专题2-1 三角函数、解三角形 -2017年全国高考数学考前复习大串讲

专题2-1 三角函数、解三角形 -2017年全国高考数学考前复习大串讲

【知识网络】 【考点聚焦】 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用 A、B、C 表示）． 要 求 内 容 A B C 三角函数的概念　 √ 同角三角函数的基本关系式　 √ 正弦函数、余弦函数的诱导公式 √ 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质　　 √ 函数 的图象与性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　√ 两角和（差）的正弦、余弦及正切 √ 基本初等 函数Ⅱ（三 角函数）、 三角恒等 变换 二倍角的正弦、余弦及正切　　 √ 解三角形 正弦定理、余弦定理及其应用 √ 1.原题（必修 4 第十页 A 组第五题） 变式 1 下列说法中正确的是(　　) )sin( ϕω += xAy A．第一象限角一定不是负角 B．－831°是第四象限角 C．钝角一定是第二象限角 D．终边与始边均相同的角一定相等 【答案】C. 变式 2 已知θ为第二象限角，那么 是（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角 C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角 【答案】D. 【答案】C. 【解析】 当 时， 在第一象限；当 时， 在第三象限； 而 ， 在第三象限；答案：C . 3 θ 2 2 ,( ), ,( ),2 4 2 2k k k Z k k k Z π π α ππ α π π π π+ < < + ∈ + < < + ∈ 2 ,( )k n n Z= ∈ 2 α 2 1,( )k n n Z= + ∈ 2 α cos cos cos 02 2 2 α α α= − ⇒ ≤ 2 α∴ 2.原题（必修 4 第十页 B 组第二题）变式时钟的分针在 1 点到 3 点 20 分这段时间 里转过的弧度数为(　　) A.14 3 π B．－14 3 π C. 7 18 π D．－ 7 18 π 【答案】B. 【解析】 显然分针在 1 点到 3 点 20 分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的 1 3，用弧度制表 示就是－4π－ 1 3×2π＝－ 14 3 π.故选 B. 3.原题（必修 4 第十九页例 6）变式 （1）已知 ，且 为第二象限角，求 ； （2）已知 = ，求 . 【解析】（1） ，且 为第二象限角， = . （ 2 ） ， 为 象 限 角 . 当 为 第 一 或 第 四 象 限 角 时 ， = ， ； 当 为 第 二 或 第 三 象 限 角 时 ， ， ，综上， 的值为 或 . 4.原题（必修 4 第十九页例 7）变式 若 的值是 （ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 【答案】B. sinα 1 3 = α tanα sinα m ( 0, 1)m m≠ ≠ ± tanα 1sin 3 α = α 2cos 1 sinα α∴ = − − 2 2 3 − sin 2tan cos 4 αα α∴ = = − sin ( 0, 1)m m mα = ≠ ≠ ± α∴ α 2cos 1 sinα α= − 21 m− 2 tan 1 m m α = − α 2cos 1 mα = − − 2 tan 1 m m α = − − tanα 21 m m− 21 m m − − sin cos 1, sin cos 1,a b abθ θ θ θ+ = − = 则 2 5.原题（必修 4 第二十二页习题 1.2B 组第二题）变式 化简 为 （ ） A. C. B. D. 不能确定 【答案】C. 【解析】:C .原式= 6.原题（必修 4 第二十二页 B 组第三题）变式 已知 ，计算：（1） ； （2） 【解析】：（1）原式 ；（2）原式 7.原题（必修 4 第二十三页探究）变式 1 化简 得( ) A. B. C. D.± 【答案】C. 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 x x x x + −−− + 2tan x 2tan x− 2tan x± 2tan 2 ,4 4 32tan 2 ,4 4 x x k k x x k k π ππ π π ππ π   ∈ − +     − ∈ + +    tan 2α = 2sin cos sin 2cos α α α α − + 2 2sin sin cos 2cosα α α α+ − 2tan 1 3 tan 2 4 α α −= =+ 2 2 2 2 sin sin cos 2cos sin cos α α α α α α + −= + 2 2 tan tan 2 4 tan 1 5 α α α + −= =+ 1 2sin( 2) cos( 2)+ π − ⋅ π − sin 2 cos2+ cos2 sin 2− sin 2 cos2− cos2 sin 2− 【答案】B. 