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文档介绍
考点21 线线、线面、面面的位置关系-2018届高考数学(文)30个黄金考点精析精训
2018届高三数学30个黄金考点精析精训 考点21 线线、线面、面面的位置关系 【考点剖析】 1.最新考试说明: 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定. 2. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定. 3.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解可以作为推理依据的公理和定理.能证明一些空间位置关系的简单命题. 2.命题方向预测: 1.点、线、面的位置关系是本节的重点,也是高考的热点.以考查点、线、面的位置关系为主. 2.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点.着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用,同时考查逻辑推理能力与空间想象能力. 3.线线、线面、面面垂直的问题是命题的热点.着重考查垂直关系的转化及应用,同时考查逻辑推理能力与空间想象能力. 4.线线、线面、面面的位置关系问题,往往是平行、垂直关系综合考查,题型有选择题、填空题及解答题.难度中、低档题兼有. 3.课本结论总结: 1.平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线所成的角 ①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a,b所成的角(或夹角). ②范围:. 3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6.定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 7.直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α=∅ a⊂α,b⊄α,a∥b a∥α a∥α,a⊂β,α∩β=b 结论 a∥α b∥α a∩α=∅ a∥b 8.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 α∩β=∅ a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b α∥β,a⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 9.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. ③推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 10.斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫斜线和平面所成的角. 11.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法. ②利用判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 12.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角:二面角棱上的一点,在两个半平面内分别作与棱垂直的射线,则两射线所成的角叫做二面角的平面角. 4.名师二级结论: (1)异面直线的判定方法: 判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线. 反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. (2)公理1的作用:①检验平面;②判断直线在平面内;③由直线在平面内判断直线上的点在平面内. (3)公理2的作用:公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法. (4)公理3的作用:①判定两平面相交;②作两平面相交的交线;③证明多点共线. (5)平行问题的转化关系: (6)垂直问题的转化关系 线线垂直线面垂直面面垂直 性质 (7)证明直线相交,通常用平面的基本性质,平面图形的性质等; (8)利用公理4或平行四边形的性质证明两条直线平行. 5.课本经典习题: (1)必修2第37页 用a,b,c表示三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命题: ①若a∥b,b∥c,则a∥c; ②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c; ③若a∥γ,b∥γ,则a∥b; ④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b. 其中真命题的序号是( ). A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 【经典理由】考查线面、线线的平行和垂直关系。 (2) 必修2第42页 已知m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( ). A.m∥n,m⊥αn⊥α B.α∥β,mα,nβm∥n C.m⊥α,m⊥nn∥α D.mα,nα,m∥β,n∥βα∥β 【经典理由】考查线面、线线、面面的平行和垂直关系。 6.考点交汇展示: (1)立体几何与函数交汇 【2017课标1,理16】如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_______. 【答案】 【解析】 (2) 立体几何与基本不等式交汇 如图, 在三棱锥中,. (1)求证:平面平面; (2)若,,当三棱锥的体积最大时,求的长. P A B C 【答案】(1)证明见解析;(2)当三棱锥的体积最大时,. (2)方法1:由已知及(1)所证可知,平面,, 所以是三棱锥的高.……………………………7分 因为,,设,……………8分 所以.…………9分 因为 ………………………………………………………………………………10分 …………………………………………………………………………11分 .…………………………………………………………………………………………12分 当且仅当,即时等号成立.………………………………………………………13分 所以当三棱锥的体积最大时,.…………………………………………………14分 (3)立体几何与三角函数交汇 【2018届江苏省南宁市高三摸底联考】在如图所示的正方体中,分别棱是的中点,异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【考点分类】 热点1 线线、线面、面面平行与垂直关系的判定 1.【2017课标3,文10】在正方体中,E为棱CD的中点,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据三垂线逆定理,平面内的线垂直平面的斜线,那也垂直于斜线在平面内的射影,A.