数学理卷·2018届福建省厦门市高三下学期第一次质量检查（3月）（2018

数学理卷·2018届福建省厦门市高三下学期第一次质量检查（3月）（2018

福建省厦门市2018届高三下学期第一次质量检查（3月）‎ 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.复数满足，则（ ）‎ A． B．2 C． D． ‎ ‎3.等差数列中，，则（ ）‎ A． B． C．5 D． ‎ ‎4.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．计算机科学的创始人麦卡锡先生发明的“91”函数具有一种独特的情趣，给人的心智活动提供了一种愉悦的体验.执行如图所示的程序框图，输入，则输出（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎6.设满足约束条件则的最大值是（ ）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎7.双曲线的左焦点为，过右顶点作轴的垂线分別交两渐近线于两点，若为等边三角形，则的离心率是（ ）‎ A． B． C．2 D． ‎ ‎8.如图，某棱锥的正视图和侧视图都是等边三角形，该棱锥的体积为，则该棱锥内切球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．函数与的图象交点的横坐标之和为，则（ ）‎ A． B．0 C．1 D．2‎ ‎10.圆台的高为2，上底面直,，下底面直径，与不平行，则三棱锥体积的最大值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.定义在上的函数满足，若关于的方程有3个实根，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.函数与（其中）在的图象恰有三个不同的交点，为直角三角形，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 的展开式中常数项是 ．‎ ‎14.已知三点，若为锐角，则的取值范围是 ．‎ ‎15．等比数列的首项为2，数列满足，则 ．‎ ‎16．过抛物线焦点的直线与交于两点，在点处的切线分别与轴交于两点，则的最大值是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 的内角的对边分别是，满足.‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）求.‎ ‎18.如图，四棱锥中，是等边三角形， ，分别为的中点.‎ ‎（1）证明:平面；‎ （2） 若平面，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19.2018年2月4日，中央一号文件《中共中央国务院关于实施乡村振兴战略的意见》 发布，对农村电商发展提出新的指导性意见，使得农村电商成为精准扶贫、乡村振兴的新引擎.某电商2018年计划与所在地区的樱桃果园合作进行樱桃销售，为了解该地区果园的樱桃销售量情况，现从中随机抽取60个樱桃果园，统计各果园2017年的销售量（单位：万斤 ）.得到下面的频率分布直方图.‎ ‎（1）从样本中销售量不低于9万斤的果园随机选取3个，求销售量不低于10万斤的果园个数的分布列及其数学期望；‎ ‎（2）该电商经过6天的试运营，得到销售量 (单位:万斤）情况统计表如下：‎ 根据相关性分析，前天累计总销售量与之间具有较强的线性相关关系，由最小二乘法得回归直线方程.用样本估计总体的思想，预测该电商至少运营多少天可使总销量不低于该地区各果园2017年平均销售量的两倍.‎ 注：1.前天累计总销售量；‎ ‎2.在频率分布直方图中，同一组教据用该区间的中点值作代表.‎ ‎20.在平面直角坐标系中，点，点在直线上，过中点作，交于点，设的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求的轨迹方程；‎ ‎（2）过点的直线与交于两点，直线分别与直线交于两点.线段的中点是否在定直线上，若搓，求出该直线方程；若不是，说明理由.‎ ‎21.函数（其中）.‎ ‎（1）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，恒成立，求正整数的最大值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在立角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）若曲线上一点的极坐标为，且过点，求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，与的交点为，求的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）设关于的不等式的解集为，且，求的取值范围 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BBDDB 6-10: DCCBB 11、12：AA 二、填空题 ‎13. 