数学卷·2017届云南师大附中高三上学期月考数学试卷（理科）（2） （解析版）

数学卷·2017届云南师大附中高三上学期月考数学试卷（理科）（2） （解析版）

‎2016-2017学年云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（2）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．设集合A={x|x2≤7}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎2．在复平面内，复数对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．设x∈R，向量，且，则=（　　）‎ A． B． C．10 D．‎ ‎4．高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在（　　）‎ A．2楼 B．3楼 C．4楼 D．8楼 ‎5．函数的值域为（　　）‎ A． B． C．[﹣2，2] D．[﹣1，1]‎ ‎6．如图所示的程序框图，若f（x）=logπx，g（x）=lnx，输入x=2016，则输出的h（x）=（　　）‎ A．2016 B．2017 C．logπ2016 D．ln2016‎ ‎7．在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，A=，且bcosC=3ccosB，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．函数f（x）的导函数f′（x），对∀x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，若f（2）=e2，则不等式f（x）＞ex的解是（　　）‎ A．（2，+∞） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，ln2）‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．50 B．50.5 C．51.5 D．60‎ ‎10．用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎12．对于函数f（x）=，设f2（x）=f[f（x）]，f3（x）=f[f2（x）]，…，fn+1（x）=f[fn（x）]，（n∈N*，且n≥2）．令集合M={x|f2007（x）=x，x∈R}，则集合M为（　　）‎ A．空集 B．实数集 C．单元素集 D．二元素集 ‎　‎ 二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若x，y∈R，且满足则z=2x+3y的最大值等于　　．‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=5上有且仅有三个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的值是　　．‎ ‎15．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．设Tn=S1+S2+…+Sn，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则T6=　　．‎ ‎16．若α，β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列关系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α2＞β2；⑤α2≤β2‎ 其中正确的序号是：　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．已知数列{an}中，a1=4，an=an﹣1+2n﹣1+3（n≥2，n∈N*）．‎ ‎（1）证明数列{an﹣2n}是等差数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，求bn的前n和Sn．‎ ‎18．如图所示的三棱台中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1=1，AB=2，BC=4，∠ABB1=45°．‎ ‎（1）证明：AB1⊥平面BCC1B1；‎ ‎（2）若点D为CC1中点，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．‎ ‎19．如图所示，小波从A街区开始向右走，在每个十字路口都会遇到红绿灯，要是遇到绿灯则小波继续往前走，遇到红灯就往回走，假设任意两个十字路口的绿灯亮或红灯亮都是相互独立的，且绿灯亮的概率都是，红灯亮的概率都是．‎ ‎（1）求小波遇到4次红绿灯后，处于D街区的概率；‎ ‎（2）若小波一共遇到了3次红绿灯，设此时小波所处的街区与A街区相距的街道数为ξ（如小波若处在A街区则相距零个街道，处在D，E街区都是相距2个街道），求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，m），B为抛物线的准线与x轴的交点，若|AB|=2．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）在抛物线上任取一点P（x0，y0），过点P作两条直线分别与抛物线另外相交于点M和点N，连接MN，若直线PM，PN，MN的斜率都存在且不为零，设其斜率分别为k1，k2，k3，求证：．‎ ‎21．已知函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）ex．‎ ‎（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若a∈（0，2），对于任意x1，x2∈[﹣4，0]，都有恒成立，求m的取值范围．‎ ‎　‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22．已知曲线C的参数方程：（α为参数），曲线C上的点M（1，）对应的参数α=，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点P的极坐标是（，），直线l过点P，且与曲线C交于不同的两点A、B．（1）求曲线C的普通方程；‎ ‎（2）求|PA|•|PB|的取值范围．‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23．设f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）已知p，q，r是正实数，且满足p+q+r=3a，求p2+q2+r2的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（2）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．设集合A={x|x2≤7}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】先求出集合A，从而求出集合A∩Z，由此能求出集合A∩Z中元素的个数．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|x2≤7}={x|﹣}，Z为整数集，‎ ‎∴集合A∩Z={﹣2，﹣1，0，1，2}，‎ ‎∴集合A∩Z中元素的个数是5个．