高三数学总复习练习第一章 集合与常用逻辑用语
一、重视教材习题的母题功能
你知道高考题是怎样命制的吗？看完本讲内容，洞晓了高考命题的5大常用手段，你就明白了教材经典题目的重要性．你还会陷入“高考高于天，教材放一边”的备考误区吗？
编写本讲的目的，我们旨在提醒您：一轮复习要“抓纲靠本”，“纲”就是考纲，“本”就是课本．要重拾起被遗忘忽视的课本，重温基础知识，重做典型题目，重视教材“母题”的引领作用，发挥教材母题做一当十的功效．
在此，仅以2014年新课标全国卷两套试题为例进行说明，以佐证教材习题的重要性．
教材这样练
《人教A版·必修4》P119 B组
第1题第(4)小题．
已知D，E，F分别是△ABC
的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，＝c，则①＝c－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0中正确的等式的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
高考这样变
(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )
A． B.
C． D.
教材这样练
《人教A版·选修2－1》P69例4.
斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
高考这样变
(2014·新课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )
A. B．6
C．12 D．7
高考这样变
(2014·新课标全国卷Ⅱ)数列{an}满足 an＋1＝， a8＝2，则a1 ＝________.
教材这样练
《人教B版·必修5》P30练习A.
写出下面数列{an}的前5项：
1．a1＝2，an＝an－1(n＝2,3,4,…)；
2．a1＝3，an＝an－1＋2(n＝2,3,4，…)；
3．a1＝1，an＝an－1＋(n＝2,3,4，…)．
教材这样练
《人教A版·必修5》P14例5.
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD(精确到1 m)．
高考这样变
(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.
高考这样变
(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0．若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
教材这样练
《人教A版·必修1》P39B组第3题．
已知函数f(x)是偶函数，而且在(0，＋∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞，0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断．
总之，教材中的例题、习题是经过精心挑选而设计的，它蕴藏着丰富的思想方法和研究资源．不少试题所涉及的思想方法，都源于教材．高考数学一轮复习中，要做到对教材中的经典题目能够熟练地求解，掌握它的通性通法、答题规范、思路分析及知识内涵．研读教材、汲取营养，充分发挥例题、习题潜在的功能，发挥教材“母本”的作用．
为减少考生翻阅教材、查找典型题目之苦，充分发挥我们编者占有广泛教学资源的优势，我们在人教A版、人教B版、北师大版等教材中优中选优地筛选了一些经典题目，做为课前自检基础知识使用，就是充分发挥教材母题的引领带动作用．
二、重视经典题目的发散思维
本讲内容是上一讲内容的顺承和拓展，其主旨还是让学生在做题的过程中学会多思考和多领悟．如果说上一讲是教给学生“做什么”的问题，那么这一讲是教给学生“怎么做”的问题．在平时的复习备考中，做海量试题必不可少，但绝非上策．应当充分发挥典型试题的带动作用和举一反三的功能，注意培养多题一解、一题多解和一题多变思维能力的养成．多题一解有利于培养学生的求同思维，一题多解有利于培养学生的求异思维，一题多变有利于培养学生思维的灵活性与深刻性．
多题一解和一题多解主要靠学生在平时做题的过程中，发挥主观能动性，多思考，多总结，而一题多解则需要教师多找一些典型题目多拓展，多发散，帮学生举一反三、悟通练透．
本书在“一题多变”上主要做了以下两方面的尝试：
(一)经典“题根”的发散
茫茫题海，寻根是岸．木有本，水有源，题有根．在平时的训练中，可将一些经典的题目做为“题根”，在题目发散中，要学会演变题目条件、背景，变换设问，在不断变换的过程中，将此类问题厘清弄透，从一个个小问题中获取大知识，让其“枝繁叶茂”、“生机盎然”，从而彻底打通各知识点间的关节．
示例：利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的方法及注意点
(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．
(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．
(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．
(4)利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.
本题的条件不变，则的最小值为________.
已知各项为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得＝2a1，则＋的最小值为________．
已知a＞0，b＞0，a＋b＝1,则＋的最小值为________．
[解析] ∵a＞0,b＞0,a＋b＝1,
∴＋＝＋＝2＋＋
≥2＋2＝4,即＋的最小值为4,当且仅当a＝b＝时等号成立.
