高考数学复习 17-18版 第5章 第23课 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

高考数学复习 17-18版 第5章 第23课 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第23课两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 两角和(差)的正弦、余弦及正切 ‎√‎ ‎1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；‎ ‎(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；‎ ‎(3)tan(α±β)＝.‎ ‎2．有关公式的变形和逆用 ‎(1)公式T(α±β)的变形：‎ ‎①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；‎ ‎②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．‎ ‎3．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ).‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)‎ ‎(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(　　)‎ ‎(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)‎ ‎(4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________.‎ 　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.]‎ ‎3．(2017·苏州模拟)若α∈(0，π)，cos α＝－，则tan ＝________.‎ 　[∵α∈(0，π)，cos α＝－，∴sin α＝＝，‎ ‎∴tan α＝－.‎ ‎∴tan＝＝＝.]‎ ‎4．若sin α＋cos α＝1，且α∈，则α＝________.‎ 　[∵sin α＋cos α＝2sin＝1，‎ ‎∴sin＝，又α∈，‎ ‎∴α＋＝，∴α＝.]‎ ‎5．若tan α＝，tan(α＋β )＝，则tan β＝________.‎ 　[tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.]‎ 三角函数公式的基本应用 ‎　(2014·江苏高考)已知α∈，sin α＝.‎ ‎(1)求sin的值；‎ ‎(2)求cos的值．‎ ‎[解]　(1)因为α∈，sin α＝，‎ 所以cos α＝－＝－.‎ 故sin＝sincos α＋cos sin α ‎＝×＋×＝－.‎ ‎(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，‎ 所以cos＝coscos 2α＋sin sin 2α ‎＝×＋×＝－.‎ ‎[规律方法]　1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．‎ ‎2．使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．‎ ‎[变式训练1]　(1)若α∈，tan＝，则sin α＝________.‎ ‎(2)已知cos＝－，则cos x＋cos的值是________．‎ ‎(1)　(2)－1　[(1)∵tan＝＝，‎ ‎∴tan α＝－＝，∴cos α＝－sin α.‎ 又∵sin2α＋cos2α＝1，‎ ‎∴sin2α＝.‎ 又∵α∈，∴sin α＝.‎ ‎(2)cos x＋cos ‎＝cos x＋cos x＋sin x ‎＝cos x＋sin x ‎＝ ‎＝cos＝－1.]‎ 三角函数公式的逆用及变形应用 ‎　(1)若锐角α，β满足tan α＋tan β＝－tan αtan β，则α＋β＝________. ‎ ‎【导学号：62172128】‎ ‎(2)sin 50°(1＋tan 10°)＝________.‎ ‎(1)　(2)1　[(1)∵tan(α＋β)＝＝＝.‎ 又α，β∈，‎ ‎∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.‎ ‎(2)sin 50°(1＋tan 10°)‎ ‎＝sin 50° ‎＝sin 50°× ‎＝sin 50°× ‎＝＝＝＝1.]‎ ‎[规律方法]　1.逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．‎ ‎2．tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．‎ ‎[变式训练2]　(1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为________．‎ ‎(2)在斜三角形ABC中，sin A＝－cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为________．‎ ‎(1)　(2)　[(1)原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin 45°＝.‎ ‎(2)由题意知：sin A＝－cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，在等式两边同除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－，‎ 又tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A，所以A＝.]‎ 角的变换问题 ‎　(1)设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝________. ‎ ‎【导学号：62172129】‎ ‎(2)若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos等于________．‎ ‎(1)　(2)　[(1)依题意得 sin α＝＝，‎ cos(α＋β)＝±＝±.‎ 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，‎ cos α>cos(α＋β)．‎ 因为>>－，‎ 所以cos(α＋β)＝－.‎ 于是cos β＝cos ‎＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ‎＝－×＋×＝.‎ ‎(2)∵0<α<，∴<＋α<π，‎ 所以由cos＝，‎ 得sin＝，‎ 又－<β<0，∴<－<，且cos＝，‎ ‎∴sin＝，‎ 故cos＝cos ‎＝coscos＋sinsin＝.]‎ ‎[规律方法]　1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．‎ ‎2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．‎ ‎[变式训练3]　定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0＜β＜α＜‎ ，则β等于________．‎ 　[依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，又0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，‎ 故cos(α－β)＝＝，‎ 而cos α＝，∴sin α＝，‎ 于是sin β＝sin[α－(α－β)]‎ ‎＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)‎ ‎＝×－×＝.故β＝.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．三角恒等变换的变“角”与变“名”问题的解题思路 ‎(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，‎ ＋＝，＝2×等．‎ ‎(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．‎ ‎2．三角恒等变换的变“形”问题的求解思路 根据三角恒等式子的“结构特征”进行变“形”，使得变换后的式子更接近已知的三角函数式，常用技巧有：‎ ‎(1)常值代换：‎ ‎1＝sin2α＋cos2α＝cos 2α＋2sin2α＝tan ，‎ ＝sin ＝cos ，＝sin ＝cos 等．‎ ‎(2)逆用、变用公式：‎ sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，‎ cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，‎ tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)等．