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．在复平面内，复数对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求．‎ ‎【解答】解： ==，‎ 在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．设x∈R，向量，且，则=（　　）‎ A． B． C．10 D．‎ ‎【考点】平面向量的坐标运算．‎ ‎【分析】向量的数量积先求出x的值，再求出向量的模即可．‎ ‎【解答】解：向量，且，‎ ‎∴x﹣2=0，‎ 解得x=2，‎ ‎∴==，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在（　　）‎ A．2楼 B．3楼 C．4楼 D．8楼 ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】同学们总的不满意度y=n+，由此利用基本不等式能求出同学们认为最适宜的教室应在3楼．‎ ‎【解答】解：由题意知同学们总的不满意度y=n+≥2=4，‎ 当且仅当n=，即2≈3时，不满意度最小，‎ ‎∴同学们认为最适宜的教室应在3楼．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．函数的值域为（　　）‎ A． B． C．[﹣2，2] D．[﹣1，1]‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】通过两角差的余弦函数化简函数的表达式，利用两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的值域．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=sinx﹣cos（x﹣）‎ ‎=sinx﹣cosx﹣sinx ‎=sinx﹣cosx ‎=sin（x﹣）．‎ ‎∴函数f（x）=sinx﹣cos（x﹣）的值域为[﹣1，1]．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．如图所示的程序框图，若f（x）=logπx，g（x）=lnx，输入x=2016，则输出的h（x）=（　　）‎ A．2016 B．2017 C．logπ2016 D．ln2016‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据程序框图求出h（x）的解析式即可．‎ ‎【解答】解：x=2016时，f（x）=logπ2016＜g（x）=ln2016，‎ 故h（x）=f（x），‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，A=，且bcosC=3ccosB，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】利用余弦定理将角化边整理得出a，b，c的关系，再使用余弦定理消去a，得到关于b，c的方程，即可解出的值．‎ ‎【解答】解：△ABC中，A=，且bcosC=3ccosB，‎ ‎∴b×=3c×，‎ 即a2=2b2﹣2c2；‎ 又cosA==﹣，‎ ‎∴b2+c2﹣a2+bc=0，‎ ‎∴3c2﹣b2+bc=0，‎ 即﹣（）2++3=0，‎ 解得=或（不合题意，舍去），‎ 即的值为．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．函数f（x）的导函数f′（x），对∀x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，若f（2）=e2，则不等式f（x）＞ex的解是（　　）‎ A．（2，+∞） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，ln2）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】构造函数g（x）=‎ ‎，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（ln2）=2，求得g（ln2）=1，继而求出答案 ‎【解答】解：∵∀x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，‎ ‎∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（）′＞0，‎ 令g（x）=，则有g（x）在R上单调递增，‎ ‎∵不等式f（x）＞ex，‎ ‎∴g（x）＞1，‎ ‎∵f（2）=e2，‎ ‎∴g（2）==1，‎ ‎∴x＞2，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．50 B．50.5 C．51.5 D．60‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算．‎ ‎【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：‎ 三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，‎ 三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，‎ ‎∵AB⊥平面BEFC，‎ ‎∴AB⊥BC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5‎ ‎∴几何体的表面积S=×3×4+×3×5+（5+2）×4+（5+2）×5+3×5=60．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】设圆柱的高为x，则其为内接矩形的一边长，那么另一边长为y=2，利用导数性质求出当x=时，此圆柱体积最大．由此能求出圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比．‎ ‎【解答】解：设圆柱的高为x，则其为内接矩形的一边长，那么另一边长为y=2，‎ ‎∴圆柱的体积V（X）=πy2x==π（﹣x3+4R2x），（0＜x＜2R），‎ ‎∴V′（x）=π（﹣3x2+4R2），‎ 列表如下：‎ x ‎（0，）‎ ‎（，2R）‎ V′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎∴当x=时，此圆柱体积最大．‎ ‎∴圆柱体体积最大时，该圆内接矩形的两条边长分别为和2=，‎ ‎∴圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为：‎ ‎=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=，解之可得λμ的值，由λμ=，可得a，c的关系，由离心率的定义可得．‎ ‎【解答】解：双曲线的渐近线为：y=±，设焦点F（c，0），则 A（c，），B（c，﹣），P（c，），‎ 因为=λ+μ 所以（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），‎ 所以λ+μ=1，λ﹣μ=，‎ 解得：λ=，μ=，‎ 又由，得：，‎ 解得：，‎ 所以，e=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．