浙江省省一级重点中学自主招生考试数学模拟试卷

浙江省省一级重点中学自主招生考试数学模拟试卷

‎2012年浙江省省一级重点中学自主招生考试数学模拟试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每题只有一个正确选项，每小题5分，共40分）‎ ‎1．（5分）方程实数根的情况是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 仅有三个不同实根 B．‎ 仅有两个不同实根 ‎　‎ C．‎ 仅有一个不同实根 D．‎ 无实根 考点：‎ 二次函数的图象；反比例函数的图象．216560 ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 原方程有意义，则x≠0，把方程去分母、整理可得，x3﹣2x2+2x﹣1=0，分解因式得（x﹣1）（x2﹣x+1）=0，讨论其根的情况，即可解答．‎ 解答：‎ 解：原方程整理得，‎ x3﹣2x2+2x﹣1=0，‎ ‎∴（x﹣1）（x2﹣x+1）=0，‎ ‎∵方程x2﹣x+1=0，其△＜0，无解，‎ ‎∴x2﹣x+1≠0，‎ ‎∴x﹣1=0，即x=1．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数、反比例函数的性质，主要应用了一元二次方程的根与判别式△的关系．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）将矩形纸片ABCD对折，得折痕MN，再把点B叠在折痕MN上，得折痕AE，若AB=，则折痕AE的长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）．216560 ‎ 分析：‎ 首先由矩形纸片ABCD对折，得折痕MN，推出∠BMN=∠AMN=90°，∠CNM=∠DNM=90°，M为AB的中点，然后根据矩形的性质推出∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，即可推出AD∥MN∥BC，H点为AE的中点，根据翻折变换的性质，结合题意推出AB=AB′=，∠BAE=∠B′AE，∠B=∠EB′A=90°，那么在Rt△AEB′中，AH=EH=B′H，得出∠EAB′=∠HB′A，根据平行线的性质推出∠DAB′=∠HB′A，通过等量代换可推出∠B′AE=∠EAB=B′AD=30°，最后根据特殊角的三角函数值即可推出AE的长度．‎ 解答：‎ 解：如图，设MN和AE交于点H，‎ ‎∵矩形ABCD，‎ ‎∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，‎ ‎∵矩形纸片ABCD对折，得折痕MN，‎ ‎∴∠BMN=∠AMN=90°，∠CNM=∠DNM=90°，M为AB的中点，‎ ‎∴AD∥MN∥BC，H点为AE的中点，‎ ‎∵点B叠在折痕MN上，得折痕AE，AB=，‎ ‎∴AB=AB′=，∠BAE=∠B′AE，∠B=∠EB′A=90°，‎ ‎∴在Rt△AEB′中，AH=EH=B′H，‎ ‎∴∠EAB′=∠HB′A，‎ ‎∵AD∥MN∥BC，‎ ‎∴∠DAB′=∠HB′A，‎ ‎∴∠B′AE=∠EAB=B′AD=30°，‎ ‎∵在Rt△BAE中，AB=，∠BAE=30°，‎ ‎∴AE=2．‎ 故选择B．‎ 点评：‎ 本题运用的知识点较多，主要考查翻折变换的性质，平行线的判定及性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，矩形的性质，中点的性质，特殊角的三角函数值等知识点的综合运用，关键在于熟练运用相关的性质定理推出AH=EH=B′H，∠B′AE=∠EAB=B′AD=30°，运用特殊角的三角函数值认真的进行求解即可．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长分别为、，则∠BAC的度数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎60°‎ B．‎ ‎75°‎ C．‎ ‎60°或45°‎ D．‎ ‎15°或75°‎ 考点：‎ 垂径定理；解直角三角形．216560 ‎ 专题：‎ 分类讨论．‎ 分析：‎ 先根据题意画出图形，分别作AC、AB的垂线，连接OA，再根据锐角三角函数的定义求出∠AOD及∠AOE的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．‎ 解答：‎ 解：①如图1，两弦在圆心的异侧时，过O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接OA，‎ ‎∵AB=，AC=，‎ ‎∴AD=，AE=，‎ 根据直角三角形中三角函数的值可知：sin∠AOD=，‎ ‎∴∠AOD=45°，‎ ‎∵sin∠AOE=，‎ ‎∴∠AOE=60°，‎ ‎∴∠OAD=90°﹣∠AOD=45°，∠OAC=90°﹣∠AOE=30°‎ ‎∴∠BAC=∠OAD+∠OAC=45°+30°=75°；‎ ‎②如图2，当两弦在圆心的同侧时同①可知∠AOD=45°，∠AOE=60°，‎ ‎∴∠AOE=60°，‎ ‎∴∠OAC=90°﹣∠AOE=90°﹣60°=30°，∠OAB=90°﹣∠AOD=90°﹣45°=45°．‎ ‎∴∠BAC=∠OAB﹣∠OAC=45°﹣30°=15°．