数学文·陕西省西安七十中2017届高三上学期10月月考数学试卷（文科）+Word版含解析

数学文·陕西省西安七十中2017届高三上学期10月月考数学试卷（文科）+Word版含解析

‎2016-2017学年陕西省西安七十中高三（上）10月月考数学试卷 （文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共十二个小题，每小题5分，每小题只有一个正确答案）‎ ‎1．已知集合P={y=x2+1}，Q={y|y=x2+1}，E={x|y=x2+1}，F={（x，y）|y=x2+1}，G={x|x≥1}，则（　　）‎ A．P=F B．Q=E C．E=F D．Q=G ‎2．已知集合A={≤0，x∈N}，B={x|≤2，x∈Z}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎3．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为，命题q：函数y=cosx的图象关于直线x=对称，则下列判断正确的是（　　）‎ A．p为真 B．q为真 C．p∧q为假 D．p∨q为真 ‎5．函数f（x）=+的定义域为（　　）‎ A．（﹣3，0] B．（﹣3，1] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0] D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1]‎ ‎6．已知f（x）为R上的减函数，则满足f（||）＜f（1）的实数x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）‎ ‎7．如图，已知正四棱锥S﹣ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE=x（0＜x＜1），截面下面部分的体积为V（x），则函数y=V（x）的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．24‎ ‎8．点P在曲线y=x3﹣x+上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（　　）Z A．[0，] B．[0，）∪[，π） C．[，π） D．（，]n ‎9．已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（　　）r A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）H ‎10．函数是R上的减函数，则a的取值范围是（　　）O A．（0，1） B． C． D．b ‎11．4cos50°﹣tan40°=（　　）0‎ A． B． C． D．2﹣1G ‎12．给出下列结论：z ‎①当a＜0时， =a3；C ‎②=|a|（n＞1，n∈N，n为偶数）；P ‎③函数f（x）=﹣（3x﹣7）0的定义域是{x|x≥2且x≠；u ‎④若2x=16，3y=，则x+y=7．1‎ 其中正确的是（　　）C A．①② B．②③ C．③④ D．②④/‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题题5分，共20分）O ‎13．计算：|1+lg0.001|++lg6﹣lg0.02=　　．T ‎14．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为　　．7‎ ‎15．设集合A={（x，y）|（x﹣4）2+y2=1}，B={（x，y）|（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1}，如果命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，则实数a的取值范围是　　．A ‎16．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=　　．O ‎　‎ 三、解答题（17题10分，18到22每小题10分）j ‎17．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣（2m+1）x+2m＜0}．w ‎（1）当m＜时，求集合B；=‎ ‎（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．=‎ ‎18．已知命题p：方程2x2+ax﹣a2=0在[﹣1，1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x02+2ax+2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求a的取值范围．‎ ‎19．已知函数f（x）=（2cos2x﹣1）sin 2x+cos 4x．‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期及最大值；‎ ‎（2）若α∈（，π），且f（α）=，求α的值．‎ ‎20．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在区间[﹣2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f（x）=x}．‎ ‎（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；‎ ‎（2）若A={1}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．‎ ‎21．已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数．‎ ‎（1）证明：f（x）是R上的偶函数；‎ ‎（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论．‎ ‎22．已知函数f（x）=axsinx+cosx，且f（x）在x=处的切线斜率为．