2016年宁夏石嘴山市平罗中学高考一模试卷数学理

2016年宁夏石嘴山市平罗中学高考一模试卷数学理

2016 年宁夏石嘴山市平罗中学高考一模试卷数学理 一、选择题(本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分.每题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求) 1.设全集 U=R，A={x∈N|-1≤x≤10}，B={x∈R|x2-x-6=0}，则图中阴影部分表示的集合为 ( ) A.{3} B.{2} C.{3，2} D.{-2，3} 解析：图中阴影部分表示的集合是 A∩B， ∵全集 U=R，A={x∈N|-1≤x≤10}，B={x∈R|x2-x-6=0}={-2，3}， ∴A∩B={3}. 答案：A. 2.复数 2 1 i i   的共轭复数在复平面上对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：       21213 1112 iiii iii  = 13 22i ， ∴复数 的共轭复数是 13 22i ，位于第一象限. 答案：A. 3.向量 a ＝(3，-4)，|b |＝2，若 5ab ，则向量 ,ab的夹角为( ) A.60° B.30° C.135° D.120° 解析： 52ab＝ ， ＝ ； ∴ 10 5a b cos a b ＝ ＜ ,＞＝ ； ∴ 1 2c o s a b ＜ ，＞＝ ； ∴向量 ,ab的夹角为 120°. 答案：D. 4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( ) A. 19 20 B. 20 21 C. 21 22 D. 22 23 解析：该程序框图的作用是求 1111 1 22 33 421 22 的值， 而 1 1 1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2111 2 2 3 3 4 21 22 4 21 22 223                                 . 答案：C. 5.函数 f(x)=lnx+x3-9 的零点所在的区间为( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 解析：由于函数 f(x)=lnx+x3-9 在(0，+∞)上是增函数， f(2)=ln2-1＜0，f(3)=ln3＞0，故函数 f(x)=lnx+x3-9 在区间(2，3)上有唯一的零点. 答案：C. 6.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，为了得到 g(x)=Asin ωx 的图象，可将 f(x)的图象( ) A.向右平移 12  个单位 B.向右平移 6  个单位 C.向左平移 12  个单位 D.向左平移 6  个单位 解析：根据函数 f(x)=Asin(ωx+?)(A＞0，ω＞0，0＜?＜π)的图象， 可得 A=1， 127 4123   ，求得ω=2. 再根据五点法作图可得， 2 3   ，求得 3   . 故   (2 3)fxsinx ，故把 f(x)的图象向右平移 6  个单位，可得 g(x)=sin2x 的图象. 答案：B. 7.若直线 ax-by+2=0(a＞0，b＞0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 4，则 11 ab 的最小值 为( ) A. 1 4 B. 2 C. 3 22  D. 3 222  解析：圆 x2+y2+2x-4y+1=0 即(x+1)2+(y-2)2=4，表示以 M(-1，2)为圆心，以 2 为半径的圆， 由题意可得 圆心在直线 ax-by+2=0(a＞0，b＞0)上，故-a-2b+2=0， 即 a+2b=2，∴ 3313 22 22 11 22 1222 22 abab ba ababab   ， 当且仅当 2 ba ab ＝ 时，等号成立. 答案：C. 8.设双曲线 22 221xy ab ＝ (a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切，则该双曲线的离心率 等于( ) A. 3 B.2 C. 5 D. 6 解析：由题双曲线 (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为 bxy a ＝ ， 代入抛物线方程整理得 ax2-bx+a=0， 因渐近线与抛物线相切，所以 b2-4a2=0， 即 22 55cae ＝ ＝ . 答案：C. 9.