河南省2020届高三下学期第三次联考（4月份） 数学（文）试题

河南省2020届高三下学期第三次联考（4月份） 数学（文）试题

‎2019-2020学年高三下学期第三次联考（文科）数学试卷 一、选择题（共12小题）.‎ ‎1．已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}，B＝{x|0＜x≤2}，则A∩B＝（　　）‎ A．{x|﹣1＜x≤2} B．{x|0＜x＜5} C．{0，1，2} D．{1，2}‎ ‎2．已知a，b∈R，3+ai＝b﹣（‎2a﹣1）i，则（　　）‎ A．b＝‎3a B．b＝‎6a C．b＝‎9a D．b＝‎‎12a ‎3．已知向量＝（0，2），＝（2，x），且与的夹角为，则x＝（　　）‎ A．﹣2 B．‎2 ‎C．1 D．﹣l ‎4．若x，y满足约束条件，则的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．3‎ ‎5．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（　　）‎ A．i≤3？ B．i≤4？ C．i≤5？ D．i≤6？‎ ‎6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝3﹣2x，则不等式f（x）＞0的解集为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．某班45名同学都参加了立定跳远和‎100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和‎100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5．现从这45名同学中按测试是否合格分层（分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅‎100米跑合格、两项都不合格四种）抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（　　）‎ A．1人 B．2人 C．5人 D．6人 ‎8．在正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，E，F分别为CC1，DD1的中点，则异面直线AF，DE所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知椭圆与直线交于A，B两点焦点P（0，﹣c），其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，给出下列关于g（x）的结论：‎ ‎①它的图象关于直线对称；②它的最小正周期为 ‎③它的图象关于点对称；④它在上单调递增．‎ 其中所有正确结论的编号是（　　）‎ A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④‎ ‎11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（　　）‎ A．56383 B．‎57171 ‎C．59189 D．61242‎ ‎12．已知函数f（x）＝aex（a＞0）与g（x）＝2x2﹣m（m＞0）的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m变化时，实数a的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13．已知数列{an}为等比数列，a1+a2＝﹣2，a2+a3＝6，则a5＝　 　．‎ ‎14．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一．直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数．现从1～5这5个数中随机选取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为　 　．‎ ‎15．已知双曲线﹣＝1（a＞b＞0）与抛物线y2＝8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点P，若|PF|＝5，则点F到双曲线的渐近线的距离为　 　．‎ ‎16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，点E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BD＝CD，△ACD 为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动（不含端点），且AM＝CN，则当四面体C﹣EMN的体积取得最大值时，三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为　 　．‎ 三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题共60分.‎ ‎17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且‎2a﹣c＝2bcosC．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若b＝，求c﹣a的取值范围．‎ ‎18．某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重．为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晩读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成如表：‎ 考试分数 ‎[85，95）‎ ‎[95，105）‎ ‎[105，115）‎ ‎[115，125）‎ ‎[125，135）‎ ‎[135，145]‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎（1）欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分？