专题20 平面向量的数量积-2018年高考数学（文）热点题型和提分秘籍

专题20 平面向量的数量积-2018年高考数学（文）热点题型和提分秘籍

‎【高频考点解读】‎ ‎1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义 ‎2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系 ‎3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 ‎4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 ‎【热点题型】‎ 热点题型一 平面向量的数量积运算 例1、【2017课标II，文12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【变式探究】 (1)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝__________。‎ ‎(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则·的值为__________，·的最大值为__________。‎ ‎【答案】（1）2 （2）1 1‎ ‎【解析】(1)由c＝ta＋(1－t)b得，b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝0，整理得t|a||b|cos60°＋(1－t)|b|2＝0，化简得t＋1－t＝0，所以t＝2。‎ ‎(2)方法一：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t，0)，0≤t≤1，则D(0，1)，B(1，0)，C(1，1)，＝(t，－1)，＝(0，－1)，‎ 所以·＝1。‎ ‎【提分秘籍】向量数量积的两种计算方法 ‎(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cosθ。‎ ‎(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝__________。‎ ‎【答案】－6‎ ‎【解析】b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)‎ ‎＝3e－2e1·e2－8e ‎＝3－2×1×1×cos－8＝－6。‎ 热点题型二 平面向量的垂直与夹角问题 ‎ 例2、 (1)若|a|＝2，|b|＝4且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角是(　　)‎ A. B. C. D．－ ‎(2)设向量a＝(x－1，1)，b＝(－x＋1，3)，若a⊥(a－b)，则x＝__________。‎ ‎(3)设两个向量a，b，满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，若向量2ta＋7b与a＋tb的夹角为钝角，求实数t的范围。‎ ‎【答案】（1）A（2）0或2 （3）见解析 ‎【解析】(1)根据题意，由于|a|＝2，|b|＝4且(a＋b)⊥a，则有(a＋b)·a＝0⇔a2＋b·a＝0⇔4＋b·a＝‎ ‎【提分秘籍】 平面向量数量积的两个应用 ‎(1)求夹角大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cosθ＝(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题。‎ ‎(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角。‎ ‎【举一反三】 ‎ 若向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，则‎2a＋b与a－b的夹角等于(　　)‎ A．－ B. C. D. ‎【答案】C 热点题型三 平面向量的模 ‎ 例3． (1)已知a，b是单位向量，a·b＝0。若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为(　　)‎ A.－1 B. C.＋1 D.＋2‎ ‎(2)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R。若e1，e2的夹角为，则的最大值等于__________。‎ ‎【答案】（1）C（2）2‎ ‎【解析】(1)方法一：条件|c－a－b|＝1可以理解成如图的情况 而|a＋b|＝，向量c的终点在单位圆上，故|c|的最大值为＋1。‎ 方法二：由题意，得|a|＝|b|＝1，a·b＝0，‎ 所以|a＋b|＝，‎ 因为|c－a－b|＝1，‎ 所以|c－a－b|2＝c2－‎2c·(a＋b)＋(a＋b)2＝1。‎ 设c与a＋b的夹角为θ，‎ 则|c|2－2|c|×cosθ＋2＝1，‎ ‎【提分秘籍】求平面向量的模及最值的方法 几何法求最值：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围 代数法求最值：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围。‎ ‎【举一反三】 ‎ 若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　)‎ A.－1 B．1‎ C. D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由向量a，b，c都是单位向量，可得a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0及(a－c)·(b－c)≤0，可以知道(a＋b)·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋‎2a·b－‎2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)＝3－2(a＋b)·c，故|a＋b－c|≤1。‎ ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎1.