下列四种说法中，正确的个数有( ) ①命题 x∈R 均有 x2-3x-2≥0 的否定是：  x0∈R，使得 x0 2-3x0-2≥0； ②“命题 P∨Q 为真”是“命题 P∧Q 为真”的必要不充分条件； ③  m∈R，使   2 2mmf x mx  是幂函数，且在(0，+∞)上是单调递增； ④在线性回归分析中，相关系数 r 的值越大，变量间的相关性越强. A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 解析：①根据含有量词的命题的否定进行判断，命题  x∈R 均有 x2-3x-2≥0 的否定是：  x0∈R，使得 x0 2-3x0-2＜0；故①错误； ②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，若 P∧Q 为真命题，则命题 P，Q 都为真命题， ∴P∨Q 为真命题；满足必要性； 若 P∨Q 为真命题，则命题 P，Q 至少一个为真命题， ∴P∧Q 不一定为真命题，不满足充分性. “命题 P∨Q 为真”是“命题 P∧Q 为真”的必要不充分条件；故②正确； ③根据幂函数的定义和性质进行判断，若   2 2mmf x mx  是幂函数，则 m=1，此时 f(x)=x3， 满足在(0，+∞)上是单调递增；故③正确； ④根据线性相关系数 r 的绝对值越接近 1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性 越弱，故④错误. 故正确的是②③，有 2 个. 答案：B 10.已知不等式组 240 30 0 xy xy y      构成平面区域Ω(其中 x，y 是变量)，若目标函数 z=ax+6y(a ＞0)的最小值为-6，则实数 a 的值为( ) A. 3 2 B.6 C.3 D. 1 2 解析：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=ax+6y(a＞0)得 66 azyx   ， 则直线斜率 06 a ＜ ， 平移直线 66 azyx   ， 由图象知当直线 66 azyx   经过点 A 时，直线的截距最小，此时 z 最小，为-6， 由 2 4 0 0 xy y    ＝ ＝ 得 2 0 x y    ＝ ＝ ， 即 A(-2，0)， 此时-2a+0=-6， 解得 a=3. 答案：C 11.设 k 是一个正整数， 4 1 x k    的展开式中 x3 的系数为 1 16 ，记函数 y=x2 与 y=kx 的图象所 围成的阴影部分为 S，任取 x∈[0，4]，y∈[0，16]，则点(x，y)恰好落在阴影区域 S 内的 概率是( ) A. 2 3 B. 1 3 C. 1 6 D. 2 5 解析：由二项式定理可知根据题意得 3 3 4 11 16C k    ， 解得 k=4； 解方程组 2 4 yx yk    ＝ ＝ 解得两个交点(0，0)，(16，4)， 阴影部分的面积为 4 2 2 3 4 00 321 3342S x x dx x x     丨 ， 由几何概型可知点(x，y)恰好落在阴影区域的概率为 32 3 6 1 64P  ＝ . 答案：C. 12.已知定义域为{x|x≠0}的偶函数 f(x)，其导函数为 f′(x)，对任意正实数 x 满足 xf′ (x)＞-2f(x)，若 g(x)=x2f(x)，则不等式 g(x)＜g(1-x)的解集是( ) A.( 1 2 ，+∞) B.(-∞， 1 2 ) C.(-∞，0)∪(0， 1 2 ) D.(0， 1 2 ) 解析：∵f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数， ∴f(-x)=f(x). 对任意正实数 x 满足 xf′(x)＞-2f(x)， ∴xf′(x)+2f(x)＞0， ∵g(x)=x2f(x)， ∴g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)＞0. ∴函数 g(x)在(0，+∞)上单调递增， ∴g(x)在(-∞，0)递减； 由不等式 g(x)＜g(1-x)， ∴ 0 10 1 x x xx      ＞ ＞ ＜ 或 0 10 1 x x xx      ＜ ＜ ＞ ， 解得：0＜x＜ 1 2 ，或 x＜0 ∴不等式 g(x)＜g(1-x)的解集为：{x|0＜x＜ 1 2 或 x＜0}，即(-∞，0)∪(0， ). 答案：C. 二.填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在答题卡的相应位置.) 13.数列{an}满足 Sn＝3n+2n+1，则 a4= . 解析：由 Sn＝3n+2n+1，得 a4＝S4-S3＝(34+2×4+1)-(33+2×3+1)=56. 答案：56. 14.已知函数   2 0() 3 ()0x logxx fx x    ＞ ，则 1 4ff  的值是 . 解析：先求 1 4f   ， 1 4 ＞0，故代入 x＞0 时的解析式， 2 11244flog    ＝ ＝ ，   2112349f f f    ＝ ＝ ＝ . 答案： 1 9 15.在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC 的顶点 B、C 恰好是双曲线 M： 22 19 16 xy ＝ 的左右 焦点，且顶点 A 在双曲线 M 的右支上，则 sinCsinB sinA   . 解析：如图所示： 由双曲线的方程得 a2=9，b2=16，c2=9+16=25， 即 a=3，c=5， 则 BC=2c=10， ∵顶点 A 在双曲线 M 的右支上， ∴AB-AC=2a=6， 由正弦定理得 263 210 5 sinC sinBAB ACa sinABCc  ＝ . 答案： 3 5 16.网格纸的各小格都是边长为 1 的正方形，图中粗实线画出的是一个几何体的三视图，其 中正视图是正三角形，则该几何体的外接球表面积为 . 