‎ ‎（1）求a的值，并讨论f（x）在[﹣π，π]上的单调性；‎ ‎（2）设函数g（x）=ln（mx+1）+，x≥0，其中m＞0，若对任意的x1∈[0，+∞）总存在x2∈[0，]，使得g（x1）≥f（x2）成立，求m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年陕西省西安七十中高三（上）10月月考数学试卷 （文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共十二个小题，每小题5分，每小题只有一个正确答案）‎ ‎1．已知集合P={y=x2+1}，Q={y|y=x2+1}，E={x|y=x2+1}，F={（x，y）|y=x2+1}，G={x|x≥1}，则（　　）‎ A．P=F B．Q=E C．E=F D．Q=G ‎【考点】集合的相等．‎ ‎【分析】弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．‎ ‎【解答】解：∵P={y=x2+1}是单元素集，集合中的元素是y=x2+1，‎ Q={y|y=x2+1≥1}={y|y≥1}，‎ E={x|y=x2+1}=R，‎ F={（x，y）|y=x2+1}，集合中的元素是点坐标，‎ G={x|x≥1}．‎ ‎∴Q=G．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．已知集合A={≤0，x∈N}，B={x|≤2，x∈Z}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法．‎ ‎【分析】通过解分式不等式求出好A，无理不等式求出集合B，通过满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数即可．‎ ‎【解答】解：∵={1，2}‎ ‎={0，1，2，3，4}，‎ 因为A⊆C⊆B，所以C中元素个数至少有1，2；至多为：0，1，2，3，4；‎ 所以集合C的个数为{0，3，4}子集的个数：23=8．‎ 故选D．‎ ‎　6558764‎ ‎3．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．‎ ‎【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．‎ ‎【解答】解：∵¬p是q的必要而不充分条件，‎ ‎∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，‎ 其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，‎ 则p是¬q的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎　6558764‎ ‎4．设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为，命题q：函数y=cosx的图象关于直线x=对称，则下列判断正确的是（　　）‎ A．p为真 B．q为真 C．p∧q为假 D．p∨q为真 ‎【考点】三角函数的周期性及其求法；余弦函数的对称性．‎ ‎【分析】由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．‎ ‎【解答】解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p是假命题；‎ 函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题．‎ 结合复合命题的判断规则知：p∧q为假命题，p∨q为是假命题．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．函数f（x）=+的定义域为（　　）‎ A．（﹣3，0] B．（﹣3，1] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0] D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1]‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】从根式函数入手，根据负数不能开偶次方根及分母不为0求解结果，然后取交集．‎ ‎【解答】解：根据题意：，‎ 解得：﹣3＜x≤0‎ ‎∴定义域为（﹣3，0]‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．已知f（x）为R上的减函数，则满足f（||）＜f（1）的实数x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）‎ ‎【考点】函数单调性的性质．‎ ‎【分析】由函数的单调性可得||与1的大小，转化为解绝对值不等式即可．‎ ‎【解答】解：由已知得解得﹣1＜x＜0或0＜x＜1，‎ 故选C ‎　‎ ‎7．如图，已知正四棱锥S﹣ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE=x（0＜x＜1），截面下面部分的体积为V（x），则函数y=V（x）的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．6558764‎ ‎【考点】函数的图象与图象变化．‎ ‎【分析】由题意可知截面下面部分的体积为V（x），不是SE的线性函数，可采用排除法，排除C，D，进一步可排除B，于是得答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知截面下面部分的体积为V（x），不是SE=x的线性函数，可采用排除法，排除C，D；‎ 又当截面为BDE，即x=时，V（x）=，当侧棱SC上的点E从SC的中点向点C移动时，V（x）越来越小，故排除B；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．点P在曲线y=x3﹣x+上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（　　）‎ A．[0，] B．