数学卷·2018届浙江省嘉兴市高三4月模拟测试（2018

数学卷·2018届浙江省嘉兴市高三4月模拟测试（2018

‎2018届浙江省嘉兴市高三4月模拟测试 数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．已知 ，，，，那么的大小关系是 A． B． C． D．‎ ‎3．某几何体的三视图如图（单位：m），则该几何体的体积是 正视图 侧视图 俯视图 ‎（第3题）‎ A． ‎ B． ‎ C．2 ‎ D．4 ‎ ‎4．在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线斜率的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎5．已知：不等式的解集为，：，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．已知两个平面和三条直线，若，且，，设和所成的一个二面角的大小为，直线和平面所成的角的大小为，直线所成的角的大小为，则 A． B．‎ C．， D．，‎ ‎7．已知数列为等差数列，且，则的最小值为 A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎8．若双曲线：的右顶点为，过的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，且，则直线的斜率为 A． B． C．2 D．3‎ ‎9．已知（），则的最小值为 A． B．9 C． D． ‎ ‎10．已知函数，集合，集合，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）‎ ‎11．若复数满足（为虚数单位），则 ▲ ； ▲ ．‎ ‎12．已知直角坐标系中，，动点满足，则点的轨迹方程是 ▲ ；轨迹为 ▲ ．‎ ‎13．展开式中，项的系数为 ▲ ；所有项系数的和为 ▲ ．‎ ‎14．设△的三边所对的角分别为，‎ 已知，则 ▲ ;的最大值为 ▲ ．‎ ‎15．某市的5所学校组织联合活动，每所学校各派出2名学生．在这10名学生中任选4名学生做游戏，记 “恰有两名学生来自同一所学校”为事件，则 ▲ ．‎ ‎16．已知，向量满足.当的夹角最大时， ▲ ．‎ ‎17．椭圆，直线，直线，为椭圆上任意一点，过作且与直线交于点，作且与交于点，若为定值，则椭圆的离心率为 ▲ .‎ 三、解答题（本大题共5小题，共74分）‎ ‎18．（本题14分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）设△的三边所对的角分别为，若，，，求的值．‎ ‎19．（本题15分）‎ 如图，四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面为正三角形且二面角为．‎ ‎（Ⅰ）设侧面与的交线为，求证：；‎ ‎（Ⅱ）设底边与侧面所成角的为，求的值．‎ ‎（第19题）‎ ‎20．（本题15分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：仅有唯一的极小值点.‎ ‎21．（本题15分）‎ 点为抛物线上一定点，斜率为的直线与抛物线交于两点.‎ ‎（Ⅰ）求弦中点的纵坐标;‎ ‎（Ⅱ）点是线段上任意一点（异于端点），过作的平行线交抛物线于两点，求证：为定值.‎ ‎（第21题）‎ ‎22．（本题15分）‎ 已知数列满足，‎ ‎（Ⅰ）判断数列的单调性；‎ ‎（Ⅱ）证明：；‎ ‎（Ⅲ）证明：.‎ ‎2018年高考模拟测试 数学 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1．B； 2．A； 3．A； 4．C； 5．A；‎ ‎6．D； 7．C； 8．D； 9．B； 10．A．‎ ‎9．提示：，‎ 两边同时乘以“”得：‎ 所以，当且仅当时等号成立.‎ 令，所以，解得或 因为，所以，即 ‎10．提示：设，(为的两根) ．‎ 因为，所以且，．‎ 于是 ，．或．‎ 令，．‎ 即．‎ 所以，即．故．‎ 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）‎ ‎11．；； 12．；一个圆；‎ ‎13．55；192； 14．;；‎ ‎15．； 16．； 17．．‎ ‎16．提示：设，‎ 即．‎ 所以，此时．‎ ‎17．提示：令（为常数），设，‎ 由平行四边形知识，．‎ 设点，因为．‎ 所以，此方程即为椭圆方程，即．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共74分）‎ ‎18．（本题14分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）设△的三边所对的角分别为，若，，‎ ‎，求的值．‎ 解答：（Ⅰ），‎ 所以，的最大值为，．‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ ‎．‎ 由余弦定理可得：，‎ 因为，所以．‎ ‎19．（本题15分）‎ 如图，四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面为正三角形且二面角为．‎ ‎（Ⅰ）设侧面与的交线为，求证：；‎ ‎（Ⅱ）设底边与侧面所成角的为，求的值．‎ 解答：（Ⅰ）因为，所以侧面．‎ 又因为侧面与的交线为，所以．‎ ‎（Ⅱ）解法一：向量方法 ‎（第19题）‎ 取中点、中点，连、，‎ 则、．‎ 所以是侧面与底面成二面角的平面角．‎ 从而．‎ 作于，则底面．‎ 因为，，‎ 所以，．‎ 以为原点，为轴，为轴，如图建立右手空间直角坐标系．‎ 则，，．‎ 设是平面的法向量，‎ 则，．取．‎ 则．‎ 解法二：几何方法 取中点、中点，连、，则、．‎ ‎（第19题）‎ 所以是侧面与底面成二面角的平面角．‎ 从而．‎ 作于，则底面．‎ 因为，，所以．‎ 作交于，连．‎ 因为，，‎ 所以平面．从而平面平面．‎ 所以就是与平面所成的角，．‎ 在△中，．故．‎ ‎20．（本题15分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：仅有唯一的极小值点.‎ 解答：（Ⅰ）因为，所以．又因为，‎ 所以切线方程为：，即．‎ ‎（Ⅱ）令，则，‎ 所以时，时．‎ ① 当时，易知，‎ 所以，在上没有极值点．‎ ① 当时，因为，‎ 所以，在上有极小值点．‎ 又因为在上单调递增，所以仅有唯一的极小值点.‎ ‎21．（本题15分）‎ 点为抛物线上一定点，斜率为的直线与抛物线交于两点.‎ ‎（Ⅰ）求弦中点的纵坐标;‎ ‎（第21题）‎ ‎（Ⅱ）点是线段上任意一点（异于端点），过作的平行线交抛物线于两点，求证：为定值.‎ 解答：（Ⅰ）（*）‎ 所以，.‎ ‎（Ⅱ）设，直线：，‎ 联立方程组，‎ 所以，‎ ‎，‎ 同理.‎ 由（*）可知：，‎ 所以，即 所以，即 ‎22．（本题15分）‎ 已知数列满足，‎ ‎（Ⅰ）判断数列的单调性；‎ ‎（Ⅱ）证明：；‎ ‎（Ⅲ）证明：.‎ 解答：（Ⅰ）因为．当时，．‎ 假设时，，所以时，．‎ 从而对于一切，．‎ 所以，即数列单调递增 ．‎ ‎（Ⅱ）证明：因为，所以．‎ 又因为由（Ⅰ）可知，所以时．‎ ‎，‎ 即．‎ ‎（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）得．‎ ‎ 所以．‎ 由得：．‎ ‎．‎ 所以 ‎ ．‎ 所以，即．‎ 经验证也成立，即得证．‎