解析：由已知中正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形， 可得该几何体是有一个侧面 PAC 垂直于底面，高为 3 ，底面是一个等腰直角三角形的三棱 锥，如图. 则这个几何体的外接球的球心 O 在高线 PD 上，且是等边三角形 PAC 的中心， 这个几何体的外接球的半径 223 33RPD. 则这个几何体的外接球的表面积为 2 2 164423 33SR    . 答案：16 3  . 三.解答题(本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.在数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+1 (n∈N+). (Ⅰ)证明数列{an+1}成等比数列，并求{an}的通项公式. 解析：(Ⅰ)通过对 an+1=2an+1 变形可知 an+1+1=2(an+1)，进而可知数列{an+1}是首项、公比 均为 1 的等比数列，计算即得结论. 答案：(Ⅰ)∵an+1＝2an+1， ∴an+1+1=2(an+1)， 又∵a1+1=1+1=2， ∴数列{an+1}是首项、公比均为 1 的等比数列， ∴an+1=2n，an=2n-1. (Ⅱ)令 bn=(2n+1)(an+1)，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解析：(Ⅱ)通过(I)可知 bn=(2n+1)·2n，利用错位相减法计算即得结论. 答案：(Ⅱ)由(I)可知 bn=(2n+1)(an+1)=(2n+1)·2n， 则 Sn=3·21+5·22+…+(2n+1)·2n， 2Sn=3·22+5·23+…+(2n+1)·2n+1， 两式相减得：Sn-2Sn=3·21+2(22+23+…+2n)-(2n+1)·2n+1  1 1112 3224212 12 n nn     （ ） =-2-(2n-1)·2n+1， ∴Sn=2+(2n-1)·2n+1. 18.在一次考试中，5 名同学数学、物理成绩如表所示： (Ⅰ)根据表中数据，求物理分 y 对数学分 x 的回归方程. 解析：(Ⅰ)由已知求出 x，y 的平均数，从而求出物理分 y 对数学分 x 的回归方程. 答案：(Ⅰ)由已知得 89 91 93 95 97 935x ＝ ＝ ， 87 89 89 92 93 905y    ＝ ＝ ∴       5 2 22222 1 4 2 0 2 4 40i i xx       ＝ ＝ ＝ ，              5 1 4 3 2 1 0 1 2 2 4 3 30ii i x x y y                ＝ ＝ ＝ . ∴ 30 0 .7 540b＝ ＝ ， 2 0 .2 5a y bx ＝ ＝ . ∴物理分 y 对数学分 x 的回归方程为 0 .7 5 2 0 .2 5yx＝ . (Ⅱ)要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选出 2 名参加一项活动，以 X 表示选中的同学 中物理成绩高于 90 分的人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望 E(X).( 附：回归方程 y bx a ＝ 中，       1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx     ＝ ＝ ＝ ， a y bx ＝ ) 解析：(Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机 变量 X 的分布列及数学期望 E(X). 答案：(Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2， 2 2 2 4 1() 60 CPX C ＝ ＝ ＝ ， 11 22 2 4 )1 2( 3 CCPX C ＝ ＝ ＝ ， 2 2 2 4 1() 62 CPX C ＝ ＝ ＝ . 故 X 的分布列为： ∴   121 60121 36EX ＝ ＝ . 19.正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD= 1 2 CD=2，点 M 在 线段 EC 上且不与 E，C 重合. (Ⅰ)当点 M 是 EC 中点时，求证：BM∥平面 ADEF. 解析：(Ⅰ)三角形的中位线定理可得 MN∥DC，MN= 1 2 DC.再利用已知可得 MN∥BA 且 MN=BA， 即可证明四边形 ABMN 是平行四边形.再利用线面平行的判定定理即可证明. 答案：(Ⅰ)取 ED 的中点 N，连接 MN. 又∵点 M 是 EC 中点. ∴MN∥DC，MN= 1 2 DC. 而 AB∥DC，AB= DC. ∴MN∥BA 且 MN=BA， ∴四边形 ABMN 是平行四边形. ∴BM∥AN. 而 BM  平面 ADEF，AN  平面 ADEF， ∴BM∥平面 ADEF. (Ⅱ)当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为 6 6 时，求三棱锥 M-BDE 的体积. 解析：(Ⅱ)取 CD 的中点 O，过点 O 作 OP⊥DM，连接 BP.可得四边形 ABOD 是平行四边形，由 于 AD⊥DC，可得四边形 ABOD 是矩形.