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查的是垂径定理及勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）如图，一个半径为3的圆O1的圆心经过一个半径为3的圆O2，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎9‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 扇形面积的计算；勾股定理；相交两圆的性质．216560 ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 连接O1O2，O1A，O1B，O2A，O2B，由勾股定理的逆定理得∠O2CA=∠AO2B=90°，则点A、O1、B在同一条直线上，则AB是圆O1的直径，从的得出阴影部分的面积S阴影=S⊙1﹣S弓形AO1B=S⊙1﹣（S扇形AO2B﹣S△AO2B）．‎ 解答：‎ 解：连接O1O2，O1A，O1B，O2A，O2B，‎ ‎∵CO2=CA=3，O2A=，‎ ‎∴CO22+CA2=O2A2，‎ ‎∴∠O2CA=90°，同理∠O2CB=90°，‎ ‎∴点A、C、B在同一条直线上，并且∠AO2B=90°，‎ ‎∴AB是圆O1的直径，‎ ‎∴S阴影=S⊙1﹣S弓形AO1B=S⊙1﹣（S扇形AO2B﹣S△AO2B）‎ ‎=‎ ‎=9．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了扇形面积的计算、勾股定理和相交两圆的性质．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知A，B是两个锐角，且满足，，则实数t所有可能值的和为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎1‎ D．‎ 考点：‎ 根与系数的关系；同角三角函数的关系．216560 ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据公式sin2α+cos2α=1列出关于未知数t的一元二次方程，然后根据根与系数的关系解答．‎ 解答：‎ 解：根据已知，得 ‎，即2=，‎ ‎∴3t2+5t﹣8=0，‎ ‎∴解得t1=1，t2=﹣，‎ 又∵＞0，即t＞0，‎ ‎∴t2=﹣不符合题意舍去，‎ ‎∴t所有可能值的和为1．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查了同角三角函数的关系及根与系数的关系．解答此题的关键是熟练掌握同角三角函数的关系：sin2α+cos2α=1．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）满足（n2﹣n﹣1）n+2=1的整数n有几个（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4个 B．‎ ‎3个 C．‎ ‎2个 D．‎ ‎1个 考点：‎ 一元二次方程的解；零指数幂．216560 ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 因为1的任何次幂为1，﹣1的偶次幂为1，非0数的0次幂为1，所以应分三种情况讨论n的值．‎ 解答：‎ 解：（1）n2﹣n﹣1=1，解得：n=2或n=﹣1；‎ ‎（2），解得：n=0；‎ ‎（3），解得：n=﹣2．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题比较复杂，解答此题时要注意1的任何次幂为1，﹣1的偶次幂为1，非0数的0次幂为1，三种情况，不要漏解．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）如图，双曲线y=（x＞0）与矩形OABC的边BC，BA分别交于点E，F，且AF=BF，连接EF，则△OEF的面积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1.5‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎2.5‎ D．‎ ‎3‎ 考点：‎ 反比例函数综合题．216560 ‎ 分析：‎ 设B（a，b），根据题意得F，由点F在双曲线上，得a×=2，即ab=4，E、B两点纵坐标相等，且E点在双曲线上，则E（，b），再根据S△OEF=S梯形OFBC﹣S△OEC﹣S△FBE求解．‎ 解答：‎ 解：如图，设点B的坐标为（a，b），则点F的坐标为．‎ ‎∵点F在双曲线上，‎ ‎∴a×=2，‎ 解得ab=4，‎ 又∵点E在双曲线上，且纵坐标为b，所以点E的坐标为（，b），则 S△OEF=S梯形OFBC﹣S△OEC﹣S△FBE，‎ ‎=×（+b）a﹣×b×﹣××（a﹣）‎ ‎=（ab+1﹣2）‎ ‎=．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 本题考查了反比例函数图象上点的性质，直角坐标系中三角形面积的表示方法．注意双曲线上点的横坐标与纵坐标的积为常数．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）若实数a，b满足，则a的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a≤﹣2‎ B．‎ a≥4‎ C．‎ a≤﹣2或a≥4‎ D．‎ ‎﹣2≤a≤4‎ 考点：‎ 根的判别式．216560 ‎ 分析：‎ 把看作是关于b的一元二次方程，由△≥0，得关于a的不等式，解不等式即可．‎ 解答：‎ 解：把看作是关于b的一元二次方程，‎ 因为b是实数，所以关于b的一元二次方程 的判别式△≥0，即a2﹣4（a+2）≥0，a2﹣2a﹣8≥0，‎ ‎（a﹣4）（a+2）≥0，‎ 解得a≤﹣2或a≥4．