[0，）∪[，π） C．[，π） D．（，]‎ ‎【考点】导数的几何意义．‎ ‎【分析】根据导数的几何意义可知切线的斜率即为该点处的导数，再根据导数的取值范围求出斜率的范围，最后再根据斜率与倾斜角之间的关系k=tanα，求出α的范围即可．‎ ‎【解答】解：∵tanα=3x2﹣1，‎ ‎∴tanα∈[﹣1，+∞）．‎ 当tanα∈[0，+∞）时，α∈[0，）；‎ 当tanα∈[﹣1，0）时，α∈[，π）．‎ ‎∴α∈[0，）∪[，π）‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（　　）‎ A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）‎ ‎【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图象与性质．‎ ‎【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．‎ ‎【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，‎ 不妨设a＜b＜c，则 ab=1，‎ 则abc=c∈（10，12）．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．函数是R上的减函数，则a的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B． C． D．‎ ‎【考点】函数单调性的性质．‎ ‎【分析】先根据函数y=﹣x+3a在（﹣∞，0）是减函数，再根据函数y=ax在[0，+∞）上是减函数，最后只要使y=﹣x+3a的最小值大于或等于y=ax的最小值即可．‎ ‎【解答】解：由题意可得f（x）=ax是减函数 ‎∴0＜a＜1‎ 又∵是R上的减函数 ‎∴当x=0时3a≥a0‎ 即3a≥1‎ ‎∴a 又∵0＜a＜1‎ ‎∴‎ ‎∴a的取值范围是 ‎　‎ ‎11．4cos50°﹣tan40°=（　　）‎ A． B． C． D．2﹣1‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用；二倍角的正弦．‎ ‎【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．‎ ‎【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=‎ ‎==‎ ‎===．‎ 故选C ‎　‎ ‎12．给出下列结论：‎ ‎①当a＜0时， =a3；‎ ‎②=|a|（n＞1，n∈N，n为偶数）；‎ ‎③函数f（x）=﹣（3x﹣7）0的定义域是{x|x≥2且x≠；‎ ‎④若2x=16，3y=，则x+y=7．‎ 其中正确的是（　　）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．②④‎ ‎【考点】有理数指数幂的运算性质；函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】根据a的取值判定①②的正误，求出定义域判定③，求出x的值判定④，最后确定结果．‎ ‎【解答】解：∵a＜0时，＞0，a3＜0，∴①错；‎ ‎②显然正确；‎ 解，得x≥2且x≠，∴③正确；‎ ‎∵2x=16，∴x=4，∵3y==3﹣3，∴y=﹣3，‎ ‎∴x+y=4+（﹣3）=1，∴④错．故②③正确．‎ 故选B ‎　‎ 二、填空题（每小题题5分，共20分）‎ ‎13．计算：|1+lg0.001|++lg6﹣lg0.02=　6　．‎ ‎【考点】对数的运算性质．‎ ‎【分析】根据对数的运算法则进行计算即可．‎ ‎【解答】解：|1+lg0.001|++lg6﹣lg0.02=|1﹣3|++lg6﹣lg2+3=2+|lg3﹣2|+lg+2=2+2﹣lg3+lg3+2=6．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为　（1，2）　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，利用数形结合即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，‎ 作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，‎ 当a≤0，不满足条件，‎ ‎∴a＞0，‎ 当a≥2时，此时y=a|x|与f（x）有三个 交点，‎ 当a=1时，‎ 当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣5x﹣4，‎ 由f（x）=﹣x2﹣5x﹣4=﹣x 得x2+4x+4=0，‎ 则判别式△=16﹣4×4=0，‎ 即此时直线y=﹣x与f（x）相切，‎ 此时y=a|x|与f（x）有五个交点，‎ ‎∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，6558764‎ 则1＜a＜2，‎ 故答案为：（1，2）‎ ‎　‎ ‎15．设集合A={（x，y）|（x﹣4）2+y2=1}，B={（x，y）|（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1}，如果命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎【考点】特称命题．‎ ‎【分析】首先要将条件进行转化，即命题P：A∩B≠空集为假命题，再结合集合A、B的特征利用数形结合即可获得必要的条件，解不等式组即可获得问题的解答．‎ ‎【解答】解：∵A={（x，y）|（x﹣4）2+y2=1}，表示平面坐标系中以M（4，0）为圆心，半径为1的圆，‎ B={（x，y）|（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1}，表示以N（t，at﹣2）为圆心，半径为1的圆，且其圆心N在直线ax﹣y﹣2=0上，如图．‎ 如果命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，即两圆有公共点，则圆心M到直线ax﹣y﹣2=0的距离不大于2，‎ 即，解得0≤a≤．