【解析】 , , 8. 原 题 （ 必 修 4 第 二 十 七 页 例 4 ） 变 式 已 知 角 x 终 边 上 的 一 点 P （ -4 ， 3 ），则 的值为 . 【解析】 ，根据三角函数的定义，可知 9.原题（必修 4 第四十一页练习题 6）变式 函数 的单调递增区间 为 . 【 解 析 】 ， ∴ 所 求 的 递 增 区 间 就 是 使 的 值 为 正 值 的 递 减 区 间 ， 由 得 ： ∴ 所 求 的 递 增 区 间 为 (2001) sin(2001 ) cos(2001 ) 4 sin( ) cos( )f a b a bπ α β α β= + + π + + = π + + π + sin cos 4 5a bα β= − − + = sin cos 1a bα β∴− − = (2010) sin(2010 ) cos(2010 ) 4 sin cos 4 1 4 3f a b a bα β α β= π + + π + + = + + = − + = ( )cos sin2 9cos sin2 2 x x x x π π π π  + − −      − +       ( )cos sin sin sin2 tan9 sin coscos sin2 2 x x x x xx xx x π π π π  + − −  − •  = = −•   − +       3 3tan , =-tan4 4 yx xx = = − =所以原式 1 2 log cos 3 4 xy π  = − −     1 1 2 2 log cos log cos3 4 3 4 x xy π π      = − − = +             cos 3 4 xy π = +   2 2 ,3 4 2 xk k k z π ππ π≤ + 〈 + ∈ 3 36 6 , .4 4k x k k zπ π π π− + ≤ 〈 + ∈ 答案： 10.原题（必修 4 第五十三页例 1）变式 设 ω>0，函数 y＝sin (ωx＋ π 3 )的图象向右平移 4π 3 个单位后与原图象重合，则 ω 的最小值是(　　) A. 2 3 B. 4 3 C. 3 2 D．3 【答案】C. 11.原题（必修 4 第五十六页练习题 3）变式 的振幅为 ，频率和初 相分别为 ， . 【解析】 2 12.原题（必修 4 第五十八页例 4）变式 某正弦交流电的电压（单位 V）随时间 t（单位：s） 变化的函数关系是 . （1）求该正弦交流电电压的周期、频率、振幅； （2）当 ， 时，求瞬时电压； （3）将此电压加在激发电压、熄灭电压均为 84V 的霓虹灯的两端，求在半个周期内霓虹灯管点 亮的时间？（说明：加在霓虹灯管两端电压大于 84V 时灯管才发光. 取 ） 【解析】（1）周期 ， 频率 ，振幅 . （2） 时， （V）； 时， （V）. ( )3 36 , 64 4k k k zπ π π π − + + ∈  ( )3 36 , 64 4k k k zπ π π π − + + ∈  sin 2 4y x π = −   ______ ______ ______ 1 π 4 π− 120 2 sin(100 ), [0, )6v t t ππ= − ∈ +∞ 1 600t = 1 60 2 1.4≈ 2 1 100 50T π π= = 1 50f T = = 120 2A = 1 600t = 1120 2 sin(100 ) 120 2 sin0 0600 6v ππ= × − = = 1 60t = 1 3120 2 sin(100 ) 120 2 sin 120 260 6 2v π ππ= × − = = − （3）由 及 ，得 . 结合正弦图象，取半个周期，有 ，解得 . 所以，半个周期内霓虹灯管点亮的时间为 （s）. 13.原题（必修 4 第六十页例 2）变式 在函数 、 、 、 中，最小正周期为 的函数的个数为（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 14.原题（必修 4 第六十九页复习参考题 A 组第八题）变式 已知 是关于的方程 的两个实根，且 ，求 的值． 【解析】 ，而 ，则 得 ，则 . 15.原题（必修 4 第七十一页复习参考题 B 组第六题）变式 已知 的值域为 . 