专题6-1 数列的通项公式与求和-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（理）（解析版）

专题6-1 数列的通项公式与求和-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（理）（解析版）

www.ks5u.com ‎2017年高考备考之 ‎3年高考2年模拟1年原创 ‎【三年高考】‎ ‎1. 【2016高考浙江理数】设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1= ，S5= .‎ ‎【答案】 ‎ ‎2. 【2016高考山东理数】已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且 ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令 求数列的前n项和Tn.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意知当时，，当时，，所以.设数列的公差为，由，即，可解得，所以.‎ ‎3．【2016高考江苏卷】记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对任意正整数，若，求证：；‎ ‎（3）设,求证：.‎ ‎【解析】（1）由已知得.于是当时，.又，故，即.所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）因为，，所以.因此，.‎ ‎（3）下面分三种情况证明.①若是的子集，则.‎ ‎②若是的子集，则.‎ ‎③若不是的子集，且不是的子集.令，则，，.‎ 于是，，进而由，得.设是中的最大数，为中的最大数，则.由（2）知，，于是，所以，即.又，故，从而，‎ 故，所以，即.综合①②③得，. ‎ ‎4．【2016高考天津理数】已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等差中项.‎ ‎(Ⅰ)设，求证：是等差数列；‎ ‎(Ⅱ)设 ，求证：‎ ‎5． 【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得，两边同时除以，得 ‎，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．‎ ‎6.【2015江苏高考，11】数列满足，且（），则数列的前10项和为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得：，所以 ‎7. 【2015高考新课标1，理17】为数列{}的前项和.已知＞0，=.‎ ‎（Ⅰ）求{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.‎ ‎8.【2015高考山东，理18】设数列的前n项和为.已知.‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）若数列满足，求的前n项和.‎ ‎【解析】（I）因为 ，所以， ，故 当 时， ‎ 此时， 即 所以， ‎ ‎（II）因为 ，所以 ，当 时， ，所以 ‎ 当 时， ，所以，两式相减，得 ，所以，经检验， 时也适合，‎ 综上可得：‎ ‎9.【2015高考重庆，理22】在数列中，‎ ‎（1）若求数列的通项公式；‎ ‎ （2）若证明：‎ ‎10．【2014高考广东理第19题】设数列的前项和为，满足，，且.‎ ‎（1）求、、的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式.‎ ‎11．【2014高考湖南理第20题】已知数列满足,.‎ ‎(1)若为递增数列,且成等差数列,求的值;‎ ‎(2)若,且是递增数列,是递减数列,求数列的通项公式. ‎ ‎【解析】 (1)因为数列为递增数列,所以,则,分别令可得,因为成等差数列,所以或,‎ 当时,数列为常数数列不符合数列是递增数列,所以.‎ ‎(2)由题可得,因为是递增数列且是递减数列,所以且,则有,因为 ‎12．【2014高考全国1第17题】已知数列的前项和为，，，，其中为常数，‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.‎ ‎【解析】（I）由题设，，．两式相减得，．‎ 由于，所以．‎ ‎【三年高考命题回顾】‎ 纵观前三年各地高考试题, 对数列通项公式和求和这部分的考查，主要考查数列的概念与表示方法、数列递推关系与通项公式的联系、数列的求和方法，往往与函数、方程、不等式等知识建立联系，高考中一般会以各种形式考查．‎ ‎【2017年高考复习建议与高考命题预测】‎ 由前三年的高考命题形式可以看出 , 高考对数列概念与表示方法的考查，要深刻体会数列不光体现一种递推关系，它具有函数特征，故经常会与函数、方程、不等式等知识联系考察.对数列通项公式的考察，一般会以等差数列和等比数列具体形式出现，或者由项的递推关系或者项与前n项的的关系得出，同时要注意从特殊到一般思想的灵活运用．对数列求和的考察，要掌握常见的数列求和方法（直接求和、倒序相加法、错位相减法、裂项相加法），往往会和不等式建立联系，会牵涉到放缩法，难度会大点，注意等价转换思想的活用．这部分试题难度属中低档的题目，小题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查．由于连续两年大题没涉及数列,故预测2017年高考将以等差数列，等比数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点，特别是错位相减法求和问题，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．‎ ‎【2017年高考考点定位】‎ 高考对数列的通项公式与求和的考查有三种主要形式：一是考察数列的概念与表示；二是数列通项公式；三是数列求和；其中经常与函数、方程、不等式等知识的相联系．‎ ‎【考点1】数列的概念与表示 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1．定义：按照一定顺序排列着的一列数．‎ ‎2．表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．‎ ‎3．分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．‎ ‎4．与的关系：．‎ ‎5．处理方法：.用函数的观点处理数列问题 ‎【规律方法技巧】‎ ‎1. 数列是定义域为正整数集或其有限子集的函数，故数列具有函数的特征（周期性、单调性等）．‎ ‎2. 观察法是解决数列问题的法宝，先根据特殊的几项，找出共同的规律，横看“各项之间的关系结构”，纵看 “各项与项数n的关系”，从而确定数列的通项公式．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016年4月河南八市高三质检卷】已知，观察下列算式：；，…；若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意：；，…；…；据此可知，，则的值为 ‎2.数列的一个通项公式是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C.‎ ‎【考点2】递推关系与数列通项公式 ‎【备考知识梳理】‎ 在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈．数列通项公式的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．2、公式法， 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解．3、由递推式求数列通项法，对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．