‎ ‎（2）依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．‎ 参考公式及数据：．‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB＝BC＝PA＝AD＝2，E为PB的中点，F是PC上的点．‎ ‎（1）若EF∥平面PAD，证明：F为PC的中点．‎ ‎（2）求点C到平面PBD的距离．‎ ‎20．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，AB为过焦点F且垂直于x轴的抛物线C的弦，已知以AB为直径的圆经过点（﹣1，0）．‎ ‎（1）求p的值及该圆的方程；‎ ‎（2）设M为l上任意一点，过点M作C的切线，切点为N，证明：MF⊥NF．‎ ‎21．已知函数，g（x）＝﹣mx+lnx（m∈R）．‎ ‎（1）求函数g（x）的单调区间与极值．‎ ‎（2）当m＞0时，是否存在x1，x2∈[1，2]，使得f（x1）＞g（x2）成立？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ＝6．‎ ‎（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）若射线m的极坐标方程为．设m与C相交于点M，m与l相交于点N，求|MN|．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设函数的最小值为m．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）若a，b，c为正实数，且，证明：．‎ 参考答案 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}，B＝{x|0＜x≤2}，则A∩B＝（　　）‎ A．{x|﹣1＜x≤2} B．{x|0＜x＜5} C．{0，1，2} D．{1，2}‎ ‎【分析】求出集合A和B，由此能求出A∩B．‎ 解：∵集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}＝{0，1，2，3，4}，‎ B＝{x|0＜x≤2}，‎ ‎∴A∩B＝{1，2}．‎ 故选：D．‎ ‎2．已知a，b∈R，3+ai＝b﹣（‎2a﹣1）i，则（　　）‎ A．b＝‎3a B．b＝‎6a C．b＝‎9a D．b＝‎‎12a ‎【分析】直接利用复数相等的条件列式求得a，b的值得答案．‎ 解：由3+ai＝b﹣（‎2a﹣1）i，‎ 得，即a＝，b＝3．‎ ‎∴b＝‎9a．‎ 故选：C．‎ ‎3．已知向量＝（0，2），＝（2，x），且与的夹角为，则x＝（　　）‎ A．﹣2 B．‎2 ‎C．1 D．﹣l ‎【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求出x的值．‎ 解：∵向量＝（0，2），＝（2，x），且与的夹角为，‎ ‎∴＝0+2x＝2••cos，即2x＝，求得x＝2，‎ 故选：B．‎ ‎4．若x，y满足约束条件，则的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．3‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值即可．‎ 解：因为表示经过点D（﹣3，﹣2）和可行域内的点（x，y）的直线的斜率；‎ 画出可行域；‎ 可知可行域的三个顶点分别为A（﹣1，3），B（﹣1，﹣1），C（1，1）；‎ 且KAD＝；‎ 故z．‎ 即的最大值为．‎ 故选：C．‎ ‎5．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（　　）‎ A．i≤3？ B．i≤4？ C．i≤5？ D．i≤6？‎ ‎【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ 解：模拟程序的运行，可得 当S＝1时，i＝9；‎ 当S＝1+9＝10时，i＝8；‎ 当S＝1+9+8＝18时，i＝7；‎ 当S＝1+9+8+7＝25时，i＝6；‎ 当S＝1+9+8+7+6＝31时，i＝5．‎ 此时输出S＝31，则图中判断框①处应填入的是i≤5？．‎ 故选：C．‎ ‎6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝3﹣2x，则不等式f（x）＞0的解集为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得f（x）的图象，据此分析可得答案．‎ 解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝3﹣2x，‎ 则其图象如图：‎ 且f（）＝f（﹣）＝0，‎ 则不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣）∪（0，）；‎ 故选：C．‎ ‎7．某班45名同学都参加了立定跳远和‎100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和‎100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5．现从这45名同学中按测试是否合格分层（分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅‎100米跑合格、两项都不合格四种）抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（　　）‎ A．1人 B．2人 C．5人 D．6人 ‎【分析】设这两项成绩均合格的人数为x，根据集合关系建立方程进行求解即可，再根据分层抽样即可求出．‎ 解：设这两项成绩均合格的人数为x，‎ 则立定跳远合格‎100米跑不合格的人数为30﹣x，‎ 则30﹣x+35+5＝45，‎ 得x＝25，‎ 即这两项成绩均合格的人数是25人，‎ 则抽出来复测的同学中两项都合格的有9×＝5，‎ 故选：C．