15 14. 15. 16. 8‎ 三、解答题 ‎17. （1）由余弦定埋，得，‎ 又，得，因为，所以，‎ 由三角形面积公式，‎ ‎（2）法一：由，得 结合余弦定理，得 因为，则 ‎ 结合正弦定理，，得 ‎ 因为，得 整理得： ‎ 因为，‎ 所以，即 法二: ‎ 整理得：‎ 由，得 整理得：.‎ ‎18.（1）取的中点，连接，‎ ‎∵为的中点，∴，‎ 又∵平面 ‎∵，同理平面，‎ 又，∴平面平面，‎ ‎∵平面，∴平面.‎ ‎（2）(法—）∵平面，∴，‎ 以为坐标原点，以分别为轴的正方向，过垂直于平面的直线为轴，如图建立空间直角坐标系， ‎ 在中，，∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ 设平面的法向量为，∴ ∴，‎ 取，∴，即，‎ 设直线与平面所成角为，‎ ‎∴。‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎(法二）连接，∴，为的中点，为的中点，‎ ‎∴ ∵平面，∴平面，∴两两互相垂直，‎ ‎∴以为坐标原点，以分别为轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，‎ ‎∵,可得,∴,‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ 设平面的法向量为，∴ ∴，‎ 取，∴，即，‎ 设直线与平面所成角为，‎ ‎∴。‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎19.（1）由频率分布直方图可得样本中2017年销将量不低于9万斤的果园有个，销售量不低于10万斤的果园有个.‎ 随机变量的可能取值为0，1，2，3.‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 所以随机变量的分布列为 ‎∴数学期望.‎ ‎（2）由运营期间销售量情况统计表可得前天累计总销售量如下：‎ ‎∴， ‎ 将样本中心点代入回归直线方程，得，‎ ‎∴，‎ 下面用直方图中各区间中点值作为代表，估计该地区2017年平均销售量：‎ ‎ ‎ 由题意得：，解得.‎ ‎∵，∴该电商至少运营9天可使总销量不低于该地区各果园2017年平均销售量的两倍. ‎ ‎20. （1）法一：设，因为为中点，故点的坐标为；‎ 当时，点的坐标为；当时，‎ 由三点共线知，，即 ①‎ ‎，即 ②； ‎ 得，‎ 化简得曲线的轨迹方程为.‎ 法二：设，则直线的方程为，‎ 令，得点的坐标为，即，‎ 又及,.即，‎ 化简得，即，‎ 故曲线的轨迹方程为. ‎ ‎（2）法一：由题意知，直线的斜率恒大于0，且直线不过点，其中；‎ 设直线的方程为，则.‎ 设，‎ 直线的方程为，故，‎ 同理；‎ 所以，‎ 即 ③‎ 联立，化简得，‎ 所以 ‎ 代入③得，‎ 所以点都在定直线上. ‎ 法二：设，‎ 设直线的方程分别为，‎ 则，‎ 故 ①，‎ 联立得，‎ 所以，同理，.‎ 由三点共线知，‎ 即，‎ ‎ ②‎ 又，故②式可化为，‎ 代入①式，得.‎ 所以点都在定直线上. ‎ 法三：设，‎ 设直线的方程分别为，‎ 则，‎ 故 设直线方程的统一形式为，‎ 直线的方程为，‎ 联立，得点的统—形式为，‎ 又均在椭圆上，故其坐标满足椭圆的方程，即 ‎，得，‎ 即，‎ 为该二次方程的两根，由韦达定理得，‎ 代入①式，得.‎ 所以点都在定直线上. ‎ ‎21.（1）函数定义域是，，‎ ‎（i）当时，，当时，函数的单调递减区间是；‎ ‎（ⅱ）当，的两根分别是，，‎ 当时.函数的单调递减.当时，函数的单调速递增，当时，函数的单调递减；‎ 综上所述，（i)当时的单调递减区间是，‎ ‎（ⅱ）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是和 ‎ ‎（2）当时，，即，‎ 设，∴，‎ ‎∴当时，，‎ 设，则，∴在递增，‎ 又∵在区间上的图象是一条不间断的曲线，‎ 且，‎ ‎∴使得，即，‎ 当时，；当时，；‎ ‎∴函数在单调递减，在单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∵在递减，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴当时，不等式对任意恒成立，‎ ‎∴正整数的最大值是3. ‎ ‎22.（1）把代入曲线可得 ‎ 化为直角坐标为，‎ 又过点，得直线的普通方程为；‎ 可化为. ‎ 由可得，‎ 即曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，，‎ 化简得，① ‎ ‎ ‎ 可得，故与同号 ‎，‎ 所以时，有最大值.‎ 此时方程①的，故有最大值. ‎ ‎23.（1）当时，，.‎ 即或或 ‎ 解得 或 或，所以或 或.‎ 所以原不等式的解集为.‎ ‎（2）因为，‎ 所以当时，不等式恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 当时，，即，‎ 所以，所以在上恒成立，‎ 所以，即；‎ 当时，，即，即，‎ 所以在上恒成立，‎ 所以，即；‎ 综上，的取值范围为.‎