[答案] 4
本题的条件和结论互换，即：已知a＞0，b＞0，＋＝4，则a＋b的最小值为________.
本题的条件变为：已知a＞0，b＞0,
c＞0，
且a＋b＋c＝1，则＋＋的最
小值为________.
若本题条件变为：已知a>0，b>0，a＋2b＝3，
则＋的最小值为________.
(二)考查角度的发散
高考中的一些热门考点，虽知年年必考，但学生往往却在这类考点上失分，究其原因，主要是此类考点考查灵活、角度多变．为将这类考点练深练透，有必要对这类考点进行多维探究．备考不留死角，高考不留遗憾！
角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小
2．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
示例：函数单调性的应用
高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．
函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有：
(1)求函数的值域或最值；
(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；
(3)解函数不等式；
(4)利用单调性求参数的取值范围或值.
角度一、角度二是对函数单调性直接应用的考查
角度三：解函数不等式
3．f(x)是定义在(0,＋∞)上
的单调增函数,满足f(xy)
＝f(x)＋f(y),f(3)＝1,当f(x)
＋f(x－8)≤2时,x的取值
范围是( )
A．(8，＋∞) B．(8,9]
C．[8,9] D．(0,8)
角度一：求函数的值域或最值
1．函数f(x)＝
的最大值为________.
利用函数单调性转变为不等式，体现知识间的交汇
角度四：利用单调性求参数的取值范围或值
4．已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2,都有<0成立,则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，2) B. C．(－∞，2] D.
由单调性求参数范围体现函数单调性的深化
[类题通法] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数．
①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．
第一章 集合与常用逻辑用语
第一节集__合
基础盘查一 元素与集合
(一)循纲忆知
1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．
2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)一个集合中可以找到两个相同的元素( )
(2)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示的是同一集合( )
(3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A( )
(4)零不属于自然数集( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．(人教A版教材练习)选择适当的方法表示下列集合：
(1)由小于8的所有素数组成的集合；
(2)不等式4x－5<3的解集．
答案：(1){2,3,5,7} (2){x|x<2}
基础盘查二 集合间的基本关系
(一)循纲忆知
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
2．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)若A＝B，则A⊆B( )
(2)若AB，则A⊆B且A≠B( )
(3)N*NZ( )
(4)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．(人教A版教材例题改编)集合{a，b}的所有子集为________________．
答案：{a}，{b}，{a，b}，∅
基础盘查三 集合的基本运算
(一)循纲忆知
1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
3．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)若A∩B＝A∩C，则B＝C( )
(2)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素( )
(3)并集定义中的“或”能改为“和”( )
(4)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．(人教A版教材习题改编)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁UB)＝________.
答案：{2,4}
3．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2
0}，则AB为( )
A．{x|02}
解析：选D 因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|12}，故选D.
2.已知数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，aiaj与两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则( )
A．{1,3,4}为“权集”
B．{1,2,3,6}为“权集”
C．“权集”中元素可以有0
D．“权集”中一定有元素1
解析：选B 由于3×4与均不属于数集{1,3,4}，故A不正确，由于1×2,1×3,1×6,2×3，，，，，，都属于数集{1,2,3,6}，故B正确，由“权集”的定义可知需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C，D错误，选B.
[类题通法]
解决集合创新型问题的方法
(1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．
(2)用好集合的性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
[演练冲关]
1．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A．1 B．3
C．7 D．31
解析：选B 具有伙伴关系的元素组是－1；，2，
所以具有伙伴关系的集合有3个：
{－1}，，.
2．对于任意两个正整数m，n，定义运算(用⊕表示运算符号)：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，m⊕n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊕n＝m×n.例如4⊕6＝4＋6＝10,3⊕7＝3＋7＝10,3⊕4＝3×4＝12.在上述定义中，集合M＝{(a，b)|a⊕b＝12，a，b∈N*}的元素有________个．
解析：m，n同奇同偶时有11组：(1,11)，(2,10)，…，(11,1)；m，n一奇一偶时有4组：(1,12)，(12,1)，(3,4)，(4,3)，所以集合M的元素共有15个．
答案：15
一、选择题
1．(2015·广州测试)已知集合A＝，则集合A中的元素个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C ∵∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3，又∵x∈Z，∴x值分别为5,3,1，－1，
故集合A中的元素个数为4，故选C.