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次不等式的解法．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎9．（4分）若关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是　3＜m≤4　．‎ 考点：‎ 根与系数的关系；三角形三边关系．216560 ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据原方程可知x﹣2=0，和x2﹣4x+m=0，因为关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）=0有三个根，所以x2﹣4x+m=0的根的判别式△＞0，然后再由三角形的三边关系来确定m的取值范围．‎ 解答：‎ 解：∵关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）=0有三个根，‎ ‎∴①x﹣2=0，解得x1=2；‎ ‎②x2﹣4x+m=0，‎ ‎∴△=16﹣4m≥0，即m≤4，‎ ‎∴x2=2+，‎ x3=2﹣，‎ 又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，‎ 且最长边为x2，‎ ‎∴x1+x3＞x2； ‎ 解得3＜m≤4，‎ ‎∴m的取值范围是3＜m≤4．‎ 故答案为：3＜m≤4．‎ 点评：‎ 本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及三角形的三边关系．解答此题时，需注意，三角形任意两边和大于第三边．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）已知：sinα﹣cosα=，则sinαcosα=　　 （0＜α＜90°）‎ 考点：‎ 同角三角函数的关系．216560 ‎ 分析：‎ 对sinα﹣cosα=两边平方，然后根据sin2α+cos2α=1即可求解．‎ 解答：‎ 解：∵sinα﹣cosα=，‎ ‎∴（sinα﹣cosα）2=，‎ ‎∴sin2α﹣2sinαcosα+cos2α=，‎ ‎∵sin2α+cos2α=1‎ ‎∴2sinαcosα=1﹣=．‎ ‎∴sinαcosα=．‎ 点评：‎ 本题主要考查了同角的三角函数的关系，正确理解sin2α+cos2α=1是关键．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）双曲线y=（x＞0）与直线y=x在坐标系中的图象如图所示，点A、B在直线上AC、BD分别平行y轴，交曲线于C、D两点，若BD=2AC 则4OC2﹣OD2的值为　6　．‎ 考点：‎ 反比例函数综合题．216560 ‎ 分析：‎ 根据A，B两点在直线y=x上，分别设A，B两点的坐标为（a，a），（b，b），得到点C的坐标为（a，），点D的坐标为（b，），线段AC=a﹣，线段BD=b﹣，根据BD=2AC，有b﹣=2（a﹣），然后利用勾股定理进行计算求出4OC2﹣OD2的值．‎ 解答：‎ 解：设A（a，a），B（b，b），则C（a，），D（b，），‎ AC=a﹣，BD=b﹣，‎ ‎∵BD=2AC，‎ ‎∴b﹣=2（a﹣），‎ ‎4OC2﹣OD2=4（a2+）﹣（b2+）‎ ‎=4[+2]﹣[+2]‎ ‎=4+8﹣4﹣2‎ ‎=6．‎ 故答案为：6．‎ 点评：‎ 本题考查的是反比例函数综合题，根据直线与反比例函数的解析式，设出点A，B的坐标后可以得到点C，D的坐标，运用勾股定理进行计算求出代数式的值．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知，∠CAO=30°，则c=　　．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．216560 ‎ 分析：‎ 首先利用根与系数的关系求得A，B两点横坐标之间的关系，再进一步结合已知，利用直角三角形的边角关系，把两点横坐标用c表示，由此联立方程解决问题．‎ 解答：‎ 解：如图，‎ 由题意知，点C的坐标为（0，c），OC=c．‎ 设A，B两点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），‎ 则x1，x2是方程x2+bx+c=0的两根，‎ 由根与系数的关系得x1+x2=﹣b，x1x2=c，‎ 又∠CAO=30°，则；‎ 于是，，‎ ‎．‎ 由x1x2=9c2=c，得．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题主要考查二次函数图象与坐标轴交点坐标特点、根与系数的关系以及直角三角形的边角关系解答问题．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是　　cm．‎ 考点：‎ 轴对称-最短路线问题；圆心角、弧、弦的关系．216560 ‎ 专题：‎ 计算题．[来源:学科网]‎ 分析：‎ 作N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，则点P即为所求的点，再根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点可求出∠MON′的值，再由勾股定理即可求出MN′的长．