【解析】 120 2 sin(100 ) 846t ππ − > 2 1.4≈ 1sin(100 )6 2t ππ − > 51006 6 6t π π ππ< − < 1 1 300 100t< < 1 1 2 100 300 300 − = xy sin= xy sin= )3 22sin( π+= xy 2tan(2 )3y x π= + π 1tan tan α α， 2 2 3 0x kx k− + − = παπ 2 73 << 2sin cos sinα α α+ 21tan 3 1, 2tan k kα α⋅ = − = ∴ = ± παπ 2 73 << 1tan 2,tan kα α+ = = tan 1α = 2 2 2 2 2 2 sin cos sin tan tansin cos sin 1cos sin 1 tan α α α α αα α α α α α + ++ = = =+ + 2 2 2 1 21, yx y u x x − = = +则 2 2 1,x y− = 的增大而增大. ∴所求值域为（-1，2）. 16. 原 题 （ 必 修 4 第 一 百 二 十 七 页 例 2 ） 变 式 已 知 求 . 17.原题（必修 4 第 137 页 A 组第十题）已知： ， 是方程 的两根， 试求 的值. 变 式 已 知 ： , 是 方 程 的 两 根 ， 求 的值. 【解析】由题意有 ， ， ∴ ， ∴ ( ) 2 2 2 2 1 cos tan 1 2tan cos 2sin sin 2sin 1sec sin 1 2, 1 sin 1 x sec y u sec θ θ θ θ θ θ θ θθ θ θ θ  = =∴   = ∴ = + = + = − + + = − − + − 〈 〈 可设 其中 sinu θ随 sin 1 2, sin 1 2u uθ θ→ − → − → →又 当 时， 当 时， 4 3 1cos , , ,tan , , ,5 2 3 2 πα α π π β β π   = − ∈ = − ∈       ( )cos α β+ αtan βtan 0382 =−− xx )tan( βα + αtan βtan 0382 =−− xx 2)cos()sin(3)(sin 2 +++−+ βαβαβα 8tantan =+ βα 3tantan −=βα 2)3(1 8 tantan1 tantan)tan( =−−=− +=+ βα βαβα 2)cos()sin(3)(sin 2 +++−+ βαβαβα . 18.原题（必修 4 第一百三十九页例 1）变式 化简： 的结果 是 . 【解析】2sin2 19.原题（必修 4 第 147 页复习参考题 B 组第七题）变式 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，P、 Q 分别为 AB、DA 上的点，当∠PCQ= 时，求△APQ 的周长. 20. 原 题 （ 必 修 4 第 一 百 四 十 七 页 复 习 参 考 题 B 组 第 六 题 ） 变 式 若 函 数 在区间 上的最小值为 3，求常数 的值及此函数当 (其中可取任意实数)时的最大值. 21.原题（必修 5 第 3 页例 1）变式 中，角 所对的边分别为 ，若 ， 则的值为（ ） 【解析】先求出 ，再求出 ，最后用一次正弦定理即得.选 D. 22.原题（必修 5 第 10 页习题 1.1A 组第 2 题）变式 1 在三角形 ABC 中，分别根据下列条件解 ABC∆ , ,A B C , ,a b c 3C π= 3 2 6,a c= = . 3A . 2B . 6 1C − . 6 1D + sin A sinB )(cos)(sin )](cos)([sin2)cos()sin(3)(sin 22 222 βαβα βαβαβαβαβα +++ ++++++−+= 5 8 12 22323 1)(tan 2)tan(3)(tan3 2 2 2 2 =+ +×−×=++ ++−+= βα βαβα 2 1 sin 4 2 2cos4+ + + 045 2( ) 3sin 2 2cosf x x x m= + + [0, ]2 π m [ , ]x a a π∈ + 三角形，其中有两个解的是（　 ） A．a=8 b=16 A= B. a=25 b=30 A= C. a=30 b=40 A= D. a=72 b=60 A= 【解析】C. 变式 2 在△ABC 中，已知 ， ，B=45° ，求 A、C 及 c. 23.原题（必修 5 第 10 页习题 1.1B 组第 2 题）变式 （2010 辽宁）在△ABC 中，a, b, c 分别为 内角 A, B, C 的对边，且 （Ⅰ）求 A 的大小；（Ⅱ）求 的最大值. 【解析】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得 即 ，由余弦定理得 ，故 ，A=120° （Ⅱ）由（Ⅰ）得： 故当 B=30°时，sinB+sinC 取得最大值 1. 30° 150° 30° 135° 2b = 2 sin (2 )sin (2 )sin .a A a c B c b C= + + + sin sinB C+ 22 (2 ) (2 )a b c b c b c= + + + 2 2 2a b c bc= + + 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 1cos 2A = − sin sin sin sin(60 )B C B B+ = + °− 3 1cos sin2 2 sin(60 ) B B B = + = °+ 3a = 24.