2．(2014·江西高考)设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩(∁RB)＝( )
A．(－3,0) B．(－3，－1)
C．(－3，－1] D．(－3,3)
解析：选C 由题意知，A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}，∵B＝{x|－1＜x≤5}，∴∁RB＝{x|x≤－1或x＞5}．
∴A∩(∁RB)＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{x|－3＜x≤－1}．
3．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( )
A．AB B．BA
C．A⊆B D．B⊆A
解析：选B 由题意知A＝{x|y＝}，∴A＝{x|－1≤x≤1}，∴B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，∴BA，故选B.
4．设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．[－1,0] B．(－1,0)
C．(－∞，－1)∪[0,1) D．(－∞，－1]∪(0,1)
解析：选D 因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2＞0}＝{x|－1＜x＜1}，则u＝1－x2∈(0,1]，
所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}，
A∪B＝(－∞，1)，A∩B＝(－1,0]，
故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)，选D.
5．(2015·西安一模)设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 由题中集合可知，集合A表示直线x＋y＝1上的点，集合B表示直线x－y＝3上的点，联立可得A∩B＝{(2，－1)}，M为A∩B的子集，可知M可能为{(2，－1)}，∅，所以满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是2，故选C.
6．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．
其中，正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 因为2 014＝402×5＋4，又因为[4]＝{5n＋4|n∈Z}，所以2 014∈[4]，故①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故②不正确；因为所有的整数Z除以5可得的余数为0,1,2,3,4，所以③正确；若a，b属于同一‘类’，则有a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，所以a－b＝5(n1－n2)∈[0]，反过来，如果a－b∈[0]，也可以得到a，b属于同一“类”，故④正确．故有3个结论正确．
二、填空题
7．已知A＝{0，m,2}，B＝{x|x3－4x＝0}，若A＝B，则m＝________.
解析：由题知B＝{0，－2,2}，A＝{0，m,2}，若A＝B，则m＝－2.
答案：－2
8．(2014·重庆高考)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁UA)∩B＝________.
解析：由题意，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，故∁UA＝{4,6,7,9,10}，所以(∁UA)∩B＝{7,9}．
答案：{7,9}
9．(2015·昆明二模)若集合A＝{x|x2－9x＜0，x∈N*}，B＝，则A∩B中元素的个数为________．
解析：解不等式x2－9x＜0可得0＜x＜9，所以A＝{x|0＜x＜9，x∈N*}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，又∈N*，y∈N* ，所以y可以为1,2,4，所以B＝{1,2,4}，所以A∩B＝B，A∩B中元素的个数为3.
答案：3
10．(2015·南充调研)已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b
的取值范围是________．
解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．
答案：(－∞，－2]
三、解答题
11．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．
(1)9∈(A∩B)；
(2){9}＝A∩B.
解：(1)∵9∈(A∩B)，∴2a－1＝9或a2＝9，
∴a＝5或a＝3或a＝－3.
当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}；
当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，不满足集合元素的互异性；
当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，
所以a＝5或a＝－3.
(2)由(1)可知，当a＝5时，A∩B＝{－4,9}，不合题意，
当a＝－3时，A∩B＝{9}．
所以a＝－3.
12．(2015·福州月考)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．
(1)当m＝－1时，求A∪B；
(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；
(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－20，则方程x2＋x－m＝0有实数根．则其逆否命题为________________________________________________________________________．
答案：若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0
基础盘查二 充分条件与必要条件
(一)循纲忆知
理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件( )
(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立( )
(3)q不是p的必要条件时，“p/⇒q”成立( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．(人教A版教材练习)在下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：x2＝3x＋4，q：x＝；
(2)p：x－3＝0，q：(x－3)(x－4)＝0；
(3)p：b2－4ac≥0(a≠0)，q：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根．
答案：(1)必要 (2)充分 (3)充要
|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
1．四种命题及相互关系
2．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
[提醒] 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．
[题组练透]
1．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )
A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题
B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题
C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题
D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题
解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故选C.
2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．
①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．
解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.