由于 BO⊥CD，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相 垂直，ED⊥AD，可得 ED⊥平面 ADCB，平面 CDE⊥平面 ADCB.BO⊥平面 CDE.于是 BP⊥DM.即可 得出∠OPB 是平面 BDM 与平面 ABF(即平面 ABF)所成锐二面角.由于 cos∠OPB= 6 6 ，可得 2 3 0 5BP  .可得 5 5=OPsinMDC OD .而 2 = 5 5 2 5 sinECD .而 DM=MC，同理 DM=EM.M 为 EC 的中点，利用三棱锥的体积计算公式可得 VM-BDE=VB-DEM= 1 3 S△DEM·AD. 答案：(Ⅱ)取 CD 的中点 O，过点 O 作 OP⊥DM，连接 BP. ∵AB∥CD，AB= 1 2 CD=2， ∴四边形 ABOD 是平行四边形， ∵AD⊥DC， ∴四边形 ABOD 是矩形. ∴BO⊥CD. ∵正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直，ED⊥AD， ∴ED⊥平面 ADCB. ∴平面 CDE⊥平面 ADCB. ∴BO⊥平面 CDE. ∴BP⊥DM. ∴∠OPB 是平面 BDM 与平面 ABF(即平面 ABF)所成锐二面角. ∵cos∠OPB= ，∴ 30 6sinOPB. ∴ 30 6 OB BP  ，解得 2 30 5BP  . ∴ 5 5 2OP BPcos OPB   . ∴ . 而 2 = 5 5 2 5 sinECD . ∴DM=MC，同理 DM=EM. ∴M 为 EC 的中点， ∴S△DEM＝ 1 2 S△CDE＝2， ∵AD⊥CD，AD⊥DE，且 DE 与 CD 相交于 D ∴AD⊥平面 CDE. ∵AB∥CD， ∴三棱锥 B-DME 的高=AD=2， ∴VM-BDE=VB-DEM= 1 3 S△DEM·AD= 4 3 . 20.椭圆 C： 22 221xy ab(a＞b＞0)的离心率为 1 2 ，其左焦点到点 P(2，1)的距离为 10 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程. 解析：(Ⅰ)利用两点间的距离公式可得 c，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出 a，b. 答案：(Ⅰ)∵左焦点(-c，0)到点 P(2，1)的距离为 ，∴   2 1021c＝ ，解得 c=1. 又 1 2 ce a ＝ ＝ ，解得 a=2，∴b2=a2-c2=3. ∴所求椭圆 C 的方程为： 22 143 xy ＝ . (Ⅱ)若直线 l：y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点(A，B 不是左右顶点)，且以 AB 为直径的 圆过椭圆 C 的右顶点.求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标. 解析：(Ⅱ)把直线 l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以 AB 为直径的 圆过椭圆的右顶点 D，可得 kAD·kBD=-1，即可得出 m 与 k 的关系，从而得出答案. 答案：(Ⅱ)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 22 143 y kx m xy   ＝ ＝ 得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0， △=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)＞0，化为 3+4k2＞m2. ∴ 12 2 8 34 mkxx k   ＝ ，  2 12 2 43 34 m xx k   ＝ .       22 22 12121 212 2 34 34 mk y ykxmkxmk x xmkxxm k    . ∵以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2，0)，kAD·kBD=-1，∴ 12 12 122 yy xx  ＝ ， ∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0，∴    222 222 3443 16 40343434 mkm mk kkk   ＝ . 化为 7m2+16mk+4k2=0，解得 m1=-2k，m2＝ 2 7 k .，且满足 3+4k2-m2＞0. 当 m=-2k 时，l：y=k(x-2)，直线过定点(2，0)与已知矛盾； 当 m= 时，l：y=k(x- 2 7 )，直线过定点( 2 7 ，0). 综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为( 2 7 ，0). 21.己知函数      2111 2fxxlnx ＝ (Ⅰ)求 f(x)的单调区间. 解析：(Ⅰ)先求函数的定义域，然后求导函数，令导数大于 0(小于 0)，从而求出函数的单 调区间. 答案：(Ⅰ)函数定义域为(-1，+∞)，∵ ∴    2 1 xxfx x  ， 由 f'(x)＞0 及 x＞-1，得 x＞0，由 f'(x)＜0 及 x＞-1，得-1＜x＜0. 