专题39 空间几何体的表面积与体积-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题39 空间几何体的表面积与体积-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题39空间几何体的表面积与体积 最新考纲 了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．‎ ‎2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 ‎3.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体　　‎ 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱)‎ S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)‎ S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台)‎ S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2‎ V＝πR3‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．与体积有关的几个结论 ‎(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．‎ ‎(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．‎ ‎2．几个与球有关的切、接常用结论 ‎(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，‎ ‎①若球为正方体的外接球，则2R＝a；‎ ‎②若球为正方体的内切球，则2R＝a；‎ ‎③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.‎ ‎(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.‎ ‎(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.‎ 重点难点突破 ‎【题型一】求空间几何体的表面积 ‎【典型例题】‎ 在△ABC中，AC＝2，BC＝2，∠ACB＝120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的表面积是（　　）‎ A． B．6π C． D．‎ ‎【解答】解：△ABC绕直线BC旋转一周，所形成的几何体一个大圆锥去掉一个小圆锥，‎ 因为AC＝2，BC＝2，∠ACB＝120°，所以OA，AB＝2‎ 所以所形成的几何体的表面积是 故选：A．‎ ‎ 【再练一题】‎ 如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．‎ ‎【解答】解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：‎ 圆台下底面、侧面和一半球面 S半球＝8π，S圆台侧＝35π，S圆台底＝25π．‎ 故所求几何体的表面积为68π 由，‎ 所以，旋转体的体积为 思维升华 空间几何体表面积的求法 ‎(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．‎ ‎(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．‎ ‎【题型二】求空间几何体的体积 命题点1　以三视图为背景的几何体的体积 ‎【典型例题】‎ 设如图是某几何体的三视图，求该几何体的体积和表面积．‎ ‎【解答】解：该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，‎ 长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，‎ 故所求体积为，‎ 表面积为． 【再练一题】‎ 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A．π B． C． D．‎ ‎【解答】解：由三视图可知几何体是有四分之一个球与一个半圆柱组成，圆柱的底面半径与球的半径相同为：1，圆柱的高为2，组合体的体积为：．‎ 故选：B． 命题点2　求简单几何体的体积 ‎【典型例题】‎ 正四棱锥P﹣ABCD，B1为PB的中点，D1为PD的中点，则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是（　　）‎ A．1：4 B．3：8 C．1：2 D．2：3‎ ‎【解答】解：如图，棱锥A﹣B1CD1的体积可以看成是正四棱锥P﹣ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，‎ ‎∵B1为PB的中点，D1为PD的中点，‎ ‎∴棱锥B1﹣ABC，的体积和棱锥D1﹣ACD的体积都是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，‎ 棱锥C﹣PB1D1，的体积与棱锥A﹣PB1D1的体积之和是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，‎ 则中间剩下的棱锥A﹣B1CD1的体积 V＝正四棱锥P﹣ABCD的体积﹣3个正四棱锥P﹣ABCD的体积 个正四棱锥P﹣ABCD的体积，‎ 则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是1：4．‎ 故选：A．‎ ‎ 【再练一题】‎ 一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：设球的半径为r；正三棱锥的底面面积，h＝2r，．‎ 所以 故选：A． 思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎【题型三】与球有关的切、接问题 ‎【典型例题】‎ 在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝1，BC，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　）‎ A．8π B． C． D．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 由PA＝PB＝PC＝2，过P作PG⊥平面ABC，垂足为G，‎ 则G为三角形ABC的外心，‎ 在△ABC中，由AB＝AC＝1，BC，可得∠BAC＝120°，‎ 则由正弦定理可得：2AG，即AG＝1．‎ ‎∴PG．‎ 取PA中点H，作HO⊥PA交PG于O，则O为该三棱锥外接球的球心．‎ 由△PHO∽△PGA，可得，则PO．‎ 即该棱锥外接球半径为．‎ ‎∴该三棱锥外接球的表面积为，‎ 故选：B．