数学理·吉林省长春市普通高中2017届高三上学期第一次教学质量监测理数试题+Word版含解析]

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数学理·吉林省长春市普通高中2017届高三上学期第一次教学质量监测理数试题+Word版含解析]

全*品*高*考*网, 用后离不了!‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.复数在复平面内对应的点在( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【答案】B 考点:复数几何意义 ‎【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念,属于基本题.首先对于复数的四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如. 其次要熟悉复数相关基本概念,如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 ‎2.已知集合,则(为自然数集)为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:由已知,则,故选C.‎ 考点:集合运算.‎ ‎【易错点睛】(1)认清元素的属性,解决集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.‎ ‎(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则 很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.‎ ‎(3)防范空集.在解决有关A∩B=∅,A⊆B等集合问题时,往往忽略空集的情况,一定先考虑∅是否成立,以防漏解.‎ ‎3.是边长为1的等比三角形,已知向量满足,,则下列结论正确的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:由已知,的边长为1,,所以,,则,因为,故选D.‎ 考点:平面向量数量积运算.‎ ‎【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法 ‎(1)求平面向量数量积有三种方法:一是夹角公式a·b=|a||b|cos θ;二是坐标公式a·b=x1x2+y1y2;三是利用数量积的几何意义.‎ ‎(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.‎ ‎4.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题:粮仓开仓收粮,粮农送来米1512石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得216粒内夹谷27粒,则这批米内夹谷约( )‎ A.164石 B.178石 C.189石 D.196石 ‎【答案】C 考点:抽样中的用样本去估计总体.‎ ‎5.命题:“,使”,这个命题的否定是( )‎ A.,使 B.,使 C.,使 D.,使 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:由已知,命题的否定为,,故选B.‎ 考点:逻辑问题中的特称命题的否定 ‎【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作:①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进行否定;②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判定一个全称命题是假命题,只要举出集合M中的一个特殊值x0,使p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则就是假命题. 6.按照如图的程序框图执行,若输出结果为31,则处条件可以是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C 考点:直到型循环结构程序框图运算.‎ ‎【名师点睛】算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.‎ ‎7.已知递减等差数列中,,成等比,若为数列的前项和,则的值为( )‎ A.-14 B.-9 C.-5 D.-1‎ ‎【答案】A 考点:等差数列和等比数列的基本量的求取 ‎8.某几何体的三视图如图,其正视图中的曲线部分为半圆,则该几何体的体积是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:由题意,此模型为柱体,底面大小等于主视图面积大小,即几何体体积为 ‎,故选C.‎ 考点:三视图 ‎【名师点睛】三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示.‎ ‎(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.‎ ‎(3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.‎ ‎9.已知原点到直线的距离为1,圆与直线相切,则满足条件的直线有多少条?‎ A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 ‎【答案】C 考点:相离两圆的公切线 ‎10.“龟兔赛跑”是一则经典故事:兔子与乌龟在赛道上赛跑,跑了一段后,兔子领先太多就躺在道边睡着了,当他醒来后看到乌龟已经领先了,因此他用更快的速度去追,结果还是乌龟先到了终点,请根据故事选出符合的路程一时间图象( )‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:由故事内容不难看出,最终由乌龟先到达终点,故选D.‎ 考点:函数图像 ‎【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时,先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容,熟悉图象所能够表达的函数的性质.‎ ‎(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系,结合图象研究.‎ ‎11.双曲线的左右焦点分别为,为右支上一点,且,,则双曲线的渐近线方程是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:由已知,,则.又因为,则,即.则渐近线方程为,故选B.‎ 考点:双曲线的定义及渐近线 ‎12.已知实数满足,实数满足,则的最小值为( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】A 考点:导数的几何意义 ‎【思路点睛】利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解.‎ 二、填空题(每题4分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.展开式中的常数项是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:常数项为.‎ 考点:二项展开式系数 ‎【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项,再由特定项的特点求出r值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第r+1项,由特定项得出r值,最后求出其参数.‎ ‎14.动点满足,则的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ 考点:线性规划 ‎【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,‎ 准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎15.已知三棱锥,满足两两垂直,且,是三棱锥外接球上一动点,则点到平面的距离的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由已知,可将三棱锥放入正方体中,其长宽高分别为,则到面距离最大的点应该在过球心且和面垂直的直径上,因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等,则. 则到面距离的最大值为.‎ 考点:三棱锥的外接球 ‎【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.‎ ‎(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用4R2=a2+b2+c2求解.‎ ‎16.如图,直角中,,,作的内接正方形,再做的内接正方形,…,依次下去,所有正方形的面积依次构成数列,其前项和为 .