2018年四川省攀枝花市中考数学试卷

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文档介绍

2018年四川省攀枝花市中考数学试卷

‎2018年四川省攀枝花市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 ‎1.(3分)下列实数中,无理数是(  )‎ A.0 B.﹣2 C. D.‎ ‎2.(3分)下列运算结果是a5的是(  )‎ A.a10÷a2 B.(a2)3 C.(﹣a)5 D.a3•a2‎ ‎3.(3分)如图,实数﹣3、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q,这四个数中绝对值最小的数对应的点是(  )‎ A.点M B.点N C.点P D.点Q ‎4.(3分)如图,等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上,若a∥b,∠1=30°,则∠2的度数为(  )‎ A.30° B.15° C.10° D.20°‎ ‎5.(3分)下列平面图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是(  )‎ A.菱形 B.等边三角形 C.平行四边形 D.等腰梯形 ‎6.(3分)抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为(  )‎ A.(1,1) B.(﹣1,1) C.(1,3) D.(﹣1,3)‎ ‎7.(3分)若点A(a+1,b﹣2)在第二象限,则点B(﹣a,1﹣b)在(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎8.(3分)布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球,搅匀后从中摸出一个球,放回搅匀,再摸出第二个球,两次都摸出白球的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.(3分)如图,点A的坐标为(0,1),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作Rt△ABC,使∠BAC=90°,∠ACB=30°,设点B的横坐标为x,点C的纵坐标为y,能表示y与x的函数关系的图象大致是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.(3分)如图,在矩形ABCD中,E是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处,折痕为EC,连结AP并延长AP交CD于F点,连结CP并延长CP交AD于Q点.给出以下结论:‎ ‎①四边形AECF为平行四边形;‎ ‎②∠PBA=∠APQ;‎ ‎③△FPC为等腰三角形;‎ ‎④△APB≌△EPC.‎ 其中正确结论的个数为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.‎ ‎11.(4分)分解因式:x3y﹣2x2y+xy=   .‎ ‎12.(4分)如果a+b=2,那么代数式(a﹣)÷的值是   .‎ ‎13.(4分)样本数据1,2,3,4,5.则这个样本的方差是   .‎ ‎14.(4分)关于x的不等式﹣1<x≤a有3个正整数解,则a的取值范围是   .‎ ‎15.(4分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD,则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为   .‎ ‎16.(4分)如图,已知点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,作Rt△ABC,边BC在x轴上,点D为斜边AC的中点,连结DB并延长交y轴于点E,若△BCE的面积为4,则k=   .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.(6分)解方程:﹣=1.‎ ‎18.(6分)某校为了预测本校九年级男生毕业体育测试达标情况,随机抽取该年级部分男生进行了一次测试(满分50分,成绩均记为整数分),并按测试成绩m(单位:分)分成四类:A类(45<m≤50),B类(40<m≤45),C类(35<m≤40),D类(m≤35)绘制出如图所示的两幅不完整的统计图,请根据图中信息解答下列问题:‎ ‎(1)求本次抽取的样本容量和扇形统计图中A类所对的圆心角的度数;‎ ‎(2)若该校九年级男生有500名,D类为测试成绩不达标,请估计该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有多少名?‎ ‎19.(6分)攀枝花市出租车的收费标准是:起步价5元(即行驶距离不超过2千米都需付5元车费),超过2千米以后,每增加1千米,加收1.8元(不足1千米按1千米计).某同学从家乘出租车到学校,付了车费24.8元.求该同学的家到学校的距离在什么范围?‎ ‎20.(8分)已知△ABC中,∠A=90°.‎ ‎(1)请在图1中作出BC边上的中线(保留作图痕迹,不写作法);‎ ‎(2)如图2,设BC边上的中线为AD,求证:BC=2AD.‎ ‎21.(8分)如图,在平面直角坐标系中,A点的坐标为(a,6),AB⊥x轴于点B,cos∠OAB═,反比例函数y=的图象的一支分别交AO、AB于点C、D.