‎ ‎ 【再练一题】‎ 在边长为2的菱形ABCD中，BD＝2，将菱形ABCD沿对角线AC对折，使二面角B﹣AC﹣D的余弦值为，则所得三棱锥A﹣BCD的内切球的表面积为（　　）‎ A． B．π C． D．‎ ‎【解答】解：如下图所示，‎ 易知△ABC和△ACD都是等边三角形，取AC的中点N，则DN⊥AC，BN⊥AC．‎ 所以，∠BND是二面角B﹣AC﹣D的平面角，过点B作BO⊥DN交DN于点O，可得BO⊥平面ACD．‎ 因为在△BDN中，，所以，BD2＝BN2+DN2﹣2BN•DN•cos∠BND，‎ 则BD＝2．‎ 故三棱锥A﹣BCD为正四面体，则其内切球半径．‎ 因此，三棱锥A﹣BCD的内切球的表面积为．‎ 故选：C． 思维升华 空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ 基础知识训练 ‎1．【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一】已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设圆柱的底面圆半径为，则，所以圆柱的体积.又球的体积，所以球的体积与圆柱的体积的比，故选D.‎ ‎2．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模（最后一卷)】四棱锥的底面为正方形，底面，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则的长为（ ）‎ A．3 B．2 C．1 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：‎ 连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OE∥PA,‎ OE⊥底面ABCD，可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球半径为R，‎ 可得，可得，‎ 解得PA=1,‎ 故选C.‎ ‎3．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷（新课标I)】已知，，，，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，面，则球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 取中点，连接 且 四边形为平行四边形 ‎，又 ‎ 为四边形的外接圆圆心 设为外接球的球心，由球的性质可知平面 作，垂足为 四边形为矩形，‎ 设，‎ 则，解得： ‎ 球的体积：‎ 本题正确选项：‎ ‎4．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马中，为阳马中最长的棱，，若在阳马的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据题意，的长等于其外接球的直径，因为，∴，∴，又平面，所以，‎ ‎∴.‎ ‎5．【北京市房山区2019年第二次高考模拟检测高三】在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面的中心，若，则四面体的体积( )‎ A．与都有关 B．与都无关 C．与有关，与无关 D．与有关，与无关 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为VO－AEF＝VE－OAF，‎ 所以，考察△AOF的面积和点E到平面AOF的距离的值，‎ 因为BB1∥平面ACC1A1，‎ 所以，点E到平面AOE的距离为定值，‎ 又AO∥A1C1，‎ 所以，OA为定值，点F到直线AO的距离也为定值，‎ 即△AOF的面积是定值，‎ 所以，四面体的体积与都无关，选B。‎ ‎6．【北京市东城区2019届高三下学期综合练习（二模)】鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作. 下图是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的体积为 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：‎ 长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，‎ 如图，‎ ‎∴该零件的体积：‎ V＝100×20×20﹣40×20×10＝32000（mm3）．‎ 故选：C．‎ ‎7．【山东省日照市2019届高三5月校际联合考试】已知点在同一个球的球面上，，若四面体外接球的球心恰好在侧棱上，，则四面体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由，可知，‎ 取的中点，则点为外接圆的圆心，又为四面体外接球球心，‎ 所以平面，且为的中位线，‎ 所以平面，‎ 故三棱锥的体积为．‎ 故选：C．‎ ‎8．【江西省新八校2019届高三第二次联考】在三棱锥中，面，则三棱锥的外接球表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为面，所以，又，‎ 解得：，又，满足，所以.‎ 由此可得三棱锥是长方体中的一个几何体，如下图：‎ 长方体的外接球就是三棱锥的外接球，‎ 长方体的体对角线长就是外接球的直径，即，‎ 所以三棱锥的外接球表面积是：‎ 故选B ‎9．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】在一个圆锥内有一个半径为的半球，其底面与圆锥的底面重合，且与圆锥的侧面相切，若该圆锥体积的最小值为，则（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 几何体如图一所示：其正视图如图二所示 设圆锥的底面圆心为O, 半径为，高为,则OA=, ‎ 又圆锥体积 ‎ 令 ，则 ‎ 当，故在 单调递增，在单调递减，故在取得最小值，此时 ‎ 故选：B ‎10．【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试】在四面体中，是边长为的等边三角形，，，，则四面体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图，延长至，使得，连接，‎ 因为，故为等腰三角形，‎ 又，故，‎ 所以即，故，‎ 因为，所以，所以，‎ 因，平面，平面，‎ 所以平面，‎ 所以，‎ 因为的中点，所以，‎ 因为，故为直角三角形，‎ 所以，‎ 又，而，故即为直角三角形，‎ 所以，所以，故选C.‎ ‎11．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)】设是正四面体底面的中心，过的动平面与交于与的延长线分别交于则( )‎ A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．