‎ ‎8．在正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，E，F分别为CC1，DD1的中点，则异面直线AF，DE所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】可画出图形，连接BE，从而可得出∠DEB为异面直线AF，BE所成的角，并连接DB，然后可设正方体的棱长为2，从而可得出△BDE三边的长度，根据余弦定理即可求出cos∠DEB的值．‎ 解：如图，连接BE，则BE∥AF，则∠DEB为异面直线AF，DE所成的角，连接DB，设正方体的棱长为2，则：‎ ‎，‎ ‎∴在△BDE中，由余弦定理得，＝．‎ 故选：D．‎ ‎9．已知椭圆与直线交于A，B两点焦点P（0，﹣c），其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用已知条件求出A、B坐标，结合三角形是直角三角形，推出a、b、c关系，然后求解离心率即可．‎ 解：椭圆与直线交于A，B两点焦点P（0，﹣c），其中C为半焦距，‎ 若△ABF是直角三角形，不妨设A（0，a），B（﹣b，0），‎ 则＝0，解得b2＝ac，即a2﹣c2＝ac，即e2+e﹣1＝0，e∈（0，1），‎ 故e＝．‎ 故选：A．‎ ‎10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，给出下列关于g（x）的结论：‎ ‎①它的图象关于直线对称；②它的最小正周期为 ‎③它的图象关于点对称；④它在上单调递增．‎ 其中所有正确结论的编号是（　　）‎ A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④‎ ‎【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．‎ 解：将函数＝2sin（3x﹣）+1 的图象向左平移个单位长度，‎ 得到函数g（x）＝2sin（3x+﹣）+1＝2sin（3x+）+1 的图象．‎ 令x＝，求得g（x）＝2sin+1＝0，不是最值，故g（x）的图象不关于直线对称，故①不正确；‎ 它的最小正周期为，故②正确；‎ 当x＝时，g（x）＝1，故g（x）的图象关于点对称，故③正确；‎ 在上，3x+∈[5π+，6π+]，g（x）没有单调性，故④错误，‎ 故选：B．‎ ‎11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”‎ ‎，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（　　）‎ A．56383 B．‎57171 ‎C．59189 D．61242‎ ‎【分析】由已知可得被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，公差为5×7＝35的等差数列，求其通项公式，由an≤2020求得n值，再由等差数列的前n项和求解．‎ 解：被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，公差为5×7＝35的等差数列，记数列{an}．‎ 则an＝23+35（n﹣1）＝35n﹣12，‎ 令an＝35n﹣12≤2020，解得n．‎ 故该数列各项之和为58×．‎ 故选：C．‎ ‎12．已知函数f（x）＝aex（a＞0）与g（x）＝2x2﹣m（m＞0）的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m变化时，实数a的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先设出切点，根据切点是公共点且切点处导数值相等构造方程，由此将m用切点的横坐标x0表示出来，根据m的范围求出x0的范围，再将a表示成x0的函数，利用导数求其值域即可．‎ 解：设切点为A（x0，y0），‎ 所以，整理得，‎ 由，解得x0＞2．‎ 由上可知，令，则．‎ 因为x＞2，所以在（2，+∞）上单调递减，‎ 所以，即．‎ 故选：D．‎ 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13．已知数列{an}为等比数列，a1+a2＝﹣2，a2+a3＝6，则a5＝　81　．‎ ‎【分析】由已知结合等比数列的通项公式即可直接求解．‎ 解：设公比为q，则q＝＝﹣3，‎ 由a1+a2＝a1﹣‎3a1＝﹣2可得a1＝1，‎ 故a5＝81．‎ 故答案为：81．‎ ‎14．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一．直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数．现从1～5这5个数中随机选取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为　　．‎ ‎【分析】基本事件总数n＝＝10，这三个数为勾股数包含的基本事件（a，b，c）有：（3，4，5），共1个，由此能求出这三个数为勾股数的概率．‎ 解：现从1～5这5个数中随机选取3个不同的数，‎ 基本事件总数n＝＝10，‎ 这三个数为勾股数包含的基本事件（a，b，c）有：（3，4，5），共1个，‎ ‎∴这三个数为勾股数的概率为p＝．‎ 故答案为：．‎ ‎15．已知双曲线﹣＝1（a＞b＞0）与抛物线y2＝8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点P，若|PF|＝5，则点F到双曲线的渐近线的距离为　　．‎ ‎【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p＝‎2c，b2＝c2﹣a2，解得a，b，得到渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到．