若,那么,很显然不成立;B.若,那么,显然不成立;C.若 ,那么,成立,反过来时,也能推出,所以C成立,D.若,则,显然不成立,故选C. 2.【2016高考新课标2理数】 是两个平面,是两条直线,有下列四个命题: (1)如果,那么. (2)如果,那么. (3)如果,那么. (4)如果,那么与所成的角和与所成的角相等. 其中正确的命题有 . (填写所有正确命题的编号) 【答案】②③④ 【方法规律】 1.证明线线平行的方法:(1)平行公理;(2)线面平行的性质定理;(3)面面平行的性质定理;(4)向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件. 2.线面平行的证明方法:(1)线面平行的定义;(2)线面平行的判断定理;(3)面面平行的性质定理;(4)向量法:证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行;证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直. 线面平行的证明思考途径:线线平行线面平行面面平行. 3.面面平行的证明方法:①反证法:假设两个平面不平行,则它们必相交,在导出矛盾;②面面平行的判断定理;③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行;平行于同一平面的两个平面平行;④向量法:证明两个平面的法向量平行. 4.证明线线垂直的方法:(1)异面直线所成的角为直角;(2)线面垂直的性质定理;(3)面面垂直的性质定理;(4)三垂线定理和逆定理;(5)勾股定理;(6)向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性,垂直关系的多样性. 5.线面垂直的证明方法:(1)线面垂直的定义;(2)线面垂直的判断定理;(3)面面垂直的性质定理;(4)向量法:证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的证明思考途径:线线垂直线面垂直面面垂直. 6.面面垂直的证明方法:①定义法;②面面垂直的判断定理;③向量法:证明两个平面的法向量垂直.解题时要由已知相性质,由求证想判定,即分析法和综合法相结合寻找证明思路,关键在于对题目中的条件的思考和分析,掌握做此类题的一般技巧和方法,以及如何巧妙进行垂直之间的转化. 【解题技巧】 1.利用线面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常用来确定交线的位置,对于最值问题,常用函数思想来解决. 2.立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究,对条件和结论不完备的开放性问题的探究,解决这类问题一般根据探索性问题的设问,假设其存在并探索出结论,然后在这个假设下进行推理论证,若得到合乎情理的结论就肯定假设,若得到矛盾就否定假设. 3.证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. 4.线面垂直的性质,常用来证明线线垂直. 5.在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化. 6.垂直关系综合题的类型及解法 (1)三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行结合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. (3)垂直与体积结合问题,在求体积时,可根据线面垂直得到表示高的线段,进而求得体积. 7.线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理; 8.线线关系是线面关系、面面关系的基础.证题中要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例;证明垂直时常用的等腰三角形的中线等; 【易错点睛】 1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误. 2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”. 3.解题中注意符号语言的规范应用. 4.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化. 5.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可. 6.证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范. 例.已知和是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出的是 A.,且 B.∥,且 C.,且∥ D.,且∥ 【答案】B 【解析】∵m∥n, ∴ 故选B. 【易错点】没有掌握线面垂直的条件 热点2 空间线线、线面及面面关系中的角度问题 1. 【2017课标II,理10】已知直三棱柱中,,,,则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 2.【2016高考新课标1文数】平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,, ,,则m,n所成角的正弦值为( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】A 3.【2017课标3,理16】a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论: ①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角; ②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角; ③直线AB与a所成角的最小值为45°; ④直线AB与a所成角的最小值为60°. 其中正确的是________.(填写所有正确结论的编号) 【答案】②③ 【解析】 【方法规律】 求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移. 判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. 3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解. 【解题技巧】 求异面直线所成的角的三步曲:即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意,但要灵活,经常选择“端点、中点、等分点”,通过作三角形的中位线,平行四边形等进行平移,作出异面直线所成的角,转化为解三角形问题,进而求解. 【易错点睛】 1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义,不要理解成“不在同一个平面内”. 2.不共线的三点确定一个平面,一定不能丢掉“不共线”条件. 3.两条异面直线所成角的范围是(0°,90°]. 例.