专题06 函数与导数（核心考点）-备战2018年高考之数学（理）解答题高分宝典
专题06函数与导数
核心考点一曲线的切线问题
用导数研究曲线的切线问题是导数的重要应用之一,也是高考考查的热点,考查的形式不一,可以是客观题也可以是解答题,内容涉及到曲线切线的倾斜角与斜率,曲线切线方程的确定,两曲线的公切线问题及满足条件的切线条数问题.
【经典示例】已知函数,若过点存在3条直线与曲线相切,求的取值范围.
答题模板
切线方程的求解步骤：
第一步,判断所给点是否为切点联立方程；
第二步,若是,则①求出函数f(x)的导数；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简；
第三步,如果已知点(x1,y1)不在曲线上,则设出切点(x0,y0),解方程组得切点(x0,y0),进而确定切线方程；
第四步,反思回顾,查看有无忽略特殊情况.
【满分答案】设切点坐标为,切线斜率为,则有：
,∴切线方程为：,
因为切线过,所以将代入直线方程可得：
.
,
所以问题等价于方程,令,
即直线与有三个不同交点,
,
令解得所以在单调递减,在单调递增
,
所以若有三个交点,则,
所以当时,过点存在3条直线与曲线相切.
【解题技巧】
(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)＝k.
(3)若求过点P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由求解即可．
(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．
(5)求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线,在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点,在利用点斜式写出直线方..
(6)
在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点.“在某点处的切线”意味着该点即为切点,而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点,有可能不是切点.如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论了.
(7)在解析几何中也学习了求切线的方法,即先设出切线方程,再与二次方程联立利用求出参数值进而解出切线方程.解析几何中的曲线与函数同在坐标系下,所以两个方法可以互通.若某函数的图像为圆锥曲线,二次曲线的一部分,则在求切线时可用解析的方法求解,例如：（图像为圆的一部分）在处的切线方程,则可考虑利用圆的切线的求法进行解决.若圆锥曲线可用函数解析式表示,像焦点在轴的抛物线,可看作关于的函数,则在求切线时可利用导数进行快速求解（此方法也为解析几何中处理焦点在轴的抛物线切线问题的重要方法）
模拟训练
1.已知函数（）,.
(1)若,曲线在点处的切线与轴垂直,求的值；
(2)若,试探究函数与的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在,研究值的个数；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）当时, ,∴,
依题意得,∴.
当时, ,∴函数与的图象在其公共点处不存在公切线；
当时,令,
∵,,
∴,即（）.
下面研究满足此等式的的值的个数：
设,则,且,方程化为,
分别画出和的图象,
当时, ,,
由函数图象的性质可得和的图象有且只有两个公共点（且均符合）,
∴方程有且只有两个根.
综上,当时,函数与的图象在其公共点处不存在公切线；当时,函数与的图象在其公共点处存在公切线,且符合题意的的值有且仅有两个.
核心考点二利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数单调性是导数的一个重要应用,研究函数的极值、最值等都以函数单调性为基础,高考中含有参数的函数单调性的探究是一个热点,该类问题的难点是如何正确分类..
【经典示例】已知函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1.
(1)讨论y＝f(x)的单调性；
(2)若a≤－2,证明：对∀x1,x2∈(0,＋∞),|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.
答题模板
确定函数单调区间的步骤：
第一步,确定函数f(x)的定义域；.
第二步,求f′(x)；.
第三步,解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；
第四步,解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
【满分答案】(1)f(x)的定义域为(0,＋∞),
f′(x)＝＋2ax＝＝.
当a≥0时,f′(x)>0,故f(x)在(0,＋∞)上单调递增．
当a≤－1时,f′(x)<0,故f(x)在(0,＋∞)上单调递减．
当－1
0,f(x)在上单调递增；
当x∈时,f′(x)<0,f(x)在上单调递减．
(2)证明：不妨假设x1≥x2.
由于a≤－2,故f(x)在(0,＋∞)上单调递减．
∴|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等价于f(x2)－f(x1)≥4x1－4x2,
即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1.
令g(x)＝f(x)＋4x,
则g′(x)＝＋2ax＋4＝,
于是g′(x)≤＝.
从而g(x)在(0,＋∞)上单调递减,故g(x1)≤g(x2),
即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1,
故对∀x1,x2∈(0,＋∞),|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.
【解题技巧】
1.含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论,常见的分类讨论标准有以下几种可能：
①方程f′(x)＝0是否有根；②若f′(x)＝0有根,求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个,比较根的大小是常见的分类方法．
2.由函数的单调性求参数取值范围的方法
(1)可导函数在区间(a,b)上单调,实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,得到关于参数的不等式,从而转化为求函数的最值问题,求出参数的取值范围；
(2)可导函数在区间(a,b)上存在单调区间,实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集,即f′(x)max>0(或f′(x)min<0)在该区间上有解,从而转化为不等式问题,求出参数的取值范围；
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I上含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范围．
3.解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题,处理好f′(x)＝0时的情况．应用结论“函数f(x)在(a,b)上单调递增⇔f′(x)≥0恒成立；函数f(x)在(a,b)上单调递减⇔f′(x)≤0恒成立”时,切记检验等号成立时导数是否在(a,b)上恒为0,f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解．
模拟训练
2．已知函数f(x)＝ln x,g(x)＝f(x)＋ax2＋bx,其中函数g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线平行于x轴．
(1)确定a与b的关系；
(2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性．
【解析】(1)依题意得g(x)＝ln x＋ax2＋bx,
则g′(x)＝＋2ax＋b.