原题（必修 5 第 11 页例 2）变式 如图,为了测量河对岸两个建筑物 C、D 之间的距离,在河 岸这边取两点 A、B,测得∠BAC=45°,∠DAC=75°,∠ABD=30°,∠DBC=45°.又 AB= 千米,A、 B、C、D 在同一平面内,试求 C、D 之间的距离. 25.原题（必修 5 第 19 页习题 1.2A 组第 1 题）变式 一只船以均匀的速度由 A 点向正北方向 航行，如图，开始航行时，从 A 点观测灯塔 C 的方位角为 30°，行驶 60 海里后，船在 B 点观 测灯塔 C 的方位角为 45°，求 A 到 C 的距离． 【解析】A 到 C 的距离为 海里． 【感受高考】 1.【2016 高考新课标 1 卷】已知函数 为 的零 点, 为 图像的对称轴,且 在 单调,则 的最大值为( ) 60 60 3+ ( ) sin( )( 0 ),2 4f x x+ x π πω ϕ ω ϕ= > ≤ = −， ( )f x 4x π= ( )y f x= ( )f x 5 18 36 π π    ， ω （A）11 （B）9 （C）7 （D）5 【答案】B 【解析】 试 题 分 析 ： 因 为 为 的 零 点 , 为 图 像 的 对 称 轴 , 所 以 ,即 ,所以 ,又因为 在 单调,所以 ,即 ,由此 的最大值为 9.故选 B. 2.【2016 年高考四川理数】为了得到函数 的图象，只需把函数 的图 象上所有的点( ) （A）向左平行移动 个单位长度 （B）向右平行移动 个单位长度 （C）向左平行移动 个单位长度 　（D）向右平行移动 个单位长度 【答案】D 【解析】 试题分析：由题意，为了得到函数 ，只需把函数 的 图像上所有点向右移 个单位，故选 D. 3.【2016 高考新课标 2 理数】若 ，则 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D πsin(2 )3y x= − sin 2y x= π 3 π 3 π 6 π 6 sin(2 ) sin[2( )]3 6y x x π π= − = − sin 2y x= 6 π 3cos( )4 5 π α− = sin 2α = 7 25 1 5 1 5 − 7 25 − 4x π= − ( )f x 4x π= ( )f x ( )4 4 4 T kT π π− − = + 4 1 4 1 2 2 4 4 k kT π π ω + += = ⋅ 4 1( *)k k Nω = + ∈ ( )f x 5,18 36 π π     5 2 36 18 12 2 2 Tπ π π π ω− = ≤ = 12ω ≤ ω 4. 【 2016 高 考 新 课 标 1 卷 】 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c, 已 知 （I）求 C； （II）若 的面积为 ,求 的周长． 【答案】（I） （II） 【解析】 （II）由已知, ． 又 ,所以 ． 由已知及余弦定理得, ． ABC∆ 2cos ( cos cos ) .C a B+b A c= 7,c ABC= ∆ 3 3 2 ABC C 3 π= 5 7+ 1 3 3sin C2 2ab = C 3 π= 6ab = 2 2 2 cosC 7a b ab+ − = 故 ,从而 ． 所以 的周长为 ． 5.【2016 高考天津理数】已知函数 f(x)=4tanxsin( )cos( )- . (Ⅰ)求 f(x)的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论 f(x)在区间 ]上的单调性. 【答案】（Ⅰ） ， （Ⅱ）在区间 上单调递增, 在区间 上单调递减. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本 三角函数： ，再根据正弦函数性质求定义域、周期 根据（1）的结论， 研究三角函数在区间 ]上单调性 试题解析： 解： 的定义域为 . . 所以, 的最小正周期 2 2 13a b+ = ( )2 25a b+ = C∆ΑΒ 5 7+ 2 x π − 3x π− 3 ,4 4 π π− ,2x x k k Z π π ≠ + ∈    .π ,12 4 π π −   4 12 π π − −  ， ( )( )=2sin 2 3f x x π− ( )ΙΙ ,4 4 π π− ( )Ι ( )f x ,2x x k k Z π π ≠ + ∈    ( ) 4tan cos cos 3 4sin cos 33 3f x x x x x x π π   = − − = − −       21 3=4sin cos sin 3 2sin cos 2 3sin 32 2x x x x x x  + − = + −    ( ) ( )=sin 2 3 1-cos2 3 sin 2 3 cos2 =2sin 2 3x x x x x π+ − = − − ( )f x 2 .2T π π= =