延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E.已知点D的纵坐标为.‎ ‎(1)求反比例函数的解析式;‎ ‎(2)求直线EB的解析式;‎ ‎(3)求S△OEB.‎ ‎22.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E,过点D作DF⊥AC于点F.‎ ‎(1)若⊙O的半径为3,∠CDF=15°,求阴影部分的面积;‎ ‎(2)求证:DF是⊙O的切线;‎ ‎(3)求证:∠EDF=∠DAC.‎ ‎23.(12分)如图,在△ABC中,AB=7.5,AC=9,S△ABC=.动点P从A点出发,沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动,动点Q从C点同时出发,以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动,当点P运动到B点时,P、Q两点同时停止运动,以PQ为边作正△PQM(P、Q、M按逆时针排序),以QC为边在AC上方作正△QCN,设点P运动时间为t秒.‎ ‎(1)求cosA的值;‎ ‎(2)当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=S△QCN时,求t的值;‎ ‎(3)当t为何值时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.‎ ‎24.(12分)如图,对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,与y轴交于C点,且+=﹣.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)抛物线顶点为D,直线BD交y轴于E点;‎ ‎①设点P为线段BD上一点(点P不与B、D两点重合),过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F,求△BDF面积的最大值;‎ ‎②在线段BD上是否存在点Q,使得∠BDC=∠QCE?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2018年四川省攀枝花市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 ‎1.(3分)下列实数中,无理数是(  )‎ A.0 B.﹣2 C. D.‎ ‎【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.‎ ‎【解答】解:0,﹣2,是有理数,‎ 是无理数,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)下列运算结果是a5的是(  )‎ A.a10÷a2 B.(a2)3 C.(﹣a)5 D.a3•a2‎ ‎【分析】根据同底数幂的乘法、除法以及幂的乘方计算判断即可.‎ ‎【解答】解:A、a10÷a2=a8,错误;‎ B、(a2)3=a6,错误;‎ C、(﹣a)5=﹣a5,错误;‎ D、a3•a2=a5,正确;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)如图,实数﹣3、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q,这四个数中绝对值最小的数对应的点是(  )‎ A.点M B.点N C.点P D.点Q ‎【分析】‎ 先相反数确定原点的位置,再根据点的位置确定绝对值最大的数即可解答.‎ ‎【解答】解:∵实数﹣3,x,3,y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q,‎ ‎∴原点在点M与N之间,‎ ‎∴这四个数中绝对值最小的数对应的点是点N,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)如图,等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上,若a∥b,∠1=30°,则∠2的度数为(  )‎ A.30° B.15° C.10° D.20°‎ ‎【分析】由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD=60°,即可得出∠2的度数.‎ ‎【解答】解:如图所示:‎ ‎∵△ABC是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠BAC=90°,∠ACB=45°,‎ ‎∴∠1+∠BAC=30°+90°=120°,‎ ‎∵a∥b,‎ ‎∴∠ACD=180°﹣120°=60°,‎ ‎∴∠2=∠ACD﹣∠ACB=60°﹣45°=15°;‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)下列平面图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是(  )‎ A.菱形 B.等边三角形 C.平行四边形 D.等腰梯形 ‎【分析】根据中心对称图形,轴对称图形的定义进行判断.