既有最大值又有最小值，且两者不相等 D．是一个与平面无关的常数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设正三棱锥中,各侧棱两两夹角为, 与面所成角为, 则. 另一方面,记到各面的距离为,则, 即 , 故有: , 即常数，故选D.‎ ‎12．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】若圆锥，‎ 的顶点和底面圆周都在半径为的同一个球的球面上，两个圆锥的母线长分别为，，则这两个圆锥公共部分的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 易得在同一条直线上，过该直线作出截面图如图所示.‎ 是圆锥底面圆的直径，是圆锥底面圆的直径，两直径都与垂直.‎ 在中，，则可得.‎ 在中，，则，则.‎ 又，所以点重合.‎ 这两个圆锥共顶点且底面平行，故它们的公共部分也是一个圆锥，‎ 其底面半径为，高为，‎ 所以所求体积为.故选A.‎ ‎13．【天津市部分区2019届高三联考一模】已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个组合体，该组合体由两个同底的圆锥组成，两个圆锥的底面半径为，高为1，‎ 体积为.‎ 故答案为.‎ ‎14．【河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟考试】已知圆锥的顶点和底面圆周都在半径为 2 的球面上，且圆锥的母线长为 2，则该圆锥的侧面积为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图，圆锥的母线长，球的半径，‎ ‎∴为等边三角形，‎ 又∵，∴，，‎ ‎∴圆锥的侧面积为，故答案为.‎ ‎15．【天津市部分区2019届高三联考一模】圆柱的体积为，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的体积为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设圆柱的高为，‎ 圆柱体积为，底面半径为，‎ ‎，，‎ 设球半径为，‎ 则，‎ ‎，可得，‎ 球的体积为，故答案为.‎ ‎16．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试】如图所示，正方体的棱长为1，为线段，上的动点，过点的平面截该正方体的截面记为S，则下列命题正确的是______‎ ‎①当且时，S为等腰梯形；‎ ‎②当分别为，的中点时，几何体的体积为；‎ ‎③当M为中点且时，S与的交点为R，满足；‎ ‎④当M为中点且时，S为五边形；‎ ‎⑤当且时，S的面积.‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】‎ 对于①，画出图像如下图所示，过作，交于，截面为，由于，所以，故，所以，即截面为等腰梯形.故①正确.‎ 对于②，以为空间坐标原点，分别为轴，建立空间直线坐标系，则,则,.设平面的法向量为，则，令，则，故.则点到平面的距离为.而，故，故②命题正确.‎ 对于③，延长交的延长线于，连接交于，由于，所以，故.由于，所以,故，故③判断错误.‎ 对于④，当时，截面为三角形，故④判断错误.‎ 对于⑤，延长,交的延长线于，连接,交于，则截面为四边形.由于,所以，面积比等于相似比的平方，即，故.在三角形中，,边上的高为,故,所以.‎ 综上所述，本小题正确的命题有①②.‎ ‎17．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷（新课标I)】如图，多面体中，是菱形，，平面，，且.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求多面体的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：连接交于，设中点为,连接，‎ ‎，分别为，的中点 ‎,且 且 四边形为平行四边形 ‎, 即 平面，平面 ‎ 四边形是菱形 ‎ ‎ 平面，即平面 又平面 平面平面 ‎（2）‎ 平面平面 到平面的距离为 ‎18．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模】如图，在多面体中，，，平面，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）平面，平面 ‎ ‎， ‎ 又 ‎ 则 ‎ ‎ 又 平面 又平面 ‎ ‎（Ⅱ）‎ 三棱锥的体积：‎ ‎19．【广东省2019届高三适应性考试】如图，在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，为的中点，为的三等分点（靠近）点.‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）在线段上找点，使得平面，写出作图步骤，但不要求证明.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎(1)由题知 依题意得 ‎(2) 如图，在平面内，过点作交于点，连结，在中，作交于点，连结并延长交于点，则为所求作直线. ‎ ‎20．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】如图，三棱柱中，平面平面，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）平面平面，平面平面，平面，‎ 平面 平面 ‎ ‎ ‎ 四边形是平行四边形，且 四边形是菱形 ‎ 平面 又平面 平面平面 ‎（2）四边形是菱形，，‎ ‎，，平面，‎ ‎，‎ 即四棱锥的体积为 ‎21．【云南省陆良县2019届高三上学期第一次摸底考试】如图，在四棱锥中，平面，，，且，，，点在上．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 证明：（1）取中点，连结，‎ 则，，‎ 四边形为平行四边形，，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，又，，‎ 平面，．‎ 解：（2），，‎ 三棱锥的体积为：‎ ‎．‎ ‎22．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】如图所示，四棱锥中，，平面，，点在线段上.‎ ‎（Ⅰ）若，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若为等边三角形，，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）取线段上靠近的三等分点，连接，.‎ 因为，则.‎ 而，，故.‎ 故四边形为平行四边形，故.‎ 因为平面，平面，故平面.‎ ‎（Ⅱ）因为平面，平面，‎ 所以平面平面.‎ 所以四棱锥的高即为中边上的高.‎ 边上的高为.‎ 故四棱锥的体积.