2020高中数学 课时分层作业15 离散型随机变量的方差 新人教A版选修2-3

2020高中数学 课时分层作业15 离散型随机变量的方差 新人教A版选修2-3

课时分层作业(十五) 离散型随机变量的方差 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)和D(X)的值分别为(　　)‎ A．0和1　　　　　　　 B．p和p2‎ C．p和1－p D．p和(1－p)p D　[由题意知随机变量X满足两点分布，∴E(X)＝p，D(X)＝(1－p)p.]‎ ‎2．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为(　　) ‎ ‎【导学号：95032196】‎ A．0.6和0.7 B．1.7和0.09‎ C．0.3和0.7 D．1.7和0.21‎ D　[E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21.]‎ ‎3．已知随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝7，D(X)＝6，则p等于(　　)‎ A. B. C. D. A　[np＝7且np(1－p)＝6，解得1－p＝，∴p＝.]‎ ‎4．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，且a，b，c∈(0,1)．已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. D　[由题意，得‎3a＋2b＋0×c＝2，即‎3a＋2b＝2，其中0＜a＜，0＜b＜1.又＋＝＝3＋＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即a＝2b时取等号．又‎3a＋2b＝2，故当a＝，b＝时，＋取得最小值，为.故选D.]‎ ‎5．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η 6‎ 的分布列如下表．表中射击比较稳定的运动员是(　　) ‎ ‎【导学号：95032197】‎ 环数k ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P(ξ＝k)‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.5‎ P(η＝k)‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ A．甲 B．乙 C．一样 D．无法比较 B　[由题中分布列可得：‎ E(ξ)＝8×0.3＋9×0.2＋10×0.5＝9.2‎ E(η)＝8×0.2＋9×0.4＋10×0.4＝9.2‎ D(ξ)＝(8－9.2)2×0.3＋(9－9.2)2×0.2＋(10－9.2)2×0.5＝0.76‎ D(η)＝(8－9.2)2×0.2＋(9－9.2)2×0.4＋(10－9.2)2×0.4＝0.56‎ ‎∵E(ξ)＝E(η)，D(ξ)＞D(η)‎ ‎∴甲、乙两名运动员射击命中环数的平均数相等，而乙的成绩波动性较小，更稳定．]‎ 二、填空题 ‎6．一批产品中，次品率为，现连续抽取4次，其次品数记为X，则D(X)的值为________．‎ 　[由题意知X～B，所以D(X)＝4××＝.]‎ ‎7．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．‎ ‎0．5　[在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.]‎ ‎8．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________. ‎ ‎【导学号：95032198】‎ 　[设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，‎ 则解得 所以D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.]‎ 三、解答题 ‎9．已知随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ x 6‎ P p 若E(X)＝.‎ ‎(1)求D(X)的值；‎ ‎(2)若Y＝3X－2，求D(Y)的值．‎ ‎[解]　由＋＋p＝1，得p＝.‎ 又E(X)＝0×＋1×＋x＝，‎ 所以x＝2.‎ ‎(1)D(X)＝×＋×＋×＝＝.‎ ‎(2)因为Y＝3X－2，所以D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)＝5.‎ ‎10．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X＝x·y.‎ 求：(1)X所取各值的概率；‎ ‎(2)随机变量X的均值与方差. ‎ ‎【导学号：95032199】‎ ‎[解]　(1)P(X＝0)＝＝；‎ P(X＝1)＝＝；‎ P(X＝2)＝＝；‎ P(X＝4)＝＝.‎ ‎(2)X的分布列如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.‎ D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝.‎ ‎[能力提升练]‎ 一、选择题 ‎1．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B(10,0.6)，则E(η 6‎ ‎)和D(η)的值分别是(　　)‎ A．6和2.4　 B．2和2.4‎ C．2和5.6 D．6和5.6‎ B　[由已知E(ξ)＝10×0.6＝6，D(ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.‎ 因为ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ.‎ 所以E(η)＝－E(ξ)＋8＝2，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝2.4.]‎ ‎2．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的均值和方差分别是(　　)‎ A.， B.， C.， D.， D　[成功次数X服从二项分布，每次试验成功的概率为1－×＝，故在10次试验中，成功次数X的均值E(X)＝10×＝，方差D(X)＝10××＝.]‎ ‎3．随机变量ξ的分布列如下表，且E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝(　　) ‎ ‎【导学号：95032200】‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ x P p A．0.36 B．0.52‎ C．0.49 D．0.68‎ C　[先由随机变量分布列的性质求得p＝.‎ 由E(ξ)＝0×＋1×＋x＝1.1，得x＝2.‎ 所以D(ξ)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.]‎ 二、填空题 ‎4．抛掷一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B，若P(ξ＝1)＝，则方差D(ξ)＝________.‎ 　[因为3≤n≤8，ξ服从二项分布B，且P(ξ＝1)＝，所以C··＝，‎ 6‎ 即n＝，解得n＝6，‎ 所以方差D(ξ)＝np(1－p)＝6××＝.]‎ 三、解答题 ‎5．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图231所示．‎ 图231‎ 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．‎ ‎(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；‎ ‎(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).‎ ‎ 【导学号：95032201】‎ ‎[解]　(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个．”因此 P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，‎ P(A2)＝0.003×50＝0.15，‎ P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.‎ ‎(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为 P(X＝0)＝C(1－0.6)3＝0.064，‎ P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，‎ P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，‎ P(X＝3)＝C·0.63＝0.216，‎ 则X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.064‎ ‎0.288‎ ‎0.432‎ ‎0.216‎ 6‎ 因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，‎ 方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.‎ 6‎