【2017课标3，文12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +，则+的最大值为 A．3 B．2 C． D．2‎ ‎【答案】A 点在圆上，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A。‎ ‎【考点】 平面向量的坐标运算；平面向量基本定理 ‎2.【2017北京，文6】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若，使，即两向量反向，夹角是，那么T，若，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A.‎ ‎【考点】1.向量；2.充分必要条件.‎ ‎3.【2017课标II，文12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【考点】 平面向量的坐标运算；函数的最值 ‎4.【2017课标1，文13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，‎ 所以.‎ ‎【考点】平面向量的运算.‎ ‎5.【2017天津，文13】在中，，，.若，，且，则的值为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ,则 ‎.‎ ‎【考点】向量的数量积 ‎6.【2017山东，文12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】1.平面向量的数量积.2.平行向量的夹角.3.单位向量.‎ ‎7．【2017浙江，15】已知向量a，b满足则 的最小值是________，最大值是_______．‎ ‎【答案】4，‎ ‎【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有： ，‎ ‎，则：‎ ‎，‎ 令，则，‎ 据此可得： ，‎ 即的最小值是4，最大值是．‎ ‎【考点】平面向量模长运算 ‎8.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为， ， ，所以，故选C。‎ ‎【考点】 平面向量数量积运算 ‎9.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45°.若, 则 ▲ .‎ ‎ ‎ A ‎ C ‎ B O ‎(第12题) ‎ ‎【答案】3 ‎ ‎【解析】由可得， ，根据向量的分解，‎ 易得，即，即，即得，‎ 所以．‎ ‎【考点】向量表示 ‎10.【2017江苏，16】 已知向量 ‎（1）若a∥b,求x的值；‎ ‎（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.‎ ‎【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3； 时，取得最小值，为.‎ ‎【解析】‎ 解：（1）因为， ，a∥b，‎ ‎ 所以.‎ 若，则，与矛盾，故.‎ 于是. ‎ 又，所以.‎ ‎（2）.‎ 因为，所以，‎ 从而.‎ 于是，当，即时， 取到最大值3；‎ 当，即时， 取到最小值.‎ ‎【考点】向量共线，数量积 ‎1.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 ▲ . ‎ ‎【答案】‎ ‎【2015高考山东，文4】已知菱形的边长为 ， ,则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎【答案】D ‎【解析】因为 ‎ 故选D.‎ ‎【2015高考陕西，文7】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以选项A正确；当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；，所以选项D正确．故选B．‎ ‎【2015高考四川，文7】设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则（ ）‎ ‎（A）20 （B）15 （C）9 （D）6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，所以 ‎，选C.‎ ‎【2015高考安徽，文8】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，‎ ‎ ‎ ‎【2015高考福建，文9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）‎ A．13 B． 15 C．19 D．21‎ ‎【答案】A ‎【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此 ‎，因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号．‎ ‎【2015高考天津，文14】在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎1．（2014·北京卷）已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________．‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】∵λa＋b＝0，∴λa＝－b，‎ ‎∴|λ|＝＝＝.‎ ‎2．（2014·湖北卷）设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．‎ ‎【答案】±3　‎ ‎【解析】因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.‎ ‎3．（2014·江西卷）已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________．‎ ‎【答案】　‎ ‎4．（2014·全国卷）若向量a，b满足：＝1，(a＋b)⊥a，(＋b)⊥b，则|＝(　　)‎ A．2 B. ‎ C．