‎ 解答：‎ 解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，则点P即为所求的点，‎ ‎∵M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，‎ ‎∴∠MOB==60°，∠BON′==30°，‎ ‎∴∠MON′=90°，‎ ‎∵AB=10cm，‎ ‎∴OM=ON′=5cm，‎ ‎∴MN′===5cm，即MP+NP的最小值是cm．‎ 故答案为：5．‎ 点评：‎ 本题考查的是最短路线问题及圆心角、弧、弦的关系，根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，求出∠MON′=90°是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）函数y=x+（x＞0）的最小值为　2　．‎ 考点：‎ 函数最值问题．216560 ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 注意到两项的积为定值，且为正数，故考虑利用基本不等式即可解决．‎ 解答：‎ 解：∵y=x+≥2=2，‎ 当且仅当x=，即x=1时，取等号．‎ 故函数y=x+（x＞0）的最小值为2．‎ 故答案为：2．‎ 点评：‎ 此题考查了函数的最值问题，解答本题的关键是掌握不等式的基本性质，及a+b≥2，难度一般．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共56分，解答应写出必要的过程或演算步骤）‎ ‎15．（10分）已知△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=32°，若AD2=BD•CD，求∠ABC的度数．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质．216560 ‎ 专题：‎ 分类讨论．‎ 分析：‎ 根据已知可得到△BDA∽△ADC，注意∠C可以是锐角也可是钝角，故应该分情况进行分析，从而确定∠BCA度数．‎ 解答：‎ 解：分两种情况：（1）当B、C分别位于点D的两侧时（如图1），‎ ‎∵AD2=BD•DC，AD是BC边上的高得，‎ ‎∴△ABD∽△CAD，‎ ‎∴∠B=∠DAC=90°﹣∠C=90°﹣32°=58°；‎ ‎（2）当B、C分别位于点D的同侧时（如图2），‎ ‎∵AD2=BD•DC，AD是BC边上的高得，‎ ‎∴△ABD∽△CAD，‎ ‎∴∠BAD=∠C=32°，‎ ‎∴∠ABC=∠BAD+∠ADB=32°+90°=122°．‎ 点评：‎ 本题考查的是相似三角形的判定与性质，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．‎ ‎　‎ ‎16．（10分）如图，身高1.5米的小亮AB在路灯CD下的影长为1米，当小亮向远离路灯的方向走出1米后，影长变成了2米．求路灯CD的高．‎ 考点：‎ 相似三角形的应用．216560 ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 运用已知条件得出AB∥CD，A′B′∥CD，进而得出相应比例式，得出关于BD，CD的方程，进而求出CD．‎ 解答：‎ 解：根据题意可得：AB∥CD，A′B′∥CD，‎ ‎∵AB=1.5米，BB′=1米，B′E=2米，‎ ‎∴，‎ ‎∴，①‎ ‎∴，‎ ‎∴，②‎ 由①得：‎ ‎2CD﹣1.5BD=4.5，③‎ 由②得：‎ CD﹣1.5BD=1.5，④‎ ‎③﹣④得：CD=3米，‎ 答：路灯CD的高为3米．‎ 点评：‎ 此题主要考查了相似三角形的性质，利用对应变成比例得出比例式，进而求出方程的解是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（10分）如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．‎ 求证：（1）M为BD的中点；‎ ‎（2）．‎ ‎[来源:Z*xx*k.Com]‎ 考点：‎ 圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．216560 ‎ 专题：[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ 证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）要证M为BD的中点，即证BM=DM，由∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN，及圆周角的性质易证明△BAM∽△CBM，△DAM∽△CDM得出比例的乘积形式，可证明BM=DM；‎ ‎（2）欲证，可以通过平行线的性质证明，需要延长AM交圆于点P，连接CP，证明PC∥BD，得出比例式，相应解决MP=CM的问题即可．‎ 解答：‎ 证明：‎ ‎（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA．‎ 又∵∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN，‎ ‎∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM．‎ ‎∴△BAM∽△CBM，‎ ‎∴，即BM2=AM•CM．①‎ 又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，‎ ‎∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，‎ ‎∴△DAM∽△CDM，‎ 则，即DM2=AM•CM．