数学文卷·2017届山西省全国卷Ⅰ高考压轴卷（2017

数学文卷·2017届山西省全国卷Ⅰ高考压轴卷（2017

绝密★启封前 ‎2017全国卷Ⅰ高考压轴卷 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。‎ 满分150分.考试时间为120分钟 注意事项：‎ ‎ 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。‎ ‎ 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1.已知集合，，则（）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数的共轭复数为，若||＝4，则·＝(　　)‎ ‎（A）4　 （B）2 （C）16 （D）±2‎ ‎3．已知数列是各项为正数的等比数列，点、都在直线上，则数列的前项和为（） A． B． C． D．‎ ‎4齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为( )‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎5.已知函数，则下列不等式中正确的是（）‎ A． B． C．D．‎ ‎6.执行如下图所示的程序框图，如果输入t＝0.1，则输出的n＝（）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎7.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：‎ ‎①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；‎ ‎③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.‎ 其中正确的选项是(　　)‎ A．①③B.②③ C.②③④ D①③④‎ ‎8.设变量，满足则点所在区域的面积为（）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎9.锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足，若，则的取值范围是（）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11. 设数列的前项和为，且，为常数列，则 A. 　　 B. C. 　 D. ‎ ‎12．已知函数f（x）＝－ax有两个零点x1＜x2，则下列说法错误的是 A．a＞e B．x1＋x2＞2‎ C．x1x2＞1 D．有极小值点，且x1＋x2＜2x0‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ ‎　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)‎ ‎13已知，（），则在方向上的投影为 ‎14.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为 ‎15已知抛物线的焦点为,动点在上,圆的半径为,过点的直线与圆切于点,则的最小值为．‎ ‎16设直线与曲线有三个不同的交点A、B、C, 且|AB|=|BC|= ‎,则直线的方程为 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 在右图所示的四边形ABCD中，∠BAD=90°，‎ ‎∠BCD=120°，∠BAC=60°,AC=2, 记∠ABC=θ。‎ ‎ (I)求用含θ的代数式表示DC;‎ ‎(II)求△BCD面积S的最小值．‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 某学校高一、高二、高三三个年级共有300名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层抽样获得了20名教师一周的备课时间，数据如下表（单位：小时）．‎ 高一年级 ‎7‎ ‎7.5‎ ‎8‎ ‎8.5‎ ‎9‎ 高二年级 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 高三年级 ‎6‎ ‎6.5‎ ‎7‎ ‎8.5‎ ‎11‎ ‎13.5‎ ‎17‎ ‎18.5‎ ‎（1）试估计该校高三年级的教师人数；‎ ‎（2）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级班选出的人记为乙，假设所有教师的备课时间相对独立，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率；‎ ‎（3）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是8,9,10（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，试判断与的大小（结论不要求证明）．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，为圆的直径，点在圆上，，矩形所在的平面和圆 所在的平面互相垂直，且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）设的中点为，求三棱锥的体积与多面体的体积之比的值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆和抛物线有公共焦点，的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于两点（其中点在第四象限内）．‎ ‎（1）若，求直线的方程；‎ ‎（2）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 函数，若曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）.