对于函数f（x）=，设f2（x）=f[f（x）]，f3（x）=f[f2（x）]，…，fn+1（x）=f[fn（x）]，（n∈N*，且n≥2）．令集合M={x|f2007（x）=x，x∈R}，则集合M为（　　）‎ A．空集 B．实数集 C．单元素集 D．二元素集 ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】先验证前几个函数的表达式，找出同期再计算求值即可．‎ ‎【解答】解：由题设可知f2（x）=﹣，f3（x）=﹣，f4（x）=x，‎ f5（x）=，f6（x）=﹣，f7（x）=f3（x）=﹣，‎ 故从f5（x）开始组成了一个以f（x）为首项，以周期为4重复出现一列代数式，‎ 由2007=3+501×4得f2007（x）=f3（x），故﹣=x整理得，x2=﹣1，无解，‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若x，y∈R，且满足则z=2x+3y的最大值等于　15　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得B（3，3），‎ 化目标函数z=2x+3y为y=﹣x+，‎ 由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×3+3×3=15．‎ 故答案为：15．‎ ‎　‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=5上有且仅有三个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的值是　　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由题意画出图形，把圆x2+y2=5上有且仅有三个点到直线12x﹣5y+‎ c=0的距离为1转化为原点到直线12x﹣5y+c=0的距离为，再由点到直线的距离公式得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 由题意可知，原点到直线12x﹣5y+c=0的距离为．‎ 由点到直线的距离公式可得：，‎ ‎∴c=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．设Tn=S1+S2+…+Sn，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则T6=　160.5　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等比数通项公式及等差中项性质，列出方程组，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．‎ 设Tn=S1+S2+…+Sn，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ T6=16++++‎ ‎+=160.5．‎ 故答案为：160.5．‎ ‎　‎ ‎16．若α，β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列关系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α2＞β2；⑤α2≤β2‎ 其中正确的序号是：　④　．‎ ‎【考点】三角函数线．‎ ‎【分析】构造函数f（x）=xsinx，x∈[﹣，]，利用奇偶函数的定义可判断其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx可判断f（x）=xsinx，x∈[0，]，与x∈[﹣，0]上的单调性，从而可选出正确答案．‎ ‎【解答】解：令f（x）=xsinx，x∈[﹣，]，‎ ‎∵f（﹣x）=﹣x•sin（﹣x）=x•sinx=f（x），‎ ‎∴f（x）=xsinx，x∈[﹣，]为偶函数．‎ 又f′（x）=sinx+xcosx，‎ ‎∴当x∈[0，]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，]单调递增；‎ 同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈[﹣，0]单调递减；‎ ‎∴当0≤|β|＜|α|≤时，f（α）＞f（β），即αsinα﹣βsinβ＞0，反之也成立，‎ ‎∴α2＞β2．‎ 故答案为④．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．已知数列{an}中，a1=4，an=an﹣1+2n﹣1+3（n≥2，n∈N*）．‎ ‎（1）证明数列{an﹣2n}是等差数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，求bn的前n和Sn．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用已知条件转化推出是以2为首项，3为公差的等差数列，然后求解通项公式．‎ ‎（2）化简bn=，然后利用错位相减法求和求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）证明：当n≥2时，，‎ ‎∴，‎ 又a1=4，∴a1﹣2=2，‎ 故是以2为首项，3为公差的等差数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2），‎ ‎∴=，‎ 令，①‎ 则，②‎ ‎①﹣②得：，‎ ‎==，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎18．如图所示的三棱台中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1=1，AB=2，BC=4，∠‎ ABB1=45°．‎ ‎（1）证明：AB1⊥平面BCC1B1；‎ ‎（2）若点D为CC1中点，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）过点B1作B1N⊥AB．说明△BNB1为等腰直角三角形，证明AB1⊥BB1．AA1⊥BC．AB⊥BC，推出BC⊥平面ABB1A1，得到BC⊥AB1，然后证明AB1⊥平面BCC1B1．‎ ‎（2）建立空间直角坐标系A﹣xyz．如图，求出平面ABD的一个法向量．平面BCC1B1的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．‎ ‎【解答】（1）证明：如图，过点B1作B1N⊥AB．‎ ‎∵∠B1BN=45°，‎ 故△BNB1为等腰直角三角形，‎ ‎∴B1N=BN=1，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴AB1⊥BB1．‎ 又∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC．‎ 又AB⊥BC，且AB∩AA1=A，‎ ‎∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB1，‎ 又∵BC∩BB1=B，‎ ‎∴AB1⊥平面BCC1B1．‎ ‎（2）解：如图，建立空间直角坐标系A﹣xyz．‎ ‎∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），B1（1，0，1），C1（1，2，1），∴‎ ‎，‎ ‎∴，．