四川高考数学理

四川高考数学理

‎2006年高考数学四川卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）已知集合，集合，则集合（　）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）复数的虚部为（　）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）已知，下面结论正确的是（　）‎ ‎（A）在处连续 　　　（B） ‎ ‎（C） 　　　　　　 （D）‎ ‎（4）已知二面角的大小为，m、n为异面直线，且、，则m、n所成的角为（　）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（　）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（6）已知两定点、，如果动点P满足，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（　）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（　）‎ ‎（A） ‎ ‎（B） ‎ ‎（C） ‎ ‎（D）‎ ‎（8）某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为、千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为、千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为、元，月初一次性购进本月用原料A、B各、千克．要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为（　）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（9）直线与抛物线交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（　）‎ ‎（A）48 （B）56 （C）64 （D）72‎ ‎（10）已知球O的半径是1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球面距离都是，B、C两点的球面距离是，则二面角的大小是（　）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）设a、b、c分别是⊿ABC的三个内角A、B、C所对的边，则是的（　）‎ ‎（A）充要条件 （B）充分而不必要条件 ‎（C）必要而不充分条件 （D）既不充分又不必要条件 ‎（12）从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．‎ ‎（13）在三棱锥中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成的角的大小是 （用反三角函数表示）．‎ ‎（14）设离散型随机变量可能取的值为1、2、3、4，（k＝1、2、3、4），又的数学期望，则 ．‎ ‎（15）如图，把椭圆的长轴AB分成8等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，…，七个点，是椭圆的一个焦点，则 ．‎ ‎（16）非空集合G关于运算满足：（1）对任意，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称G关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算：‎ G＝{非负整数}，为整数的加法；‎ G＝{偶数}，为整数的乘法；‎ G＝{平面向量}，为平面向量的加法；‎ G＝{二次三项式}，多项式的乘法；‎ G＝{虚数}，为复数的乘法．‎ 其中G关于运算为“融洽集”的是__________(写出所有“融洽集”的序号)．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知A、B、C是⊿ABC三内角，向量，，且．‎ ‎（I）求角；‎ ‎（II）若，求．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”．甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9．所在考核是否合格相互之间没有影响．‎ ‎（I）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；‎ ‎（II）求这三人该课程考核都合格的概率．（结果保留三位小数）‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在长方体中，E、P分别是BC、的中点，M、N分别是AE、的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a．‎ ‎（I）求证：MN//面ADD1A1；‎ ‎（II）求二面角P－AE－D的大小；‎ ‎（III）求三棱锥P－DEN的体积．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知数列，其中，，，记数列的前n项和为，数列的前n项和为．‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）设，（其中为的导函数），计算．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知两定点，，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线与曲线E交于A、B两点．如果，且曲线E上存在点C，使，求m的值和⊿ABC的面积S．‎ ‎（22）（本小题满分14分）‎ 已知函数，的导函数是．对任意两个不相等的正数、，证明：‎ ‎（I）当时， ；‎ ‎（II）当时， ．‎ 参考答案 一．选择题： ‎ 二．填空题：‎ ‎（13）‎ ‎（14） ‎ ‎（15）35 ‎ ‎（16）①、③‎ 三．解答题： ‎ ‎（17）解：‎ ‎（Ⅰ）∵ ∴‎ 即 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）由题知，整理得 ‎∴ ∴‎ ‎∴或 而使，舍去 ‎∴‎ ‎（18）解：‎ 记“甲理论考核合格”为事件，“乙理论考核合格”为事件，“丙理论考核合格”为事件， 记为的对立事件，；记“甲实验考核合格”为事件，“乙实验考核合格”为事件，“丙实验考核合格”为事件，‎ ‎（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件，记为的对立事件 解法1：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解法2：‎ 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为 ‎（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格” 为事件 ‎ 所以，这三人该课程考核都合格的概率为 ‎（19）解法一： ‎ ‎（Ⅰ）证明：取的中点，连结 ‎ ∵分别为的中点 ‎∵‎ ‎ ∴面，面 ‎ ∴面面 ‎ ∴面 ‎（Ⅱ）设为的中点 ‎∵为的中点 ∴‎ ‎∴面 作，交于，连结，则由三垂线定理得 从而为二面角的平面角。‎ 在中，，从而 ‎。‎ 在中，‎ 故：二面角的大小为 ‎（Ⅲ）。‎ 作，交于，由，得，∴。‎ 在中，，‎ ‎∴。‎ 解法二：‎ 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则 ‎ ‎ ‎∵分别是的中点 ‎∴‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎ 取，显然面 ，∴‎ 又面 ∴面 ‎∴过作，交于，取的中点，则 设，则 又 由，及在直线上，可得:‎ 解得 ‎∴‎ ‎∴ 即 ‎∴与所夹的角等于二面角的大小 故：二面角的大小为 ‎（Ⅲ）设为平面的法向量，则，。‎ 又，，。‎ ‎∴，即，∴可取 ‎∴点到平面的距离为。‎ ‎∵，。‎ ‎∴，‎ ‎∴。‎ ‎（20）解：‎ ‎（Ⅰ）由题意，是首项为1、公差为2的等差数列，‎ 前项和，，‎ ‎。‎ ‎（Ⅱ）， ，‎ ‎，‎ ‎。‎ ‎（21）解：‎ 由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知 故曲线的方程为 ‎ 设，由题意建立方程组 消去，得 又已知直线与双曲线左支交于两点，有 ‎ 解得 又 ‎ 依题意得 ‎ 整理后得 ‎∴或 但 ∴‎ 故直线的方程为 设，由已知，得 ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴点 将点的坐标代入曲线的方程，得得，‎ 但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 ‎∴，点的坐标为 到的距离为 ‎∴的面积 ‎（22）证明：‎ ‎（Ⅰ）由，得 ‎ ‎ ‎。‎ 而， ①‎ 又，‎ ‎∴。 ②‎ ‎∵，∴。‎ ‎∵，∴。 ③‎ 由①、②、③，得，‎ 即。‎ ‎（Ⅱ）证法一：由，得，‎ ‎∴。‎ 下面证明对任意两个正数、，有 恒成立，‎ 即证成立。‎ ‎∵‎ 设， ，则。‎ 令，得。列表如下：‎ ‎。‎ ‎∴‎ ‎∴对任意两个不等的正数、，恒有。‎ 证法二：由，得，‎ ‎∴。‎ ‎∵、是两个不等的正数 ‎∴。‎ 设， ，则，列表：‎ ‎∴，即。‎ ‎∴。‎ ‎ ‎