‎ ‎∴实数a的取值范围是；‎ 故答案为：．6558764‎ ‎　6558764‎ ‎16．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=　　．‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，‎ 则f（）+f（）‎ ‎=f（8﹣）+f（8﹣）‎ ‎=f（﹣）+f（﹣）‎ ‎=﹣f（）﹣f（）‎ ‎=‎ ‎==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（17题10分，18到22每小题10分）‎ ‎17．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣（2m+1）x+2m＜0}．‎ ‎（1）当m＜时，求集合B；‎ ‎（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】子集与交集、并集运算的转换．‎ ‎【分析】x2﹣（2m+1）x+2m＜0⇔（x﹣1）（x﹣2m）＜0，‎ ‎（1）由m＜知，2m＜1，从而确定集合B；‎ ‎（2）由A∪B=A，可知B⊆A，又∵A={x|﹣1≤x≤2}，讨论集合B即可．‎ ‎【解答】解：∵不等式x2﹣（2m+1）x+2m＜0⇔（x﹣1）（x﹣2m）＜0．‎ ‎（1）当m＜时，2m＜1，∴集合B={x|2m＜x＜1}．‎ ‎（2）若A∪B=A，则B⊆A，∵A={x|﹣1≤x≤2}，‎ ‎①当m＜时，B={x|2m＜x＜1}，此时﹣1≤2m＜1⇒﹣≤m＜；‎ ‎②当m=时，B=Ø，有B⊆A成立；‎ ‎③当m＞时，B={x|1＜x＜2m}，此时1＜2m≤2⇒＜m≤1；‎ 综上所述，所求m的取值范围是﹣≤m≤1．‎ ‎　‎ ‎18．已知命题p：方程2x2+ax﹣a2=0在[﹣1，1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x02+2ax+2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】首先求出命题p与q的等价命题，再根据命题“p∨q”是假命题求解即可．6558764‎ ‎【解答】解：由2x2+ax﹣a2=0，得（2x﹣a）（x+a）=0，∴x=或x=﹣a，‎ ‎∴当命题p为真命题时，||≤1或|﹣a|≤1，∴|a|≤2．即p⇔﹣2≤a≤2‎ 又“只有一个实数x0满足不等式x+2ax0+2a≤0”，‎ 即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点，‎ ‎∴△=4a2﹣8a=0，∴a=0或a=2．‎ 即q⇔a=0或a=2．‎ ‎∴命题“p∨q”为真命题时，|a|≤2．‎ ‎∵命题“p∨q”为假命题，∴a＞2或a＜﹣2．‎ 即a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=（2cos2x﹣1）sin 2x+cos 4x．‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期及最大值；‎ ‎（2）若α∈（，π），且f（α）=，求α的值．‎ ‎【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦函数以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求f（x）的最小正周期，利用三角函数的最值求出函数的最大值；‎ ‎（Ⅱ）通过，且，求出α的正弦值，然后求出角即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为 ‎=‎ ‎=‎ ‎∴T==，‎ 函数的最大值为：．‎ ‎（Ⅱ）∵f（x）=，，‎ 所以，‎ ‎∴，k∈Z，‎ ‎∴，又∵，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎20．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在区间[﹣2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f（x）=x}．‎ ‎（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；‎ ‎（2）若A={1}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．‎ ‎【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．‎ ‎【分析】（1）由f（0）=2得到c的值，集合A的方程可变为f（x）﹣x=0，因为A={1，2}，得到1，2是方程的解，根据韦达定理即可求出a和b，把a、b、c代入得到f（x）的解析式，在[﹣2，2]上根据函数的图象可知m和M的值．‎ ‎（2）由集合A={1}，得到方程f（x）﹣x=0有两个相等的解都为1，根据韦达定理求出a，b，c的关系式，根据a大于等于1，利用二次函数求最值的方法求出在[﹣2，2]上的m和M，代入g（a）=m+M中得到新的解析式g（a）=9a﹣﹣1，根据g（a）的在[1，+∞）上单调增，求出g（a）的最小值为g（1），求出值即可．‎ ‎【解答】解：（1）由f（0）=2可知c=2，‎ 又A={1，2}，故1，2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的两实根．‎ ‎∴，解得a=1，b=﹣2‎ ‎∴f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，‎ 因为x∈[﹣2，2]，根据函数图象可知，当x=1时，‎ f（x）min=f（1）=1，即m=1；‎ 当x=﹣2时，f（x）max=f（﹣2）=10，即M=10．