‎ ‎（1）若在上存在极值，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：当时，.‎ 请考生在（22）、（23）题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．‎ ‎（1）求曲线C的普通方程；‎ ‎（2）A、B为曲线C上两个点，若OA⊥OB，求的值．‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知，函数的最小值为1.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的最大值.‎ ‎2017全国卷Ⅰ高考压轴卷 文科数学 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A C A D C B B C B D C 部分题目解析及命题分析 ‎3.解析：本题考查等比数列的通项公式与前项和公式．，，∴,,∴,，数列的前项和为，选C．‎ ‎4. 设田忌的上，中，下三个等次马分别为，，，齐王田忌的上，中，下三个等次马分别为，从双方的马匹中随机的选一匹比赛的所有可能有共9种，田忌马获胜有3种，田忌马获胜的概率为.‎ ‎5解析：函数为奇函数，又在上递增，所以为奇函数，又是递增函数，由得，，从而，选D．‎ ‎6.由题意得，根据给定的程序框图可知：‎ 第一次循环：；第二次循环：；‎ 第三次循环：；第三次循环：，‎ 此时跳出循环，所以输出的结果为n＝4，故选C．‎ ‎7.‎ ‎8.　将几何体展开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错．‎ ‎10.解：设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2‎ ‎（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时 ‎|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9，故选B。‎ ‎11. D 由题意知，，当时，，‎ 从而，有，当时上式成立，‎ 所以..‎ ‎12．‎ ‎①当时恒成立R上单增，不符题意 ‎②当时由得当时，‎ 当时，‎ 极小值==得故A正确 又 故B正确 由得 C,D两项互斥。由得令 得图：‎ 不妨取，只需比较与的大小 又 故C不正确 ‎13.由知即，又，所以 ‎，得，即在方向上的投影为，故选D.‎ ‎14.由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：‎ ‎(5.4－x)×3×1＋π·( )2x＝12.6，x=1.6‎ ‎15.. 由抛物线的定义知：为点到准线的距离,易知,抛物线的顶点到准线的距离最短,.‎ ‎16．提示：曲线关于（0,1）中心对称. ‎ ‎（17）解：（Ⅰ）在△ADC中，∠ADC＝360°－90°－120°－θ＝150°－θ， 由正弦定理可得＝，即＝， 于是：DC＝． …5分 ‎（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理得＝，即BC＝，‎ 由（Ⅰ）知：DC＝，‎ 那么S＝＝＝，‎ 故θ＝75°时，S取得最小值6－3． …12分 ‎18.（1）抽出的20位教师中，来自高三年级的有8名，‎ 根据分层抽样方法，高三年级的教师共有（人）‎ ‎（2）设事件为 “甲是现有样本中高一年级中的第个教师”，，‎ 事件“乙是现有样本中高二年级中的第个教师”，，‎ 由题意知：，，‎ 设事件为“该周甲的备课时间比乙的备课时间长”，由题意知，‎ 所 故；‎ ‎（3），，‎ 三组总平均值，‎ 新加入的三个数的平均数为9，比小，‎ 故拉低了平均值，∴．‎ ‎19.（1）证明：∵矩形所在的平面和平面互相垂直，且，∴，‎ 又，所以，又为圆的直径，得，，∴.……………………………………4分 ‎（2）解：设的中点为，连接，则∴，又∵，∴，‎ ‎∴为平行四边形，，又∵，‎ ‎∴.…………………… 6分 显然，四边形为等腰梯形，，因此为边长是1的正三角形.‎ 三棱锥的体积 ‎；………………………………9分 多面体的体积可分成三棱锥与四棱锥的体积之和，‎ 计算得两底间的距离.所以，‎ ‎,‎ 所以，∴.………………12分 ‎20. 解：（1）解法一:由题意得抛物线方程为.‎ 设直线的方程为.‎ 令，，其中. 由,得.‎ 联立，可得,，解得,,‎ .‎ 直线的方程为.‎ ‎ (2)设,直线，点在抛物线上, ‎ 直线的斜率存在, 关于直线对称,所以.解得.‎ 故代入抛物线，可得， .‎ 直线的方程为或.‎ 设椭圆为. 联立直线和椭圆,消去整理得 ，解得.‎ 则，即.椭圆的长轴长的最小值为 ‎21.解：（1）∵‎ 由已知∴得 ………2分 ‎∴‎ 当为增函数；‎ 当时，，为减函数。‎ ‎∴是函数的极大值点 ………4分 又在上存在极值 ‎∴即 故实数的取值范围是 ………5分 即为 ………6分 令 则 再令则 ‎∵∴∴在上是增函数 ‎∴∴‎ ‎∴在上是增函数 ‎∴时，故 ………9分 令 则 ‎∵∴∴即上是减函数 ‎∴时， ………11分 所以，即 ………12分 ‎22.【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由得，‎ 将，代入得到曲线C的普通方程是．‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 由OA⊥OB，设，则B点的坐标可设为，‎ 所以．‎ ‎23.解：（Ⅰ）法一：，‎ ‎∵且，‎ ‎∴，当时取等号，即的最小值为，‎ ‎∴，. ‎ 法二：∵，∴，‎ 显然在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴的最小值为，‎ ‎∴，. ‎ ‎（Ⅱ）方法一：∵恒成立，∴恒成立，‎ 当时，取得最小值，‎ ‎∴，即实数的最大值为.‎ 方法二：∵恒成立，∴恒成立，‎ 恒成立，‎ ‎∴，即实数的最大值为.‎ 方法三：∵恒成立，∴恒成立，‎ ‎∴恒成立，∴，‎ ‎∴，实数的最大值为