4、待定系数法（构造法），求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法．‎ ‎【规律方法技巧】‎ 数列的通项的求法：‎ ‎⑴公式法：‎ ‎①等差数列通项公式；‎ ‎②等比数列通项公式.⑵已知（即）求，用作差法：.‎ ‎⑶已知求，用作商法：.‎ ‎⑷若求用累加法：.‎ ‎⑸已知求，用累乘法：.⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）.特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求.如(21)已知，求；（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项.‎ 注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解. （3）由与的关系，可以先求，再求，或者先转化为项与项的递推关系，再求．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016届榆林市高三二模】在数列中，，则的值为（ ）‎ A． B．5 C． D．以上都不对 ‎【答案】C ‎2. 【2016湖北省八校高三.二联】数列满足，，且，记为数列的前项和，则= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，，所以数列是以为公差的等差数列，且，所以，，，所以 ‎【考点3】数列求和 ‎【备考知识梳理】‎ 数列的求和也是高考中的热点内容，考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和，体现了化归的思想方法，其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点．估计在以后的高考中不会有太大的改变．数列求和的常用方法，尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和，数列求和的基本方法：基本公式法：等差数列求和公式： 等比数列求和公式： .‎ 错位相消法：一般适应于数列的前向求和，其中成等差数列，成等比数列．‎ 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和．‎ 拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：若是公差为的等差数列，则；‎ ‎；；；.‎ ‎5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的．‎ ‎【规律方法技巧】‎ 数列求和关键是研究数列通项公式，根据通项公式的不同特征选择相应的求和方式，若数列是等差数列或等比数列，直接利用公式求和；若通项公式是等差乘等比型，利用错位相减法；若通项公式可以拆分成两项的差且在累加过程中可以互相抵消，利用裂项相消法，从近年的考题来看，逐渐加大了与函数不等式的联系，通过对通项公式进行放缩，放缩为易求和的数列问题处理．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016年江西九江高三第三次联考】设是等差数列的前项和，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由成等差数列，得，即,故选C.‎ ‎2. 【2016届淮北一中高三最后一卷】已知函数且，在各项为正的数列中，的前项和为，若，则____________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【应试技巧点拨】‎ ‎1. 由递推关系求数列的通项公式 ‎（1）利用“累加法”和“累乘法”求通项公式 此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法，递推关系为用累加法；递推关系为用累乘法.解题时需要分析给定的递推式，使之变形为结构，然后求解.要特别注意累加或累乘时，应该为个式子，不要误认为个.‎ ‎ (2)利用待定系数法，构造等差、等比数列求通项公式 求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为（其中p，q均为常数，）.把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.‎ ‎3.如何选择恰当的方法求数列的和 在数列求和问题中，由于题目的千变万化，使得不少同学一筹莫展，方法老师也介绍过，就不清楚什么特征用什么方法.为此提供一个通法 “特征联想法”：就是抓住数列的通项公式的特征，再去联想常用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂，只有抓住它的特征，才能对号入座，得到求和方法.‎ 特征一：，数列的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”.‎ 特征二：，数列的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错位相减法”.‎ 特征三：，数列的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”.‎ 特征四：，数列的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成，一般采用“倒序相加法”.‎ ‎4. 利用转化，解决递推公式为与的关系式.‎ 数列{}的前项和与通项的关系：.通过纽带：，根据题目求解特点，消掉一个.然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解.如需消掉，利用已知递推式，把n换成（n+1）得到递推式，两式相减即可.若消掉，只需把带入递推式即可.不论哪种形式，需要注意公式成立的条件 ‎5.由递推关系求数列的通项公式 ‎（1）利用“累加法”和“累乘法”求通项公式 此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法，递推关系为用累加法；递推关系为用累乘法.解题时需要分析给定的递推式，使之变形为结构，然后求解.要特别注意累加或累乘时，应该为个式子，不要误认为个.‎ ‎ (2)利用待定系数法，构造等差、等比数列求通项公式 求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为（其中p，q均为常数，）.把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.‎ ‎1. 【2016届宁夏石嘴山三中高三下三模】数列满足，对任意的都有 ‎，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎2. 【2016届云南省玉溪一中高三下第八次月考】若数列{}满足－＝d （n∈N﹡，d为常数），则称数列{}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝（ ）‎ A．10 B．20 C．30 D．40‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知（常数），所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则有，.故选B.‎ ‎3. 【2016届河南郑州一中高三考前冲刺一】数列满足：，且对任意的，都有，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，则可得，则可猜得，∴，∴，故选D．‎ ‎4. 【2016届河南郑州一中高三考前冲刺】已知数列满足，若数列的最小项为，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎5. 