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作 ( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【答案】 D 【解析】如图,连接体对角线AC1,显然AC1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等,所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线,如连接BD1,则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等, ∵BB1∥AA1,BC∥AD, ∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等,同理,体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等,过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意,故这样的直线l可以作4条. 【易错点】忽视异面直线所成的角,只找两条相交直线所成角,没有充分认识正方体中的平行关系. 【热点预测】 1.设,是两个不同的平面,是直线且.“”是“”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为,是两个不同的平面,是直线且.若“”,则平面可能相交也可能平行,不能推出,反过来若,,则有,则“”是“”的必要而不充分条件. 2.【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m,n满足 则( ) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 【答案】C 【解析】由题意知,.故选C. 3.已知二面角为,,,A为垂足,,,,则异面直线与所成角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】B. 4.若 是两条不同的直线,垂直于平面 ,则“ ”是“ 的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若,因为垂直于平面,则或;若,又垂直于平面,则,所以“ ”是“ 的必要不充分条件,故选B. 5.【2017课标1,文6】如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB与平面MNQ不平行的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 6.如图,在正方体中,点为线段的中点.设点在线段上,直线与平面所成的角为,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设正方体的棱长为,则,所以 ,. 又直线与平面所成的角小于等于,而为钝角,所以的范围为,选B. 7.【2017届广东省惠州市高三一调】已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,, ,则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是( ) A. B.1 C. D. 【答案】A 8.【2017届浙江省金华、丽水、衢州市十二校高三8月联考】如图,已知矩形,,为边上的点,现将沿翻折至,使得点在平面上的投影在上,且直线与平面所成角为30°,则线段的长为_________. 【答案】. 【解析】如下图所示,过作于,由题意得,平面,∴,, 设,∴,在四边形中,可得,故填:. 9.【2017江苏,15】 如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求证:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC. 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】证明:(1)在平面内,因为AB⊥AD,,所以. 又因为平面ABC,平面ABC,所以EF∥平面ABC. 10.【2017课标II,文18】如图,四棱锥中,侧面为等边三角形且垂直于底面 , (1)证明:直线平面; (2)若△面积为,求四棱锥的体积. 【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) 【解析】 11.【2017课标3,文19】如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD. (1)证明:AC⊥BD; (2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比. 【答案】(1)详见解析;(2)1 【解析】试题分析:(1)取中点,由等腰三角形及等比三角形性质得,,再根据线面垂直判定定理得平面,即得AC⊥BD;(2)先由AE⊥EC,结合平几知识确定,再根据锥体体积公式得,两者体积比为1:1. 试题解析:(1)证明:取中点,连 ∵,为中点, ∴, 又∵是等边三角形, ∴, 又∵,∴平面,平面, ∴. 12.如图,在直三棱柱中,已知,,设的中点为,.求证:(1);(2). A B C D E A1 B1 C1 【答案】(1)详见解析(2)详见解析 【解析】(1)由题意知,为的中点, 又为的中点,因此. 又因为平面,平面, 所以平面. (2)因为棱柱是直三棱柱, 所以平面. 因为平面,所以. 又因为,平面,平面,, 所以平面. 又因为平面,所以. 因为,所以矩形是正方形,因此. 因为,平面,,所以平面. 又因为平面,所以. 13.如图,矩形所在的平面和平面互相垂直,等腰梯形中,∥,=2,,,,分别为,的中点,为底面的重心. (Ⅰ)求证:∥平面; (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值. F A C D E O B M 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ). 【解析】(Ⅰ)连结延长交于,则为的中点,又为的中点, ∴∥,又∵平面,∴∥平面 -------------------2分 连结,则∥,平面,∥平面 -----------------4分 ∴平面∥平面, ----------------5分 平面, ----------------------6分 法二:以为原点建立如图所示空间直角坐标系, -----------------7分 设平面的法向量为, , -------------------8分 由 所以 令,则 ,所以,-----------------10分 ∴ ---------------------11分 ∴直线与平面所成角的正弦值为 -------------------12分 14.【2017北京,文18】如图,在三棱锥P–ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点. (Ⅰ)求证:PA⊥BD; (Ⅱ)求证:平面BDE⊥平面PAC; (Ⅲ)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E–BCD的体积. 【答案】详见解析 【解析】 查看更多