则递增区间是(0，+∞)，递减区间是(-1，0). (Ⅱ)若 1 1 ]1[xee ， 时，f(x)＜m 恒成立，求 m 的取值范围. 解析：(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f(x)在 1 1 ]1[xee  ， 的单调性，进一步求出 f(x)max，得到 m 的范 围. 答案：(Ⅱ)由    2 01 xxfx x    ，得 x=0 或 x=-2. 由(Ⅰ)知，f(x)在 [ 1 ]10e  ， 上递减，在[0，e-1]上递增. 又 2 11112f ee    ，   21 211fee  ， 2 2 1 1 2 112e e＞ . ∴ 1 1 ]1[xee   ， 时，   21 12maxfxe. ∴ 2 11 2me＞ 时，不等式 f(x)＜m 恒成立. (Ⅲ)若设函数   211 22g x x x a＝ ，若 g(x)的图象与 f(x)的图象在区间[0，2]上有两个 交点，求 a 的取值范围. 解析：(Ⅲ)由    2 21111222 1xlnxxxa ＝ 得 2a=(1+x)-2ln(1+x)，构造函数，确 定函数的值域，即可求得 a 的取值范围. 答案：(Ⅲ)由 得 2a=(1+x)-2ln(1+x) 令 h(x)=(1+x)-2ln(1+x)，则   1 1 xhx x  . ∴h(x)在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增 ∵h(0)=1，h(1)=2-2ln2，h(2)=3-2ln3，且 h(0)＞h(2)＞h(1) ∴当 2a∈(2-2ln2，3-2ln3)，即 a∈(1-ln2， 3 2 -ln3)时，g(x)的图象与 f(x)的图象在区间 [0，2]上有两个交点. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题 号.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22.在平面直角坐标系 x Oy 中，直线 l 的参数方程为 5 2 3 2 2 2 xt yt     ＝ ＝ (t 为参数).在以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆 C 的方程为 52 sin＝ . (Ⅰ)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程. 解析：(Ⅰ)先利用两方程相加，消去参数 t 即可得到 l 的普通方程，再利用直角坐标与极坐 标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆 C 的直角坐标方 程. 答案：(Ⅰ)由 5 2 3 2 2 2 xt yt     ＝ ＝ 得直线 l 的普通方程为 305xy    . 又由 52 s i n＝ 得 2 52 s i n   ，化为直角坐标方程为   22 55xy . (Ⅱ)若点 P 坐标为(3， 5 )，圆 C 与直线 l 交于 A，B 两点，求|PA|+|PB|的值. 解析：(Ⅱ)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB| 的值. 答案：(Ⅱ)把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程， 得 22 3522 22tt    ，即 2 3 4 02tt   . 设 t1，t2 是上述方程的两实数根， 所以 123 2tt . 又直线 l 过点 P(3， 5 )，A、B 两点对应的参数分别为 t1，t2， 所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2= 3 2 . [选修 4-5：不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|2x-1|+2，g(x)=-|x+2|+3. (Ⅰ)解不等式：g(x)≥-2. 解析：(Ⅰ)由 g(x)=-|x+2|+3，g(x)≥-2，知|x+2|≤5，由此能求出不等式 g(x)≥-2 的解 集. 答案：(Ⅰ)∵g(x)=-|x+2|+3，g(x)≥-2， ∴|x+2|≤5， ∴-5≤x+2≤5， 解得-7≤x≤3， ∴不等式 g(x)≥-2 的解集为{x|-7≤x≤3}. (Ⅱ)当 x∈R 时，f(x)-g(x)≥m+2 恒成立，求实数 m 的取值范围. 解 析 ： ( Ⅱ ) 由 f(x)=|2x-1|+2 ， g(x)=-|x+2|+3 ，知 f(x)-g(x)=|2x-1|+|x+2|-1 ，设 h(x)=|2x-1|+|x+2|-1，则 h(x)≥ 3 2 .由当 x∈R 时，f(x)-g(x)≥m+2 恒成立，知 m+2≤ 3 2 ， 由此能求出实数 m 的取值范围. 答案：(Ⅱ)∵f(x)=|2x-1|+2，g(x)=-|x+2|+3， ∴f(x)-g(x)=|2x-1|+|x+2|-1， 设 h(x)=|2x-1|+|x+2|-1， 则 322 22 1 2 1 23 xx hxxx xx       ， （ ） ， ＜ ＜ ， ， ∴h(x)≥ 3 2 . ∵当 x∈R 时，f(x)-g(x)≥m+2 恒成立， ∴m+2≤ 3 2 ，解得 m≤ 1 2 ， 所以，实数 m 的取值范围是 1(]2 ， .