1 D. ‎【答案】B　‎ ‎【解析】因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)＝0，即2＋＝因为(＋b)⊥b，所以(＋b)＝0，即b＋2＝0，与2＋＝0联立，可得－2＝0，所以＝＝.‎ ‎5．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则＝(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．5‎ ‎【答案】A　‎ ‎【解析】由已知得|a＋b|2＝10，|a－b|2＝6，两式相减，得‎4a·b＝4，所以a·b＝1.‎ ‎6．（2014·山东卷）在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为______．‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】因为AB·AC＝||·||cos A＝tan A，且A＝，所以||·||＝，所以△ABC的面积S＝||·||sin A＝××sin ＝ .‎ ‎7．（2014·天津卷）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】C　‎ ‎【解析】建立如图所示的坐标系，则A(－1，0)，B(0，－)，C(1，0)，D(0，)．设E(x1，y1)，F(x2，‎ ‎【高考冲刺】‎ ‎1.已知正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，F为CD的中点，则·=　(　　)‎ A.-1 B‎.0 ‎ C.1 D.2‎ ‎【解析】选B.如图.以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，‎ B(2，0)，E(2，1)，F(1，2)，所以=(2，1)，=(-1，2)，所以·=-2+2=0.‎ ‎2.已知e1，e2是单位向量，m=e1+2e2，n=5e1-4e2，若m⊥n，则e1与e2的夹角为　(　　)‎ A. B. C.π D.π ‎3.若向量a=(1，2)，b=(1，-1)，则‎2a+b与a-b的夹角等于　(　　)‎ A.- B. C. D.‎ ‎【解析】选C.因为‎2a+b=(3，3)，a-b=(0，3)，‎ 设‎2a+b与a-b的夹角为α，‎ 所以cosα===.又α∈[0，π]，故α=.‎ ‎4.如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB=1，AC=3，<>=60°，则||=　(　　)‎ A.1 B.2‎ C. D.5‎ ‎【解析】选C.根据题意，O为BC中点，‎ 所以= (+)，‎ ‎||2= (+2·+)‎ ‎= (12+2×1×3×cos60°+32)=;‎ 所以||=.‎ ‎5.已知平面向量m，n的夹角为，且|m|=，|n|=2，在△ABC中，=‎2m+2n，‎ ‎=‎2m-6n，=，则||=　(　　)‎ A.2 B‎.4 ‎ C.6 D.8‎ ‎6.在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，若|+|=，α∈(0，π)，则与的夹角为　(　　)‎ A. B. C.π D.π ‎【解析】选A.由题意，得+=(3+cosα，sinα)，‎ ‎7.已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A，B两点，且AB=，则·的值是　(　　)‎ A.- B. C.- D.0‎ ‎【解析】选A.取AB的中点C，连接OC，AB=，‎ 则AC=，又因为OA=1，‎ 所以sin=sin∠AOC==，‎ 所以∠AOB=120°，‎ 则·=1×1×cos120°=-.‎ ‎8.在△ABC中，AB=4，AC=3，·=1，‎ 则BC=　(　　)‎ A. B. C.2 D.3‎ ‎【解析】选D.设∠A=θ，‎ 因为=-，AB=4，AC=3，‎ 所以·=-·=9-·=1.‎ 所以·=8.cosθ===，‎ 所以BC==3.‎ ‎9.若a，b是单位向量，a·b=0，且|c-a|+|c-2b|=，则|c+‎2a|的范围是　(　　)‎ A.[1，3]　　　　　　　 B.[2，3]‎ C. D.‎ ‎【解析】选D.因为a，b是单位向量，且a·b=0，‎ 所以不妨设a，b分别是与x轴，y轴正方向相同的单位向量，‎ 即a=(1，0)，b=(0，1).‎ 设c=(x，y)，则c-a=(x-1，y)，‎ c-2b=(x，y-2)，c+‎2a=(x+2，y)，‎ 所以|c-a|+|c-2b|=+=，‎ 上式的几何意义是动点P(x，y)到定点A(1，0)，B(0，2)的距离之和为的点的集合，而|AB|=，‎ 所以点P在线段AB上，如图.‎ ‎|c+‎2a|=的几何意义 是动点P(x，y)到定点C(-2， 0)的距离，‎ 过C作CD⊥AB，垂足为D，则|CD|=，又|CA|=3，‎ 所以≤|c+‎2a|≤3.‎ ‎10.若两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|=2|a|，则向量a+b与a的夹角为　　　　.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由|a+b|=|a-b|，得a2+‎2a·b+b2=a2‎-2a·b+b2，即a·b=0，所以(a+b)·a=a2+‎ a·b=|a|2.‎ 故向量a+b与a的夹角θ的余弦值为 cosθ==.又0≤θ≤π，所以θ=.‎ ‎11.已知圆O的半径为2，AB是圆O的一条直径，C，D两点都在圆O上，且||=2，则|+|=　　　　.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】如图，连接OC，OD，‎ 则=+=+，‎ 因为O是AB的中点，‎ 所以+=0，‎ 所以+=+，‎ 设CD的中点为M，连接OM，‎ 则+=+=2，‎ 显然△COD是边长为2的等边三角形，‎ 所以||=，‎ 故|+|=|2|=2.‎ ‎12.已知平面向量a，b满足|a|=，|b|=1，‎ ‎(1)若|a-b|=2，试求a与b的夹角的余弦值.‎ ‎(2)若对一切实数x，|a+xb|≥|a+b|恒成立，求a与b的夹角.‎ ‎【解析】(1)因为|a|=，|b|=1，|a-b|=2.‎ ‎ ‎