‎ 解：∵抛物线y2＝8x的焦点坐标F（2，0），p＝4，‎ 抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，‎ ‎∴p＝‎2c，即c＝2，‎ ‎∵设P（m，n），由抛物线定义知：‎ ‎|PF|＝m+＝m+2＝5，∴m＝3．‎ ‎∴P点的坐标为（3，）‎ ‎∴解得：a＝1，b＝，‎ 则渐近线方程为y＝x，‎ 即有点F到双曲线的渐近线的距离为d＝＝，‎ 故答案为：．‎ ‎16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，点E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BD＝CD，△ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动（不含端点），且AM＝CN，则当四面体C﹣EMN的体积取得最大值时，三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为　32π　．‎ ‎【分析】设ED＝a，则CD＝a．可得CE⊥ED．当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C﹣EMN的体积才有可能取得最大值，设AM＝x．则四面体C﹣EMN的体积＝（a﹣x）××a×x×＝ax（a﹣x）．利用基本不等式的性质可得最大值，进而得出结论．‎ 解：设ED＝a，则CD＝a．可得CE2+DE2＝CD2，∴CE⊥ED．‎ 当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C﹣EMN的体积才有可能取得最大值，设AM＝x．‎ 则四面体C﹣EMN的体积＝（a﹣x）××a×x×＝ax（a﹣x）≤a＝，当且仅当x＝时取等号．‎ 解得a＝2．‎ 此时三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积＝4πa2＝32π．‎ 故答案为：32π．‎ 三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题共60分.‎ ‎17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且‎2a﹣c＝2bcosC．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若b＝，求c﹣a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）由已知结合余弦定理进行化简求解cosB，进而可求B，代入即可求解；‎ ‎（2）由已知结合正弦定理可表示c﹣a，然后结合和差角公式及正弦函数的性质即可求解．‎ 解：（1）因为‎2a﹣c＝2bcosC＝，‎ 整理可得，a2+c2﹣b2＝ac，‎ 由余弦定理可得，cosB＝，‎ 故B＝60°，A+C＝120°，‎ 所以＝sin120°＝；‎ ‎（2由正弦定理可得，，‎ 所以a＝2sinA，c＝2sinC，‎ 所以c﹣a＝2sinC﹣2sinA＝2sinC﹣2sin（120°﹣C）＝sinC﹣cosC，‎ ‎＝2sin（C﹣60°），‎ 因为0°＜C＜120°，所以﹣60°＜C﹣60°＜60°，‎ 所以﹣sin（C﹣600）＜，‎ 故﹣＜c﹣a ‎18．某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重．为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晩读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成如表：‎ 考试分数 ‎[85，95）‎ ‎[95，105）‎ ‎[105，115）‎ ‎[115，125）‎ ‎[125，135）‎ ‎[135，145]‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎（1）欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分？‎ ‎（2）依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．‎ 参考公式及数据：．‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【分析】（1）计算测试成绩优秀的人数，结合表中数据得出结论；‎ ‎（2）由题意计算并填写列联表，求出观测值，对照临界值得出结论．‎ 解：（1）因为测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为50×30%＝15，‎ 由表中数据知，优秀分数线应定为125分．‎ ‎（2）由（1）知，测试成绩优秀的学生有50×0.3＝15人，其中“赞成的”有10人；‎ 测试成绩不优秀的学生有50﹣15＝35人，其中“赞成的”有22人；‎ 填写2×2列联表如下：‎ 赞成 不赞成 合计 优秀 ‎10‎ ‎5‎ ‎15‎ 不优秀 ‎22‎ ‎13‎ ‎35‎ 合计 ‎32‎ ‎18‎ ‎50‎ 计算，‎ 因此，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB＝BC＝PA＝AD＝2，E为PB的中点，F是PC上的点．‎ ‎（1）若EF∥平面PAD，证明：F为PC的中点．‎ ‎（2）求点C到平面PBD的距离．‎ ‎【分析】（1）由线面平行的判定定理可得BC∥平面PAD，再由线面平行的性质定理可得EF∥PM，进而得到所求结论；‎ ‎（2）运用线面垂直的性质定理，结合勾股定理求得PB，PD，BD，由三角形的面积公式可得三角形PBD的面积，设点C到平面PBD的距离为d，由VC﹣PBD＝VP﹣BCD，运用棱锥的体积的公式，计算可得所求值．‎ ‎【解答】（1）证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，‎ 所以BC∥平面PAD．‎ 因为P∈平面PBC，P∈平面PAD，所以可设平面PBC∩平面PAD＝PM，‎ 又因为BC⊂平面PBC，所以BC∥PM．