‎ ‎【答案】‎ 考点:归纳推理 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知.‎ ‎(1)求的单调增区间;‎ ‎(2)在中,为锐角且,,,,求.‎ ‎【答案】(1),.(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由二倍角公式及配角公式将函数化为基本三角函数:,再根据正弦函数性质求函数单调区间(2)先根据得,再根据A范围得;由平方可得AC,可得BC边上中线长AM=3,由余弦定理可得BC,最后在三角形ABM中根据余弦定理得,即得 考点:三角函数的化简以及恒等变换公式,正弦定理 ‎【思路点睛】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;‎ ‎(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;‎ ‎(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等 ‎18.(本小题满分12分)‎ 某人种植一种经济作物,根据以往的年产量数据,得到年产量频率分布直方图如图所示,以各区间中点值作为该区间的年产量,得到平均年产量为455,已知当年产量低于350时,单位售价为20元/,若当年产量不低于350而低于550时,单位售价为15元/,当年产量不低于550时,单位售价为10元/.‎ ‎(1)求图中的值;‎ ‎(2)试估计年销售额的期望是多少?‎ ‎【答案】(1)(2)6525‎ 试题解析:解:(1) 由已知,,‎ 即,有.(6分)‎ 由(1)结合直方图可知 考点:频率分布直方图,数学期望 ‎【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:‎ 第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义;‎ 第二步是“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式,以及对立事件的概率公式等),求出随机变量取每个值时的概率;‎ 第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;‎ 第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值,对于有些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X~B(n,p)),则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.因此,应熟记常见的典型分布的期望公式,可加快解题速度.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知四棱锥中,底面为矩形,底面,,,为上一点,且平面.‎ ‎(1)求的长度;‎ ‎(2)求与平面所成角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)利用空间向量求线段长度,首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系,设立各点坐标,利用向量的模求线段长度(2)求线面角,也可利用空间向量,即首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组求出面的法向量,根据向量数量积求直线与法向量夹角,最后根据线面角与向量夹角之间互余关系求线面角的正弦值,再根据诱导公式求余弦值 ‎ ‎ ‎(2)因为,则,‎ ‎ 因为面的一个法向量,令与面成角为,‎ 则,故.(12分)‎ 考点:利用空间向量求线段长度及线面角 ‎【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 以边长为4的等比三角形的顶点以及边的中点为左、右焦点的椭圆过两点.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(2)过点且轴不垂直的直线交椭圆于两点,求证直线与的交点在一条直线上.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)先建立直角坐标系,使椭圆方程为标准方程,则(2)研究圆锥曲线的定值问题,一般方法为以算代证,即先求两直线交点坐标,再确定交点所在定直线:由对称性可知两直线交点必在垂直于x轴的直线上,因此运算目标为求交点横坐标为定值,设的方程为,,则: ,:,消去y得,再利用直线方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理可得,,代入化简得 设,‎ 则: ①‎ ‎: ②‎ ‎②-①得 则,即. ‎ 考点:直线和椭圆的位置关系及定值 ‎【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、‎ 定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数,,当时,与的图象在处的切线相同.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)令,若存在零点,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)4(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)根据导数几何意义得,分别求导得,,即得(2)研究函数零点问题,一般利用变量分离法转化为对应函数值域问题:即求函数的值域,先求函数导数,再研究导函数零点,设,则,而,所以在上为减函数,在上为增函数,.‎ 令 考点:导数几何意义,利用导数求函数值域 ‎【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;‎ ‎(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;‎ ‎(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,为圆上一点,点在直线的延长线上,过点作圆的切线交的延长线于点,.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)若,求圆的半径.‎ ‎【答案】(1)详见解析(2)3‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)证明线段成比例,一般利用三角形相似:由弦切角定理得,再由=,可得,可得 ,(2)先由得,再由直角三角形得,解得AB=8,即得 考点:三角形相似 ‎【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 ‎(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论;(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时,可转化为证明三角形相似,一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”.在证明中有时还要借助中间比来代换,解题时应灵活把握.‎ ‎2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容:如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系,曲线的参数方程为(为参数).‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)曲线的极坐标方程为,求与的公共点的极坐标.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)利用同角三角函数关系消参数得(2)利用先将的直角坐标方程化为极坐标方程,再将代入求得,所以与的公共点的极坐标为 考点:参数方程化为普通方程,直角坐标方程与极坐标方程互化 ‎24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数的最大值为.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,,求的最大值.‎ ‎【答案】(1)2(2)2‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)先根据绝对值定义将函数化为分段函数,再分别求各段最大值,比较三个最大值的最大得的值;(2)先化简条件,再利用基本不等式化简,最后确定等号能取到 试题解析:(1) 由于,‎ 所以. (5分)‎ 考点:绝对值定义,利用基本不等式求最值 ‎【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向.‎ ‎ ‎
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