‎ 由（1）知，平面BCC1B1的一个法向量为．‎ 设平面ABD的一个法向量为，‎ 则即 令y=1，则∴，．‎ 故二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎19．如图所示，小波从A街区开始向右走，在每个十字路口都会遇到红绿灯，要是遇到绿灯则小波继续往前走，遇到红灯就往回走，假设任意两个十字路口的绿灯亮或红灯亮都是相互独立的，且绿灯亮的概率都是，红灯亮的概率都是．‎ ‎（1）求小波遇到4次红绿灯后，处于D街区的概率；‎ ‎（2）若小波一共遇到了3次红绿灯，设此时小波所处的街区与A街区相距的街道数为ξ（如小波若处在A街区则相距零个街道，处在D，E街区都是相距2个街道），求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（1）设小波遇到4次绿灯之后处于D街区为事件A，则事件A共有三个基本事件，由此能求出小波遇到4次绿灯后，处于D街区的概率．‎ ‎（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ分布列和数学期望．‎ ‎【解答】解：（1）设小波遇到4次红绿灯之后处于D街区为事件A，‎ 则事件A共有三个基本事件，‎ 即四次遇到的红绿灯情况分别为{红红绿绿，绿红红绿，绿绿红红}．‎ 故．‎ ‎（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴．‎ ‎　‎ ‎20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，m），B为抛物线的准线与x轴的交点，若|AB|=2．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）在抛物线上任取一点P（x0，y0），过点P作两条直线分别与抛物线另外相交于点M和点N，连接MN，若直线PM，PN，MN的斜率都存在且不为零，设其斜率分别为k1，k2，k3，求证：．‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】（1）求出A的坐标，利用|AB|=2，求出p，即可求抛物线的方程；‎ ‎（2）求出M，N的坐标，确定相应的斜率，即可证明结论．‎ ‎【解答】（1）解：，，‎ ‎∵，代入解得：p=2或p=﹣14（舍去），‎ 所以抛物线的方程为y2=4x．‎ ‎（2）证明：设点M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 因为点P（x0，y0）在抛物线y2=4x上，所以，‎ 故直线PM的方程为，‎ 由得，‎ 此方程的两个根分别为y=y0，y=y1，，‎ ‎∴，，，‎ 同理可得．，化简得，‎ 故，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）ex．‎ ‎（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若a∈（0，2），对于任意x1，x2∈[﹣4，0]，都有恒成立，求m的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；根据函数的单调性求出f（x）的最大值，问题转化为m＞（e﹣2+1）恒成立，令g（x）=，x∈（0，2），根据函数的单调性求出m的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=（x2﹣x﹣1）ex，‎ ‎∴f′（x）=（x2+x﹣2）ex，‎ 当f′（x）=（x2+x﹣2）ex＞0时，解得x＞1或x＜﹣2，函数单调递增，‎ 当f′（x）=（x2+x﹣2）ex＜0时，解得﹣2＜x＜1，函数单调递减，‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上为增函数，在（﹣2，1）上为减函数；‎ ‎（2）f′（x）=（x+2）（x﹣a）ex，‎ ‎ a∈（0，2）时，f（x）在（﹣4，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）单调递减，‎ 所以f（x）max=f（﹣2）=（a+4）e﹣2，f（﹣4）=（3a+16）e﹣4＞﹣a=f（0），‎ 故|f（x1）﹣f（x2）|max=|f（﹣2）﹣f（0）|=a（e﹣2+1）+4e﹣2，‎ ‎|f（x1）﹣f（x2）|＜4e﹣2+mea恒成立，即a（e﹣2+1）+4e﹣2＜4e﹣2+mea恒成立，‎ 即m＞（e﹣2+1）恒成立，‎ 令g（x）=，x∈（0，2），易知g（x）在其定义域上有最大值g（1）=，‎ 所以m＞．‎ ‎　‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22．已知曲线C的参数方程：（α为参数），曲线C上的点M（1，）对应的参数α=，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点P的极坐标是（，），直线l过点P，且与曲线C交于不同的两点A、B．（1）求曲线C的普通方程；‎ ‎（2）求|PA|•|PB|的取值范围．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（I）由椭圆参数方程可得 ‎，解得a，b．可得曲线C的参数方程，化为直角坐标方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，可化为极坐标方程．‎ ‎（II）写出直线l的参数方程，代入曲线C的方程，利用根与系数的关系可得：|PA|•|PB|=﹣t1t2，进而得出．‎ ‎【解答】解：（I）由椭圆参数方程可得，解得a=，b=1．∴曲线C的参数方程为，其直角坐标方程为：，可得ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ=2．‎ ‎（II）点P的极坐标是（，）化为直角坐标为（0，），直线l的参数方程为，代入曲线C的方程可得：（1+sin2θ）t2+4sinθt+2=0，‎ ‎∴|PA|•|PB|=﹣t1t2=∈[1，2]‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23．设f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）已知p，q，r是正实数，且满足p+q+r=3a，求p2+q2+r2的最小值．‎ ‎【考点】绝对值三角不等式；分段函数的应用．‎ ‎【分析】（1）分类讨论，求出函数的最小值，即可求a；‎ ‎（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，即可求p2+q2+r2的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）x≤﹣2时，f（x）=﹣x﹣1≥2；‎ ‎﹣2＜x＜0时，f（x）=﹣x+1∈（1，2）；‎ x≥0时，f（x）=x+1≥1‎ ‎∴f（x）的最小值为1，即a=1；‎ ‎（2）由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，‎ ‎∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2‎ ‎=（p+q+r）2=32=9，‎ 即p2+q2+r2≥3，∴p2+q2+r2的最小值为3．‎