人教版高三数学总复习课时作业61

人教版高三数学总复习课时作业61

课时作业61　直线与圆锥曲线的位置关系 一、选择题 ‎1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 解析：由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．‎ 答案：A ‎2．椭圆＋＝1的离心率为e，点(1，e)是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是(　　)‎ A．3x＋2y－4＝0 B．4x＋6y－7＝0‎ C．3x－2y－2＝0 D．4x－6y－1＝0‎ 解析：依题意得e＝，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，)的连线的斜率为＝，所求直线的斜率为－，所以所求直线方程是y－＝－(x－1)．即4x＋6y－7＝0.‎ 答案：B ‎3．直线l过抛物线y2＝8x的焦点，且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则(　　)‎ A．y1·y2＝－64 B．y1·y2＝－8‎ C．x1·x2＝4 D．x1·x2＝16‎ 解析：由抛物线的焦点为F(2,0)，设直线l的方程为my＝x－2，由⇒y2－8my－16＝0，又A(x1，y1)，B(x2，y2)，故y1·y2＝－16，x1·x2＝＝＝4.故选C.‎ 答案：C ‎4．已知直线y＝x与双曲线－＝1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝(　　)‎ A. B. C. D．与P点位置有关 解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则由 得y2＝，y1＋y2＝0，y1y2＝－，x1＋x2＝0，x1x2＝－4×.由kPA·kPB＝·＝ ‎＝＝＝ 知kPA·kPB为定值，选A.‎ 答案：A ‎5．已知A，B为抛物线C：y2＝4x上的两个不同的点，F为抛物线C的焦点，若＝－4，则直线AB的斜率为(　　)‎ A．± B．± C．± D．± 解析：焦点F(1,0)，直线AB的斜率必存在，且不为0.故可设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入y2＝4x中化简得ky2－4y－4k＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，①‎ y1y2＝－4，②‎ 又由＝－4可得y1＝－4y2，③‎ 联立①②③式解得k＝±.‎ 答案：D ‎6．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2相切，则此双曲线的离心率是(　　)‎ A．2 B．3‎ C. D．9‎ 解析：双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，代入抛物线得x＝x2＋2，即x2－x＋2＝0，则Δ＝－8＝0，即b2＝8a2，又b2＝c2－a2＝8a2，所以c2＝9a2，故e＝＝3.‎ 答案：B 二、填空题 ‎7．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．‎ 解析：直线y＝kx＋1过定点(0,1)，‎ 由题意知∴m≥1，且m≠5.‎ 答案：m≥1，且m≠5‎ ‎8．设抛物线x2＝4y的焦点为F，经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则||＋||＝________.‎ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知x1＋x2＝2，且x＝4y1，x＝4y2，两式相减整理得，＝＝，所以直线AB的方程为x－2y＋7＝0.将x＝2y－7代入x2＝4y整理得4y2－32y＋49＝0，所以y1＋y2＝8，又由抛物线定义得||＋||＝y1＋y2＋2＝10.‎ 答案：10‎ ‎9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴，y轴分别交于点A，B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，设|AM|＝e|AB|，则该椭圆的离心率e＝________.‎ 解析：因为点A，B分别是直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴的交点，所以点A，B的坐标分别是，(0，a)．设点M的坐标是(x0，y0)，由|AM|＝e|AB|，得(*)‎ 因为点M在椭圆上，所以＋＝1，将(*)式代入，得＋＝1，整理得，e2＋e－1＝0，解得e＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎10．已知椭圆C1：＋＝1(00)的焦点是椭圆的顶点．‎ ‎(1)求抛物线C2的方程．‎ ‎(2)过点M(－1,0)的直线l与抛物线C2交于E，F两点，过E，F作抛物线C2的切线l1，l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．‎ 解：(1)∵椭圆C1的长半轴长a＝2，半焦距c＝，由e＝＝＝得b2＝1，‎ ‎∴椭圆C1的上顶点为(0,1)，‎ ‎∴抛物线C2的焦点为(0,1)，‎ ‎∴抛物线C2的方程为x2＝4y.‎ ‎(2)由已知可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)．由x2＝4y得y＝x2，∴y′＝x.