由函数g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线平行于x轴得g′(1)＝1＋2a＋b＝0,
∴b＝－2a－1.
若<1,即a>,由g′(x)>0,得x>1或01,即00,得x>或0时,函数g(x)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增．
核心考点三用导数研究函数的极值与最值
高考中函数的极值与最值一般与函数单调性结合在一起考查,难点是含有参数的函数的极值与最值的讨论,此类问题一般难度为中等或中等以上..
【经典示例】已知a为实数,函数f(x)＝aln x＋x2－4x.
(1)是否存在实数a,使得f(x)在x＝1处取得极值？证明你的结论；
(2)设g(x)＝(a－2)x,若∃x0∈,使得f(x0)≤g(x0)成立,求实数a的取值范围．
答题模板
求函数极值的步骤
第一步,确定函数的定义域；
第二步,求导数f′(x)；
第三步,解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；
第四步,列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.
【满分答案】(1)函数f(x)的定义域为(0,＋∞),f′(x)＝＋2x－4＝.
假设存在实数a,使f(x)在x＝1处取极值,则f′(1)＝0,
∴a＝2,此时,f′(x)＝,当x>0时,f′(x)≥0恒成立,
∴f(x)在(0,＋∞)上单调递增,
∴x＝1不是f(x)的极值点．
故不存在实数a,使得f(x)在x＝1处取得极值．
(2)由f(x0)≤g(x0),得(x0－ln x0)a≥x－2x0,
记F(x)＝x－ln x(x>0),∴F′(x)＝(x>0),
∴当01时,F′(x)>0,F(x)单调递增．
∴F(x)>F(1)＝1>0,
∴a≥,记G(x)＝,x∈,
∴G′(x)＝=.
∵x∈,∴2－2ln x＝2(1－ln x)≥0,
∴x－2ln x＋2>0,
∴x∈时,G′(x)<0,G(x)单调递减；
x∈(1,e]时,G′(x)>0,G(x)单调递增,
∴G(x)min＝G(1)＝－1,∴a≥G(x)min＝－1.
故实数a的取值范围为[－1,＋∞)．
【解题技巧】
(1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点,所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．
(2)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．
3.求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时,方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值．
4．求极值、最值时,要求步骤规范、表格齐全；含参数时,要讨论参数的大小．
5.在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较．
模拟训练
3．已知函数f(x)＝x2＋mx＋ln x.
(1)若m＝－3,讨论函数f(x)的单调性,并写出单调区间；
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x10得x<0,或x>,
又x∈[0,2],所以g(x)在区间上单调递减,
在区间上单调递增,所以g(x)min＝g＝－,
g(x)max＝g(2)＝1.故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝≥M,
则满足条件的最大整数M＝4.
(2)对于任意的s,t∈,都有f(s)≥g(t)成立,
等价于在区间上,函数f(x)min≥g(x)max.
由(1)可知在区间上,g(x)的最大值为g(2)＝1.
在区间上,f(x)＝＋xln x≥1恒成立等价于a≥x－x2ln x恒成立．
设h(x)＝x－x2ln x,h′(x)＝1－2xln x－x,
可知h′(x)在区间上是减函数,又h′(1)＝0,
所以当10.
即函数h(x)＝x－x2ln x在区间上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,所以h(x)max＝h(1)＝1,
所以a≥1,即实数a的取值范围是[1,＋∞)．
【解题技巧】
1.证明f(x)>g(x)可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)的最小值大于0,再利用导数求F(x)的最小值．对于F(x)＝f(x)－g(x)的最小值,不易求出的情况,也可以通过f(x),g(x)的最值情况进行证明．
2.求解不等式恒成立问题时,可以考虑将参数分离出来,将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．
3.确定方程解的个数问题,函数零点或函数图象交点问题,一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质,并借助函数图象,根据零点或图象的交点情况,建立含参数的方程(或不等式)组求解,实现形与数的和谐统一．
4.“恒成立”、“存在性”问题一定要正确理解问题实质,深刻挖掘条件内含,进行等价转化．
5.构造函数是求范围问题中的一种常用方法,解题过程中尽量采用分离常数的方法,转化为求函数的值域问题．
模拟训练
4．已知函数,其中为自然对数的底数.
（1）若函数在区间上是单调函数,试求实数的取值范围；
（2）已知函数,且,若函数在区间上恰有3个零点,求a的取值范围.
【解析】（1）,
∴（其中）,解得．
综上所述,实数的取值范围是．
（2）．
由,知在区间内恰有一个零点,
设该零点为,则在区间内不单调,
所以在区间内存在零点,
同理,在区间内存在零点,
所以在区间内恰有两个零点．
由（1）知,当时,在区间上单调递增,故在区间内至多有一个零点,不合题意．
当时,在区间上单调递减,
故在内至多有一个零点,不合题意；
所以．
令,得,
所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增．
记的两个零点为,（）,
因此,,必有,．
由,得,
所以,
又,,
所以．
综上所述,实数的取值范围为．