②‎ 由式①、②得BM=DM，‎ 即M为BD的中点．‎ ‎（2）如图，延长AM交圆于点P，连接CP．‎ ‎∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC．‎ ‎∵PC∥BD，‎ ‎∴．③‎ 又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，‎ ‎∴∠ABC=∠MCP．‎ 而∠ABC=∠APC，‎ 则∠APC=∠MCP，‎ 有MP=CM．④‎ 由式③、④得．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的性质，圆周角的性质，是一道较难的题目．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H，四边形CHOK是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分（如图所示）．那么，在上述旋转过程中：‎ ‎（1）线段BH与CK具有怎样的数量关系？四边形CHOK的面积是否发生变化？证明你发现的结论；‎ ‎（2）连接HK，设BH=x．‎ ‎①当△CHK的面积为时，求出x的值．‎ ‎②试问△OHK的面积是否存在最小值，若存在，求出此时x的值，若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 旋转的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质．216560 ‎ 专题：‎ 代数几何综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）连接OC，可以证得：△COK≌△BOH，根据S四边形CHOK=S△COK+S△COH=S△BOH+S△COH=S△COB=S△ABC即可证得：四边形CHOK的面积始终保持不变；‎ ‎（2）①BC=4，CH=4﹣x，三角形的面积公式可以得到：CH•CK=，即（4﹣x）x=3，从而求得x的值；‎ ‎②设△OKH的面积为S，根据三角形的面积公式，即可得到关于x的函数关系式，然后根据函数的性质即可求解．‎ 解答：‎ 解：（1）在旋转过程中，BH=CK，四边形CHOK的面积始终保持不变，其值为△ABC面积的一半．‎ 理由如下：‎ 连接OC ‎∵△ABC为等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，CO⊥AB ‎∴∠OCK=∠B=45°，CO=OB，又∵∠COK与∠BOH均为旋转角，‎ ‎∴∠COK=∠BOH=α ‎∴△COK≌△BOH ‎∴BH=CK，S四边形CHOK=S△COK+S△COH=S△BOH+S△COH=S△COB=S△ABC=4．‎ ‎（2）①由（1）知CK=BH=x，‎ ‎∵BC=4，‎ ‎∴CH=4﹣x，根据题意，得CH•CK=，即（4﹣x）x=3，‎ 解这个方程得x1=1，x2=3，‎ 此两根满足条件：0＜x＜4‎ 所以当△CKH的面积为时，x的取值是1或3；‎ ‎②设△OKH的面积为S，由（1）知四边形CHOK的面积为4，于是得关系式：‎ S=4﹣S△CKH=4﹣x（4﹣x）=（x2﹣4x）+4‎ ‎=（x﹣2）2+2‎ 当x=2时，函数S有最小值2，‎ ‎∵x=2时，满足条件0＜x＜4，‎ ‎∴△OKH的面积存在最小值，此时x的值是2．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形全等的判定与性质，以及二次函数的性质，正确列出函数解析式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）已知二次函数y=x2+bx﹣c的图象经过两点P（1，a），Q（2，10a）．‎ ‎（1）如果a，b，c都是整数，且c＜b＜8a，求a，b，c的值．‎ ‎（2）设二次函数y=x2+bx﹣c的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C．如果关于x的方程x2+bx﹣c=0的两个根都是整数，求△ABC的面积．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．216560 ‎ 分析：‎ ‎（1）代入两点坐标，求得b、c（用a表示），再由已知c＜b＜8a，联立不等式组求得a、b、c的值；‎ ‎（2）设出程x2+bx﹣c=0的两个根，根据根与系数的关系与因式分解求得两根，得出函数解析式，进一步求得图象与x、y轴的交点A、B、C三点解答问题．‎ 解答：‎ 解：点P（1，a）、Q（2，10a）在二次函数y=x2+bx﹣c的图象上，‎ 故1+b﹣c=a，4+2b﹣c=10a，‎ 解得b=9a﹣3，c=8a﹣2；‎ ‎（1）由c＜b＜8a知，‎ 解得1＜a＜3，‎ 又a为整数，所以a=2，b=9a﹣3=15，c=8a﹣2=14；‎ ‎（2）设m，n是方程的两个整数根，且m≤n．‎ 由根与系数的关系可得m+n=﹣b=3﹣9a，mn=﹣c=2﹣8a，‎ 消去a，得9mn﹣8（m+n）=﹣6，‎ 两边同时乘以9，得81mn﹣72（m+n）=﹣54，分解因式，得（9m﹣8）（9n﹣8）=10．‎ 所以或或或，‎ 解得或或或；‎ 又∵m，n是整数，所以后面三组解舍去，‎ 故m=1，n=2．‎ 因此，b=﹣（m+n）=﹣3，c=﹣mn=﹣2，‎ 二次函数的解析式为y=x2﹣3x+2．‎ 易求得点A、B的坐标为（1，0）和（2，0），点C的坐标为（0，2），‎ 所以△ABC的面积为．‎ 点评：‎ 此题主要考查二次函数图象上点的坐标特点、根与系数的关系、不等式组、以及三角形的面积计算公式．‎ ‎　‎ ‎ ‎