【2016年淮北一中高三模考】数列 中，，则此数列的通项公式___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，所以，又，所以是等比数列，所以，即．‎ ‎ 6. 【2016年河北石家庄高三二模】数列满足：，则数列前项的和为______.‎ ‎【答案】‎ ‎7. 【2016年江西省南昌市高三一模测试】数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+Sn一1=2n-l (n>2)，且S2 =3，则a1+a3的值为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令,则，则，令，则，，则，所以．‎ ‎ 8. 【2016届浙江省义乌市5月模拟】已知数列满足且（）.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，且为的前项和，证明：．‎ ‎ 9. 【2016届吉林四平一中高三五模】数列的前项和为，，.‎ ‎（1）求数列的通项；‎ ‎（2）求数列的前项和为.‎ ‎【解析】（1）因为，所以，所以.又因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以.当时，，‎ 所以.‎ ‎（2），当时，，‎ 当时，，①‎ ‎ ②‎ ‎①-②得：，,所以，‎ 又因为也满足上式，所以.‎ ‎ 10. 【2016年山西高三四校联考】在等差数列中，，数列的前n项和.‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和．‎ ‎ 11. 【2015届河南省南阳市一中高三三模】数列的前项和为，已知，且任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】：∵恒成立，∴，当时，，即，‎ ‎，当时，．‎ ‎12.【2015届甘肃省天水市一中高三高考信息卷一】如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为，由下往上的六个点：，，，，，的横、纵坐标分别对应数列（）的前项，如下表所示： ‎ 按如此规律下去，则 ．‎ ‎【答案】1007‎ ‎13.【2015届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】已知数列满足，且，则的整数部分是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得 ‎，因此，又因此，即的整数部分是2，选C．‎ ‎14.【2015届福建省龙岩市一中高三考前模拟】设数列的前项和为，且，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列为等差数列，且，公差为．当时，比较与的大小．‎ ‎15.【2015届浙江省余姚市高三第三次模拟】已知数列满足下列条件： ，‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）比较与的大小．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知， ‎ ‎ 所以的通项公式 ‎ ‎（Ⅱ） 设 所以即为递增数列. 当时，所以于是，即 易知当时，当时，‎ ‎【一年原创真预测】‎ ‎1. 已知数列的前项和满足，，则数列的通项（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【入选理由】本题考查数列前项和与通项间的关系、等差数列通项公式等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及转化思想的应用．表面看题，似难度重重，认真审题，找出规律，从而可解，难度不大，有一定的技巧，故选此题.‎ ‎2．已知数列中，，，则（　　　）‎ A．320　　　　B．160　　　　C．80　　　　D．40‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，得，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，所以，故选B．‎ ‎【入选理由】本题考查数列递推关系、等比数列通项公式等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及转化思想的应用．递推关系需注意变形方法,此题难度不大，有一定的技巧，故选此题.‎ ‎3.已知数列的前项和为，．当时，，则 （ ）‎ A．246 B．299 C．247 D．248‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时，由得，即……① ，所以……②，由②－①得，又即，所以数列构成公差为2的等差数列，从而，故选B．‎ ‎【入选理由】本题考查数列前项和与通项间的关系、等差数列通项公式等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及转化思想的应用．递推关系是高考考试的重点与难点,有一定的技巧,需加强练习，故选此题.‎ ‎4.为数列中不超过的项数，且，则正整数A的值为 ‎【答案】或 ‎【入选理由】本题考查等差数列，不等式正整数解等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．此题看似简单,拿住题又无从下手,细分析后也不是太难,的确是一个好题,故选此题.‎ ‎5.已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【入选理由】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识，意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算能力，以及转化思想的应用．此类题，需认真审题，找出规律，从而可解，难度不大，有一定的技巧，故选此题.‎ ‎6.已知数列的前项和．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，，设数列的前项和为，求．‎ ‎【解析】当时，，，又时，满足上式, 所以.‎ ‎ .‎ ‎. ‎ ‎【入选理由】本题主要考查已知数列前n项和求通项以及分段数列前n项和的求法等基础知识，意在考查学生的转化与化归能力和运算求解能力．此类题是高考常考题型，难度不大，有一定的技巧，故选此题.‎ ‎7.已知数列满足.数列 前项和为.‎ ‎(Ⅰ) 求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求正整数的值；‎ ‎（Ⅲ）是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的值，若不存在，说明理由.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【入选理由】本小题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式、数列增减性等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．此类题有一定的综合性，难度中等，有一定的解题技巧，故选此题.‎ ‎8.已知数列中任意连续三项的和为零，且 ‎(Ⅰ) 求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和的取值范围.‎ ‎【入选理由】本小题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式、数列增减性等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析的能力．此题构思巧妙,有一定的新意,有一定的难度，故选此题.‎