专题5-3 热点题型二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点+题型全突破

专题5-3 热点题型二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点+题型全突破

热点题型二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 ‎【基础知识整合】‎ ‎1．同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.‎ ‎(2)商数关系：＝tan α.‎ ‎2．下列各角的终边与角α的终边的关系 角 ‎2kπ＋α(k∈Z)‎ π＋α ‎－α 图示 与角α终边的关系 相同 关于原点对称 关于x轴对称 角 π－α －α ＋α 图示 与角α终边的关系 关于y轴对称 关于直线y＝x对称 ‎3.六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ＋α(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin α ‎－sin α ‎－sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α ‎－cos α cos α ‎－cos α sin α ‎－sin α 正切 tan α tan α ‎－tan α ‎－tan α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 类型一 同角三角函数的基本关系 ‎【典例1】 【2015福建卷】若，且为第四象限角，则= ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，且为第四象限角，则，则 ‎．‎ ‎【变式训练1】【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由，得或，‎ 所以，故选A．‎ 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．‎ ‎【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．‎ ‎【变式训练2】 【2015·新疆阿勒泰二模】 已知α为第二象限角，则cos α＋sin α ＝________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【一题多解】‎ ‎【2017·福建泉州期末】若tan α＝2，则的值为 ‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】‎ ‎【解法二】‎ ‎(弦化切的思想)：因为＝＝＝＝.‎ ‎【典例2】【2016·泉州模拟】已知,则的值是 ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】：由同角三角函数关系式1-sin2α=cos2α及题意可得cosα≠0,且1-sinα≠0,可得(1+sinα)(1-sinα)=cosαcosα,所以,所以,即 ‎【变式训练】【2016·齐齐哈尔模拟】若sinθ,cosθ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为 ‎ ‎【答案】 1-‎ ‎【解析】：由题意知:sinθ+cosθ=-,sinθcosθ=,‎ 又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,‎ 所以,解得:m=1±,‎ 又Δ=4m2-16m≥0,所以m≤0或m≥4,所以m=1-.‎ ‎【解题技巧与方法总结】‎ ‎1．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．‎ ‎2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．‎ ‎3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.‎ 类型二、 三角函数的诱导公式 ‎【典例3】(1) sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝ .‎ ‎(2) 已知sin＝，则cos＝ .‎ ‎【解析】　(1) 原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°‎ ‎＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)‎ ‎＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°‎ ‎＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)×sin(360°－30°)‎ ‎＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°‎ ‎＝×＋×＝1.‎ ‎ (2) ∵＋＝，‎ ‎∴cos＝cos ‎＝sin＝.‎ ‎【典例4】【2017枣庄薛城舜耕中学月考】已知角终边上一点，则的值为_________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】因为角终边上一点，所以，则 ‎【典例5】【2016·黄山模拟】设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,若f(2 015)=-1,那么f(2 016)= ‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】因为f(2 015)=asin(2 015π+α)+bcos(2 015π+β)=-asinα-bcosβ=-1,‎ 所以asinα+bcosβ=1.‎ 所以f (2 016)=asin(2 016π+α)+bcos(2 016π+β)=asinα+bcosβ=1.‎ ‎【解题技巧与方法总结】‎ ‎(1)诱导公式用法的一般思路 ‎①化大角为小角．‎ ‎②角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．‎ ‎(2)常见的互余和互补的角 ‎①常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．‎ ‎②常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．‎ 类型三、三角函数式的求值与化简 ‎【典例6】【2015四川卷】已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.‎ ‎【答案】－1‎ ‎【解析】由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－2‎ ‎2sinαcosα－cos2α＝‎ ‎【变式训练】【2015·天津南开模拟】当0＜x＜时，函数f(x)＝的最小值是 ‎ ‎【答案】4‎ ‎【典例7】(1)已知sin α＝，则tan(α＋π)＋＝ .‎ ‎(2)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，则C＝ .‎ ‎【思维点拨】　利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．‎ ‎【答案】　(1)或－　(2)π ‎【解析】　(1)∵sin α＝＞0，‎ ‎∴α为第一或第二象限角．‎ tan(α＋π)＋＝tan α＋ ‎＝＋＝.‎ ‎ ‎ ‎(2)由已知得 ‎①2＋②2得2cos2A＝1，即cos A＝±，‎ 当cos A＝时，cos B＝，‎ 又A、B是三角形的内角，∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝π.‎ 当cos A＝－时，cos B＝－.‎ 又A、B是三角形的内角，∴A＝π，B＝π，不合题意．‎ 综上，C＝π.‎ ‎【解题技巧与方法总结】‎ ‎ (1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；‎ ‎(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用．‎ ‎(3) 在三角函数式的求值与化简中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简．‎