‎ 因为EF∥平面PAD，EF⊂平面PBC，‎ 所以EF∥PM，‎ 从而得EF∥BC．‎ 因为E为PB的中点，所以F为PC的中点．‎ ‎（2）解：因为PA⊥底面，‎ 所以，，‎ 所以．‎ 设点C到平面PBD的距离为d，‎ 由VC﹣PBD＝VP﹣BCD，得，‎ 即•6d＝•2•2•2，‎ 解得．‎ ‎20．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，AB为过焦点F且垂直于x轴的抛物线C的弦，已知以AB为直径的圆经过点（﹣1，0）．‎ ‎（1）求p的值及该圆的方程；‎ ‎（2）设M为l上任意一点，过点M作C的切线，切点为N，证明：MF⊥NF．‎ ‎【分析】（1）易知A（，±p），所以p＝，即可解得p的值，得到圆心坐标为（1，0），半径为2，从而求出改圆的方程；‎ ‎（2）设M（﹣1，y0），MN的方程为y＝k（x+1）+y0，与抛物线方程联立，由△＝0可得令△＝0可得，所以，与抛物线方程联立可求出N点的坐标，从而得到＝0，故MF⊥NF．‎ 解：（1）易知A点的坐标为（，±p），‎ 所以p＝，解得p＝2，‎ 又圆的圆心为F（1，0），‎ 所以圆的方程为（x﹣1）2+y＝4；‎ ‎（2）证明：易知直线MN的斜率存在且不为0，‎ 设M（﹣1，y0），MN的方程为y＝k（x+1）+y0，代入C的方程得ky2﹣4y+4（y0+k）＝0，‎ 令△＝16﹣16k（y0+k）＝0．得，‎ 所以ky2﹣4y+4（y0+k）＝＝0，解得，‎ 将代入C的方程，得x＝，即N点的坐标为（，），‎ 所以＝（﹣2，y0），＝（，），‎ 所以＝2﹣+y0＝2﹣+（）＝0‎ 故MF⊥NF．‎ ‎21．已知函数，g（x）＝﹣mx+lnx（m∈R）．‎ ‎（1）求函数g（x）的单调区间与极值．‎ ‎（2）当m＞0时，是否存在x1，x2∈[1，2]，使得f（x1）＞g（x2）成立？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调区间与极值，‎ ‎（2）由题意可得，对x∈[1，2]，满足f（x）max＞g（x）min，结合导数及单调性关系可求．‎ 解：（1）g′（x）＝﹣m+，x＞0，‎ 当m≤0时，g′（x）＞0恒成立，函数g（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间，所以不存在极值，‎ 当m＞0时，当0＜x＜时，g′（x）＞0此时函数单调递增，当x＞时，g′（x）＜0，此时函数，单调递减 故函数g（x）的单调增区间为，单调减区间为（），‎ 此时函数g（x）在x＝处取得极大值，极大值为g（）＝﹣1﹣lnm，无极小值，‎ 综上，当m≤0时，函数g（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间，不存在极值．‎ 当m＞0时，函数g（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（），极大值为﹣1﹣lnm，无极小值，‎ ‎（2）当m＞0时，假设存在x1，x2∈[1，2]，使得f（x1）＞g（x2）成立 则对x∈[1，2]，满足f（x）max＞g（x）min，‎ ‎∵f′（x）＝x∈[1，2]，‎ 令h（x）＝x﹣lnx，x∈[1，2]，则≥0，‎ 所以h（x）在[1，2]上单调递增，‎ 所以h（x）≥h（1）＝1，所以f′（x）＞0，所以f（x）在[1，2]上单调递增，‎ 所以f（x）max＝f（2）＝﹣‎3m，‎ 由（1）可知，①当0时，即m≥1时，函数g（x）在[1，2]上单调递减，‎ 所以g（x）的最小值是g（2）＝﹣‎2m+ln2，‎ ‎②当，即0 时，函数g（x）在[1，2]上单调递增，‎ 所以g（x）的最小值是g（1）＝﹣m，‎ ‎③当时，即时，函数g（x）在[1，]上单调递增，在[，2]‎ 上单调递减．又g（2）﹣g（1）＝ln2﹣m，‎ ‎，所以当时，g（x）在[1，2]上的最小值是g（1）＝﹣m．‎ 当ln2≤m＜1时，g（x）在1，2]上的最小值是g（2）＝ln2﹣‎2m，‎ 所以当0＜m＜ln2时，g（x）在[1，2]上的最小值是g（1）＝﹣m，‎ 故，‎ 解得，所以ln2＞m＞0，‎ 当ln2≤m时，函数g（x）在[1，2]上的最小值是g（2）＝ln2﹣‎2m，‎ 故，‎ 解得m，‎ 所以ln2．‎ 故实数m的取值范围是（0，）．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ＝6．‎ ‎（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）若射线m的极坐标方程为．设m与C相交于点M，m与l相交于点N，求|MN|．‎ ‎【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．‎ ‎（2）利用直线和曲线组成的方程组，进一步求出极径，利用极径的应用求出|MN|结的长．‎ 解：（1）已知曲线C的参数方程为（α为参数）．消去参数α，得，‎ 所以曲线C的普通方程为．‎ 直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ＝6．转换为直角坐标方程为x+y﹣6＝0．‎ ‎（2）曲线C的极坐标方程为．‎ 将代入，‎ 解得，‎ 将代入ρsinθ+ρcosθ＝6，‎ 解得．‎ 故．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设函数的最小值为m．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）若a，b，c为正实数，且，证明：．‎ ‎【分析】（1）将函数f（x）化为分段函数的形式，利用其单调性即可求得最小值m；‎ ‎（2）依题意，，利用基本不等式可证a+2b+‎3c≥9，由此得证．‎ 解：（1），‎ 当x∈（﹣∞，1）时，f（x）单调递减；当x∈[1，+∞）时，f（x）单调递增．‎ 所以当x＝1时，f（x）取最小值．‎ ‎（2）证明：由（1）可知．‎ 因为a，b，c为正实数，‎ 所以＝＝9．‎ 当且仅当a＝2b＝‎3c，即时取等号，‎ 所以．‎