∴切线l1，l2的斜率分别为x1，x2.‎ 当l1⊥l2时，x1·x2＝－1，即x1x2＝－4.‎ 由得x2－4kx－4k＝0，∴Δ＝(4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0.①‎ 且x1x2＝－4k＝－4，得k＝1，满足①式．‎ ‎∴直线l的方程为x－y＋1＝0.‎ ‎11．已知圆C：(x＋)2＋y2＝16，点A(，0)，Q是圆上一动点，‎ AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E.‎ ‎(1)求轨迹E的方程；‎ ‎(2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A，B，△AOB(O是坐标原点)的面积S＝，求直线AB的方程．‎ 解：(1)由题意|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝4>2，所以轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，‎ 即轨迹E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由题意，直线AB的斜率不可能为0，而直线x＝1也不满足条件，故可设AB的方程为x＝my＋1.‎ 由消去x得(4＋m2)y2＋2my－3＝0，‎ 所以 S＝|OP||y1－y2|＝ ‎＝.‎ 由S＝，解得m2＝1，即m＝±1.‎ 故直线AB的方程为x＝±y＋1，‎ 即x＋y－1＝0或x－y－1＝0为所求．‎ ‎1．对于直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x，k＝±1是直线l与抛物线C有唯一交点的____________条件．(　　)‎ A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 解析：联立方程组消去y并整理得，k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0.‎ 当k＝0时，上式变为－4x＝0，解得x＝0，l与C有唯一交点，‎ 当k≠0时，Δ＝4(k2－2)2－4k4＝0，解得k＝±1.‎ 故k＝±1是直线l与抛物线C有唯一交点的充分不必要条件．‎ 答案：A ‎2．已知椭圆＋＝1的焦点是F1，F2，如果椭圆上一点P满足PF1⊥PF2，则下面结论正确的是(　　)‎ A．P点有两个 B．P点有四个 C．P点不一定存在 D．P点一定不存在 解析：设椭圆的基本量为a，b，c，则a＝5，b＝4，c＝3.以F1F2为直径构造圆，可知圆的半径r＝c＝3<4＝b，即圆与椭圆不可能有交点，所以P点一定不存在．‎ 答案：D ‎3．双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，l1，l2为其渐近线，F为右焦点，过F作l∥l2且l交双曲线C于R，交l1于M，若＝λ，且λ∈，则双曲线的离心率的取值范围为(　　)‎ A．(1，] B．(，)‎ C．(，) D．(，＋∞)‎ 解析：由题意得令l1：y＝－x，l2：y＝x，‎ l：y＝(x－c)，‎ 由l交双曲线C于R，令 解此方程组得R，‎ 故有＝，‎ 由l交l1于M，令 解此方程组得M，故有＝，由＝λ，得＝λ，‎ 所以＝－，整理得a2＝(1－λ)c2，即e2＝，‎ 又λ∈，所以e2∈(2,3)，即e∈(，)．‎ 答案：B ‎4．(2014·福建卷)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.‎ ‎(1)求双曲线E的离心率；‎ ‎(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．‎ 解：(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，所以＝2，所以＝2，故c＝a，‎ 从而双曲线E的离心率e＝＝.‎ ‎(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.‎ 设直线l与x轴相交于点C.‎ 当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，‎ 则|OC|＝a，|AB|＝4a，‎ 又因为△OAB的面积为8，‎ 所以|OC|·|AB|＝8，‎ 因此a·4a＝8，解得a＝2，‎ 此时双曲线E的方程为－＝1.‎ 故存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为－＝1.‎ 以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件．‎ 设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由得y1＝，同理得y2＝，‎ 由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|得，·＝8，即m2＝4|4－k2|＝4(k2－4)．‎ 由得，(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.‎ 因为4－k2<0，所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)，‎ 又因为m2＝4(k2－4)，所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．‎ 因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.‎