‎ ‎(3)通分、约分：如：1＋tan α＝.‎ ‎(4)分解、组合：如：(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.‎ ‎(5)平方、开方：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，‎ ‎1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，‎ ‎1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α等．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“‎1”‎的各种变通．‎ ‎2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．‎ 课时分层训练(二十三)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为________．‎ ‎－3　[由题意可知 ‎∴tan(α＋β)＝＝＝－3.]‎ ‎2．(2017·盐城模拟)tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°的值等于________．‎ ‎－　[∵tan 120°＝tan(50°＋70°)＝＝－，∴tan 50°＋tan 70°＝－＋tan 50°tan 70°，‎ 即tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°＝－.]‎ ‎3．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角α终边经过点P(2,4)，则tan＝________. 【导学号：62172130】‎ ‎－3　[由题意可知tan α＝＝2.‎ ‎∴tan＝＝＝－3.]‎ ‎4．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝，且α是第二象限角，则tan等于________．‎ 　[∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝，‎ ‎∴cos α＝－.‎ 又α是第二象限角，∴sin α＝，则tan α＝－.‎ ‎∴tan＝＝＝.]‎ ‎5．已知sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，α，β∈，则sin 3α＋sin 3β＝________.‎ ‎0　[由已知得：sin α＋cos α＝cos β－sin β，‎ 即cos＝cos，‎ 又α－∈，β＋∈.‎ 故α－＝β＋，即α＝β＋.‎ ‎∴sin 3α＋sin 3β＝sin(3β＋π)＋sin 3β＝0.]‎ ‎6．若cos－sin α＝，则cos＝________.‎ 　[cos－sin α＝，cos α－sin α＝，cos α－sin α＝cos＝.]‎ ‎7．若sin＝，sin(α－β)＝，则的值为________. ‎ ‎【导学号：62172131】‎ ‎5　[由sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝得 ‎∴ ‎∴＝＝5.]‎ ‎8．(2017·苏锡常镇调研二)若tan α＝，tan(α－β)＝－，则tan(β－2α)＝________.‎ ‎－　[∵tan α＝，tan(α－β)＝－，‎ ‎∴tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[α＋(α－β)]＝－＝－＝－.]‎ ‎9．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是________. 【导学号：62172132】‎ 　[∵sin 2α＝，α∈，‎ ‎∴cos 2α＝－且α∈，‎ 又∵sin(β－α)＝，β∈.‎ ‎∴cos(β－α)＝－.‎ 因此sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α]＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α＝×＋×＝－，cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)·cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝×－×＝，又α＋β∈，所以α＋β＝.]‎ ‎10．(2017·如皋市高三调研一)若sin β＝3sin(2α－β)，则tan(α－β)＋tan α＝________.‎ ‎0　[由sin β＝3sin(2α－β)得 ‎－sin[(α－β)－α]＝3sin[α＋(α－β)]，‎ ‎∴cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝3[sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)]，‎ ‎∴－4cos αsin(α－β)＝2sin αcos(α－β)，‎ ‎∴tan(α－β)＝－tan α.‎ ‎∴tan(α－β)＋tan α＝－tan α＋tan α＝0.]‎ 二、解答题 ‎11．已知α∈，且sin＋cos＝.‎ ‎(1)求cos α的值；‎ ‎(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．‎ ‎[解]　(1)因为sin＋cos＝，‎ 两边同时平方，得sin α＝.‎ 又＜α＜π，所以cos α＝－＝－.‎ ‎(2)因为＜α＜π，＜β＜π，所以－＜α－β＜.‎ 又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.‎ cos β＝cos[α－(α－β)]‎ ‎＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)‎ ‎＝－×＋×＝－.‎ ‎12．(2017·启东中学高三第一次月考)在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，已知sin＝2cos A.‎ ‎(1)求角A的值；‎ ‎(2)若B∈，且cos(A－B)＝，求sin B.‎ ‎[解]　由sin＝2cos A，得sin A＋cos A＝2cos A，即sin A＝cos A．因为A∈(0，π)，且cos A≠0，所以tan A＝，所以A＝.‎ ‎(2)因为B∈，所以A－B＝－B∈.‎ 因为sin2(A－B)＋cos2(A－B)＝1，所以sin(A－B)＝，所以sin B＝sin(A－(A－B))＝sin Acos(A－B)－cos Asin(A－B)＝.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．已知0＜θ＜π，tan＝，那么sin θ＋cos θ＝________.‎ ‎－　[由tan＝＝，解得tan θ＝－，即＝－，∴cos θ＝－sin θ，‎ ‎∴sin2θ＋cos2θ＝sin2θ＋sin2θ＝sin2θ＝1.‎ ‎∵0＜θ＜π，∴sin θ＝，∴cos θ＝－，∴sin θ＋cos θ＝－.]‎ ‎2．若tan α＝2tan，则＝________.‎ ‎3　[∵cos＝cos＝sin，‎ ‎∴原式＝＝＝.‎ 又∵tan α＝2tan，∴原式＝＝3.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.‎ ‎(1)求A的值；‎ ‎(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．‎ ‎[解]　(1)因为f＝Acos＝Acos ＝A＝，所以A＝2.‎ ‎(2)由f＝2cos ‎＝2cos＝－2sin α＝－，‎ 得sin α＝，又α∈，所以cos α＝.‎ 由f＝2cos ‎＝2cos β＝，得cos β＝，‎ 又β∈，所以sin β＝，‎ 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.‎ ‎4．(2017·泰州中学高三摸底考试)已知0<α<<β<π，且sin(α＋β)＝，tan ＝.‎ ‎(1)求cos α的值；‎ ‎(2)证明：sin β>.‎ ‎[解]　(1)将tan ＝代入tan α＝，得tan α＝，‎ ‎∴ 又α∈，‎ 解得cos α＝.‎ ‎(2)证明：由题意易得<α＋β<，又sin(α＋β)＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝－，‎ 由(1)可得sin α＝，‎ ‎∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝×－×＝>.‎