答案：②④
[类题通法]
1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．
2．命题真假的判断方法
(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．
(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．
|(重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
1．充分条件与必要条件的相关概念
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
(2)如果p⇒q，但qp，则p是q的充分不必要条件；
(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；
(4)如果q⇒p，且pq，则p是q的必要不充分条件；
(5)如果pq，且qp，则p是q的既不充分又不必要条件．
2．从集合角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{p(x)}，B＝{q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；
(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；
(6)若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件．
[提醒] 充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．
[典题例析]
1．(2014·浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD.当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．
2．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由q⇒綈p且綈p⇒/ q可得p⇒綈q且綈q⇒/ p，所以p是綈q的充分不必要条件．
[类题通法]
充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法．三种不同的方法各适用于不同的类型，定义法适用于定义、定理判断性问题，而集合法多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断．
[提醒] 区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同．
[演练冲关]
1．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，
q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，
∵AB，
∴p是q的充分不必要条件．
2．(2015·石家庄第一次模拟)若命题p：φ＝＋kπ，k∈Z，命题q：f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p是q的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 当φ＝＋kπ，k∈Z时，f(x)＝±cos ωx是偶函数，所以p是q的充分条件；若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝＋kπ，k∈Z，所以p是q的必要条件，故p是q的充要条件，故选A.
|(题点多变型考点——全面发掘)
[一题多变]
[典型母题]
已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
[解] 由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
当S＝∅时满足S⊆P，则1－m＞1＋m.∴m＜0.
当S≠∅时，则∴0≤m≤3.
综上，可知m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是(－∞，3].
[题点发散1] 本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴∴
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
[题点发散2] 本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，
∵綈P是綈S的必要不充分条件，
∴P⇒S且SP.
∴[－2,10][1－m,1＋m]．
∴或
∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．
[类题通法]
利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验．其思维方式是：
(1)若p是q的充分不必要条件，则p⇒q且qp；
(2)若p是q的必要不充分条件，则pq，且q⇒p；
(3)若p是q的充要条件，则p⇔q.
一、选择题
1．设集合M＝{x|0bc2，则a>b；
②若sin α＝sin β，则α＝β；
③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；
④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．
其中正确命题的序号是________．
解析：对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正确；
对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，所以②错误；
对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，所以③正确；
④显然正确．
答案：①③④
10．已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．
解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，
∵β：|x－1|<1，∴00，a≠1，函数f(x)＝ax－x－a有零点，则綈p：______________________.
解析：全称命题的否定，把全称量词写成存在量词，同时把结论否定．故綈p：∃a>0，a≠1，函数f(x)＝ax－x－a没有零点．
答案：∃a>0，a≠1，函数f(x)＝ax－x－a没有零点
|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
(1)全称命题：含有全称量词(所有、一切、任意、全部、每一个等)的命题，叫做全称命题；“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．
(2)特称命题：含有存在量词(存在一个、至少一个、有些、某些等)的命题，叫做特称命题；“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．
[题组练透]
1．(2015·皖南八校联考)下列命题中，真命题是( )
A．存在x0∈R，sin2＋cos2＝
B．任意x∈(0，π)，sin x>cos x
C．任意x∈(0，＋∞)，x2＋1>x
D．存在x0∈R，x＋x0＝－1
解析：选C 对于A选项：∀x∈R，sin2＋cos2＝1，故A为假命题；对于B选项：存在x＝，sin x＝，cos x＝，sin x0恒成立，C为真命题；对于D选项：x2＋x＋1＝2＋>0恒成立，不存在x0∈R，使x＋x0＝－1成立，故D为假命题．
2．设非空集合A，B满足A⊆B，则以下表述正确的是( )
A．∃x0∈A，x0∈B B．∀x∈A，x∈B
C．∃x0∈B，x0∉A D．∀x∈B，x∈A
解析：选B 根据集合的关系以及全称、特称命题的含义可得B正确．
[类题通法]
全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
[提醒] 不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．
|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，綈p(x0)
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
[题组练透]
1．(2014·天津高考)已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)ex＞1，则綈p为( )
A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1
B．∃x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1
C．∀x＞0，总有(x＋1)ex≤1
D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1
解析：选B “∀x＞0，总有(x＋1)ex＞1”的否定是“∃x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1”．故选B.