‎ 能力提升训练 ‎1．【新疆乌鲁木齐地区2019届高三第三次质量检测】正方体的全面积是6.它的顶点都在球面上，这个球的表面积是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设正方体的棱长为，则，故，‎ 又其外接球的直径，所以，‎ 所以，故选B.‎ ‎2．【东北三省三校2019届高三第三次模拟考试】已知四面体中，平面平面 ，为边长2的等边三角形， ，，则四面体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解:取BD中点M,因为为边长2的等边三角形,所以,且.‎ 又因为平面平面且交线为BD,所以,而且是等腰直角三角形,且面积为2,所以,故答案为A. ‎ ‎3．【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟考试】已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为30°，则此圆锥的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可知，底面半径；圆锥的高 圆锥体积 本题正确选项：‎ ‎4．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查考试】直三棱柱的所有棱长均为，则此三棱柱的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：由直三棱柱的底面边长为，‎ 得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r，‎ 又由直三棱柱的侧棱长为，则球心到圆O的球心距d，‎ 根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，‎ 满足勾股定理，我们易得球半径R满足：R2＝r2+d2，‎ ‎∴外接球的表面积S＝4πR2．‎ 故选：C．‎ ‎5．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试】如图，边长为的正方形中，点分别是的中点，将分别沿折起，使得三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可知△是等腰直角三角形，且平面．‎ 三棱锥的底面扩展为边长为1的正方形，‎ 然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，‎ 正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：．‎ 球的半径为，‎ 球的表面积为．故选：．‎ ‎6．【天津市河北区2019届高三二模】已知四面体的四个面都为直角三角形，且平面，若该四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 为直角三角形 ‎ 又平面平面 ‎ 平面 由此可将四面体放入边长为的正方体中，如下图所示：‎ 正方体的外接球即为该四面体的外接球 正方体外接球半径为体对角线的一半，即 的表面积：‎ 本题正确选项：‎ ‎7．【山东省聊城市2019届高三三模】如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若和梯形的面积都等于，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由是三棱台得，平面平面，‎ 从而.‎ 取的中点为，连结.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴.‎ ‎∵，为的中点，∴，∴.‎ ‎∵平面平面，且交线为，平面，‎ ‎∴平面，而平面，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵正三角形的面积为，‎ ‎∴，.∴正三角形的面积.‎ ‎∵梯形的面积等于，∴梯形的高.‎ ‎∴.‎ ‎8．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)】在梯形中(图1)，，，，过、分别作的垂线，垂足分别为、，且，将梯形沿、同侧折起，使得，且，得空间几何体 (图2).直线与平面所成角的正切值是.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求多面体的体积.‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）连接交于点，取的中点，连接，，‎ 因为四边形为矩形，则是的中位线，‎ 所以且，‎ 由已知得且，‎ 所以且，‎ 所以四边形为平行四边形，，‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ 即平面；‎ ‎（2）由已知，，，‎ 可得平面，‎ 又平面，所以平面平面，‎ 又，所以平面，‎ 设，，，‎ 因为直线与平面所成角的正切值是，‎ 所以，解得：，‎ ‎，，‎ ‎.‎ ‎9．【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试（三模)】如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，是的中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，三棱锥的体积为，求四棱锥的侧面积．‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）∵平面，平面，‎ ‎∴， ‎ 又∵底面是菱形，∴，‎ 又∵，平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ 又∵平面，∴平面平面.‎ ‎（2）设菱形的边长为，‎ ‎∵，∴，‎ 在中，，‎ ‎∴，‎ 又∵平面，，，∴，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，∴ ，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，∴.‎ 又∵平面，∴，‎ ‎∴四棱维的侧面积等于 ‎10．【江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试】如图，直三棱柱中，，点是棱上不同于的动点，‎ ‎(1)证明：;‎ ‎(2)当时，求平面把此棱柱分成的两部分几何体的体积之比。‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)在中，因为，所以，所以,‎ 又在直三棱柱中，,‎ 所以平面,‎ 又因为平面,所以.‎ ‎（2）设，则，‎ 所以,‎ ‎,‎ 因为，所以，即，‎ 解得，‎ 在四棱锥中，取中点，‎ 连接，则平面,且 所以体积为，‎ 又由直三棱柱的体积为,‎ 所以分成两部分的体积比为，‎ 所以平面把此棱柱分成的两部分几何体的体积之比. ‎