月考卷（二）（2017

数学理卷·2018届云南省师范大学附属中学高考适应性月考卷（二）（2017

云南师大附中2018届高考适应性月考卷（二）‎ 理科数学试卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设复数满足，则复数对应的点位于复平面内（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C． 第三象限 D．第四象限 ‎3.命题，，若命题为真命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）‎ A．4 B．-4 C.5 D．-5‎ ‎5.已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（ ）‎ A．-2 B．-3 C. -4 D．-5‎ ‎6.若的展开式中常数项为，则实数的值为（ ）‎ A． B． C.-2 D．‎ ‎7.将函数（）的图象向右平移个单位，得取函数的图象，若在上为减函数，则的最大值为（ ）‎ A．2 B． 3 C. 4 D．5‎ ‎8.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，，，，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，，且的三条边，，成等差数列，则此椭圆的离心率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知函数，，如果对于任意的，都有成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ）‎ A．-1 B．-2 C.-3 D．-4‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若实数满足不等式组，则的最小值为 ．‎ ‎14.设数列的前项和为，且，，则 ．‎ ‎15.已知平面区域，，在区域内随机选取一点，则点恰好取自区域的概率是 ．‎ ‎16.已知函数，若有三个零点，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，分别是角的对边，.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的面积的最大值.‎ ‎18. 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中，从男生中随机抽取了70人，从女生中随机抽取了50人，男生中喜欢数学课程的占，女生中喜欢数学课程的占，得到如下列联表.‎ 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 合计 男生 女生 合计 ‎（1）请将列联表补充完整；试判断能否有90%的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关；‎ ‎（2）从不喜欢数学课程的学生中采用分层抽样的方法，随机抽取6人，现从6人中随机抽取2人，若所选2名学生中的女生人数为，求的分布列及数学期望.‎ 附：，其中.‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面，，，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）是侧棱上一点，记（），是否存在实数，使平面与平面所成的二面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（2）是否存在实数，使得函数在上的最小值为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎21. 已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）若是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当时，得到动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知直线经过点，倾斜角，在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出直线的参数方程，并把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）设与曲线相交于两点，求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对于，使恒成立，求实数的取值范围.‎ 云南师大附中2018届高考适应性月考卷（二）‎ 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B B A D D B A A D C C ‎【解析】‎ ‎1．，∴，故选C．‎ ‎2．，，故选B．‎ ‎3．对于成立是真命题，∴，即，故选B．‎ ‎4．由题意可知输出结果为，故选A．‎ ‎5．∵，∴，故选D．‎ ‎6．的展开式通项为，令，则有，∴，即，解得，故选D．‎ ‎7．由题意可得函数的解析式为，函数的一个单调递减区间是，若函数在区间上为减函数，则，只要，∴，则的最大值为，故选B．‎ ‎8．由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图1，平面，，，，，经计算，，，，∴，∴，，，，，∴，故选A．‎ ‎9．设外接圆半径为，三棱锥外接球半径为，∵，∴，∴，∴‎ ‎，∴，由题意知，平面，则将三棱锥补成三棱柱可得，，∴，故选A．‎ ‎10．设，由椭圆的定义得：，∵的三条边 ‎ 成等差数列，∴，联立，，解得 ‎ ‎ ，由余弦定理得：，将 ‎ ‎ 代入可得，‎ ‎，整理得：，由，得，解得：或（舍去），故选D．‎ ‎11．对于任意的，都有成立，等价于在，函数，，在上单调递减，在上单调递增，且，∴．在上，恒成立，等价于恒成立．设，，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，故选C．‎ ‎12．因为，由于圆 的半径为，是圆的一条直径，所以，，又，所以 ‎，所以，当时，，故的最小值为，故选C．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎【解析】‎ ‎13．画出不等式组表示的可行域知，的最小值为．‎ ‎14．①，②，①②得：，又 ∴数列 首项为1，公比为的等比数列，∴．‎ ‎15．依题意知，平面区域是一个边长为的正方形区域（包括边界），其面积为，‎ ‎，如图2， ‎ 点恰好取自区域的概率．‎ ‎16．由，得，设，则直线过定点 作出函数的图象（图象省略）．两函数图象有三个交点.‎ 当时，不满足条件；‎ 当时，当直线经过点时，此时两函数图象有个交点，此时，；当直线与相切时，有两个交点，此时函数的导数，设切点坐标为，则，切线的斜率为 ‎，则切线方程为，即，∵且，∴，即，则，即，则，∴，∴要使两个函数图象有个交点，则．‎ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）因为，‎ 所以，‎ 由正弦定理得，‎ 即，‎ 又，所以，‎ 所以，‎ 在中，，所以，所以．‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 当且仅当时“”成立，此时为等边三角形，‎ ‎∴的面积的最大值为．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）列联表补充如下：‎ 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 合计 男生 女生 合计 由题意得，‎ ‎∵，∴没有的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关．）‎ ‎（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是，‎ 则抽取男生人，抽取女生人，‎ 所以的分布列服从参数的超几何分布，‎ 的所有可能取值为，其中．‎ 由公式可得，，，‎ 所以的分布列为：‎ 所以的数学期望为．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：由已知，得，‎ ‎∵，，[]‎ 又，∴．‎ 又底面，平面，‎ 则，‎ ‎∵平面，平面，且，‎ ‎∴平面．‎ ‎∵平面，∴平面平面．‎ ‎（Ⅱ）解：以为坐标原点，过点作垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图3所示．‎ 则，‎ 因为在平行四边形中，，‎ 则，∴．‎ 又，知．‎ 设平面的法向量为，‎ 则即 取，则．‎ 设平面的法向量为，‎ 则即 取，则．‎ 若平面与平面所成的二面角为，‎ 则，即，‎ 化简得，即，‎ 解得（舍去）或．‎ 于是，存在，使平面与平面所成的二面角为．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：由题意知函数的定义域为，．‎ ‎（Ⅰ）①当时，，所以函数的单调递增区间是，无极值；‎ ‎②当时，由，解得，所以函数的单调递增区间是，‎ 由，解得，所以函数的单调递减区间是．‎ 所以当时，函数有极小值．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，①当时，函数在为增函数，‎ ‎∴函数在上的最小值为，显然，故不满足条件；‎ ‎②当时，函数在上为减函数，在上为增函数，‎ 故函数在上的最小值为的极小值，即，满足条件；‎ ‎③当时，函数在为减函数，‎ 故函数在上的最小值为，即，不满足条件．‎ 综上所述，存在实数，使得函数在上的最小值为．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设动点，则，且，①‎ 又，得，‎ 代入①得动点的轨迹方程为．‎ ‎（Ⅱ）当时，动点的轨迹曲线为．‎ 直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，代入，‎ 得，‎ 由，‎ 解得，②‎ 设，线段的中点，‎ 则．‎ 由题设知，正方形在轴左边的两边所在的直线方程分别为，注意到点不可能在轴右侧，则点在正方形内（包括边界）的条件是 即 解得，此时②也成立．‎ 于是直线的斜率的取值范围为．‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】‎ 解：（Ⅰ）直线的参数方程为：，‎ 曲线的直角坐标方程为：．‎ ‎（Ⅱ）把直线的参数方程代入曲线的方程中，‎ 得，即，‎ 设点所对应的参数分别为，则，‎ ‎∴．‎ ‎23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】‎ 解：（Ⅰ）不等式，即，即，‎ ‎，解得，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）‎ 故的最大值为，‎ 因为对于，使恒成立，‎ 所以，即，‎ 解得，∴．‎