2．写出下列命题的否定并判断其真假：
(1)p：不论m取何实数值，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；
(2)p：有的三角形的三条边相等；
(3)p：菱形的对角线互相垂直；
(4)p：∃x0∈N，x－2x0＋1≤0.
解：(1)綈p：存在一个实数m0，使方程x2＋m0x－1＝0没有实数根．
因为该方程的判别式Δ＝m＋4>0恒成立，
故綈p为假命题．
(2)綈p：所有的三角形的三条边不全相等．
显然綈p为假命题．
(3)綈p：有的菱形的对角线不垂直．
显然綈p为假命题．
(4)綈p：∀x∈N，x2－2x＋1>0.
显然当x＝1时，x2－2x＋1>0不成立，
故綈p是假命题．
[类题通法]
全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，
而一般命题的否定只需直接否定结论即可．
[提醒] 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．
|(重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
确定p∧q，p∨q，綈p真假的方法：
p∧q→见假即假，p∨q→见真即真，p与綈p→真假相反．
[典题例析]
(2014·湖南高考)已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析：选C 当x＞y时，－x＜－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．
当x＞y时，x2＞y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．
由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．故选C.
[类题通法]
若要判断一个含有逻辑联结词的命题即复合命题的真假，其步骤如下：
(1)判断复合命题的结构；
(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假；
(3)依据含有“或”、“且”、“非”的命题的真假判断方法，作出判断即可．
[演练冲关]
(2015·唐山统考)已知命题p：∀x∈R，x3＜x4；命题q：∃x0∈R，sin x0－cos x0＝－.则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．綈p∧q
C．p∧綈q D．綈p∧綈q
解析：选B 若x3＜x4，则x＜0或x＞1，∴命题p为假命题；若sin x－cos x＝sin＝－，则x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)，∴命题q为真命题，∴綈p∧q为真命题．
|(题点多变型考点——全面发掘)
[一题多变]
[典型母题]
已知命题p：关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
[解] 由关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，知0＜a＜1；
由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，
知不等式ax2－x＋a＞0的解集为R，
则解得a＞.
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，
所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，
故或
解得a≥1或00.则命题“p∧(綈q)”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③“设a，b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：“设a，b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”．
其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)
解析：在①中，命题p是真命题，命题q也是真命题，故“p∧(綈q)”是假命题是正确的．在②中l1⊥l2⇔a＋3b＝0，所以②不正确．在③中“设a，b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：“设a，b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”正确．
答案：①③
三、解答题
11．已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，求实数a的取值范围．
解：命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；
命题q等价于－≤3，即a≥－12.
由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．
若p真q假，则a＜－12；
若p假q真，则－4＜a＜4.
故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．
12．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0.
q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．
(2)綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：由x2－4ax＋3a2＜0，a＞0得a＜x＜3a，
即p为真命题时，a＜x＜3a，
由得
即2＜x≤3，即q为真命题时2＜x≤3.
(1)a＝1时，p：10时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．
所以，要使函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.
即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．
命题点三 四种命题及其关系 命题指数：☆☆☆
难度：低 题型：选择题、填空题
1．(2013·陕西高考)设z是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2＜0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2＜0
解析：选C 实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，得则b＝0，故选项A为真，同理选项B为真；选项C为假，选项D为真．
2．(2012·湖南高考)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝
解析：选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”.
命题点四 含有逻辑联结词的命题 难度：中、低
命题指数：☆☆☆ 题型：选择题、填空题
1．(2014·辽宁高考)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
解析：选A 如图，若a＝，b＝，c＝，则a·c≠0，命题p为假命题；显然命题q为真命题，所以p∨q为真命题．故选A.
2．(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
解析：选A 綈p：甲没有降落在指定范围；綈q：乙没有降落在指定范围，至少有一位学员没有降落在指定范围，即綈p或綈q发生．故选A.
命题点五 全称量词和存在量词 命题指数：☆☆☆☆
难度：低 题型：选择题
1．(2014·湖北高考)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．∀x∉R，x2≠x B.∀x∈R，x2＝x
C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x
解析：选D 全称命题的否定是特称命题：∃x∈R，x2＝x，选D.
2．(2012·辽宁高考)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p是( )
A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0
D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0
解析：选C 全称命题的否定是特称命题，故选C.