‎ ‎（2）由题意知，方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两相等实根x1=x2=1，‎ 根据韦达定理得到：，即，‎ ‎∴f（x）=ax2+bx+c=ax2+（1﹣2a）x+a，x∈[﹣2，2]其对称轴方程为x==1﹣‎ 又a≥1，故1﹣‎ ‎∴M=f（﹣2）=9a﹣2‎ m=‎ 则g（a）=M+m=9a﹣﹣1‎ 又g（a）在区间[1，+∞）上为单调递增的，∴当a=1时，g（a）min=‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数．‎ ‎（1）证明：f（x）是R上的偶函数；‎ ‎（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；‎ ‎（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；‎ ‎（3）构造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=ex+e﹣x，‎ ‎∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；‎ ‎（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，‎ 即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴ex+e﹣x﹣1＞0，‎ 即m≤在（0，+∞）上恒成立，‎ 设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，‎ ‎∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，‎ ‎∴m．‎ ‎（3）令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），‎ 则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），‎ 当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，‎ 故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，‎ 由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，‎ 故e+﹣2a＜0，‎ 即a＞（e+），‎ 令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，‎ 则h′（x）=1﹣，‎ 由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，‎ 当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，‎ 当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，‎ ‎∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），‎ 注意到h（1）=h（e）=0，‎ ‎∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，‎ 当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，‎ ‎∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．‎ ‎①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1＜ae﹣1，‎ ‎②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1，‎ ‎③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=axsinx+cosx，且f（x）在x=处的切线斜率为．‎ ‎（1）求a的值，并讨论f（x）在[﹣π，π]上的单调性；‎ ‎（2）设函数g（x）=ln（mx+1）+，x≥0，其中m＞0，若对任意的x1∈[0，+∞）总存在x2∈[0，]，使得g（x1）≥f（x2）成立，求m的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求a的值，并讨论f（x）在[﹣π，π]上的单调性；‎ ‎（2）设函数g（x）=ln（mx+1）+，x≥0，其中m＞0，若对任意的x1∈[0，+∞）总存在x2∈[0，]，使得g（x1）≥f（x2）成立，则g（x1）min≥f（x2）min成立，即g（x1）min≥1即可．‎ ‎【解答】解：（1）函数的导数为f′（x）=asinx+axcosx﹣sinx，‎ 在f（x）在x=处的切线斜率k=f′（）=asin+a×cos﹣sin=+=．‎ 即（1﹣a）=﹣（1﹣a），则1﹣a=0，解得a=1．‎ 即f（x）=xsinx+cosx，‎ 则f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，‎ 由f′（x）＞0得xcosx＞0，即或，即0＜x＜或者﹣π＜x＜，此时函数单调递增，‎ 由f′（x）＜0得xcosx＜0，即或，即＜x＜π或者＜x＜0，此时函数单调递减；‎ ‎（2）当x2∈[0，]时，由（1）可知函数f（x）单调递增，则f（0）≤f（x2）≤f（），‎ 即1≤f（x2）≤，‎ 设函数g（x）=ln（mx+1）+，x≥0，其中m＞0，若对任意的x1∈[0，+∞）总存在x2∈[0，]，使得g（x1）≥f（x2）成立，‎ 则g（x1）min≥f（x2）min成立，即g（x1）min≥1即可．‎ g′（x）=﹣＞0，则mx2＞2﹣m，‎ 若m≥2时，g′（x）＞0恒成立，g（x）在[0，+∞）上递增，∴f（x）的最小值为f（0）=1；‎ 若0＜m＜2，则x＞，g′（x）＞0恒成立，g（x）在（，+∞）上递增，在（0，）上递减，‎ ‎∴g（x）在x=处取得最小值g（）＜g（0）=1，‎ ‎∴m≥2，g（x）最小值为1‎ ‎∴m的取值范围是m≥2．‎ ‎　‎ ‎2016年11月14日