‎ ‎【解答】解:A、菱形既是中心对称图形,也是轴对称图形,故本选项正确;‎ B、等边三角形不是中心对称图形,是轴对称图形,故本选项错误;‎ C、平行四边形是中心对称图形,不是轴对称图形,故本选项错误;‎ D、等腰梯形不是中心对称图形,是轴对称图形,故本选项错误.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为(  )‎ A.(1,1) B.(﹣1,1) C.(1,3) D.(﹣1,3)‎ ‎【分析】把函数解析式整理成顶点式形式,然后写出顶点坐标即可.‎ ‎【解答】解:∵y=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,‎ ‎∴顶点坐标为(1,1).‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)若点A(a+1,b﹣2)在第二象限,则点B(﹣a,1﹣b)在(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【分析】直接利用第二象限横纵坐标的关系得出a,b的符号,进而得出答案.‎ ‎【解答】解:∵点A(a+1,b﹣2)在第二象限,‎ ‎∴a+1<0,b﹣2>0,‎ 解得:a<﹣1,b>2,‎ 则﹣a>1,1﹣b<﹣1,‎ 故点B(﹣a,1﹣b)在第四象限.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球,搅匀后从中摸出一个球,放回搅匀,再摸出第二个球,两次都摸出白球的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果,可求得两次都摸到白球的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.‎ ‎【解答】解:画树状图得:‎ 则共有9种等可能的结果,两次都摸到白球的有4种情况,‎ ‎∴两次都摸到白球的概率为,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)如图,点A的坐标为(0,1),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作Rt△ABC,使∠BAC=90°,∠ACB=30°,设点B的横坐标为x,点C的纵坐标为y,能表示y与x的函数关系的图象大致是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】‎ 利用相似三角形的性质与判定得出y与x之间的函数关系式进而得出答案.‎ ‎【解答】解:如图所示:过点C作CD⊥y轴于点D,‎ ‎∵∠BAC=90°,‎ ‎∴∠DAC+∠OAB=90°,‎ ‎∵∠DCA+∠DAC=90°,‎ ‎∴∠DCA=∠OAB,‎ 又∵∠CDA=∠AOB=90°,‎ ‎∴△CDA∽△AOB,‎ ‎∴===tan30°,‎ 则=,‎ 故y=x+1(x>0),‎ 则选项C符合题意.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)如图,在矩形ABCD中,E是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处,折痕为EC,连结AP并延长AP交CD于F点,连结CP并延长CP交AD于Q点.给出以下结论:‎ ‎①四边形AECF为平行四边形;‎ ‎②∠PBA=∠APQ;‎ ‎③△FPC为等腰三角形;‎ ‎④△APB≌△EPC.‎ 其中正确结论的个数为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【分析】①根据三角形内角和为180°易证∠PAB+∠PBA=90°,易证四边形AECF是平行四边形,即可解题;‎ ‎②根据平角定义得:∠APQ+∠BPC=90°,由正方形可知每个内角都是直角,再由同角的余角相等,即可解题;‎ ‎③根据平行线和翻折的性质得:∠FPC=∠PCE=∠BCE,∠FPC≠∠FCP,且∠PFC是钝角,△FPC不一定为等腰三角形;‎ ‎④当BP=AD或△BPC是等边三角形时,△APB≌△FDA,即可解题.‎ ‎【解答】解:①如图,EC,BP交于点G;‎ ‎∵点P是点B关于直线EC的对称点,‎ ‎∴EC垂直平分BP,‎ ‎∴EP=EB,‎ ‎∴∠EBP=∠EPB,‎ ‎∵点E为AB中点,‎ ‎∴AE=EB,‎ ‎∴AE=EP,‎ ‎∴∠PAB=∠PBA,‎ ‎∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°,即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2(∠PAB+∠PBA)=180°,‎ ‎∴∠PAB+∠PBA=90°,‎ ‎∴AP⊥BP,‎ ‎∴AF∥EC;‎ ‎∵AE∥CF,‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形,‎ 故①正确;‎ ‎②∵∠APB=90°,‎ ‎∴∠APQ+∠BPC=90°,‎ 由折叠得:BC=PC,‎ ‎∴∠BPC=∠PBC,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°,‎ ‎∴∠ABP=∠APQ,‎ 故②正确;‎ ‎③∵AF∥EC,‎ ‎∴∠FPC=∠PCE=∠BCE,‎ ‎∵∠PFC是钝角,‎ 当△BPC是等边三角形,即∠BCE=30°时,才有∠FPC=∠FCP,‎ 如右图,△PCF不一定是等腰三角形,‎ 故③不正确;‎ ‎④∵AF=EC,AD=BC=PC,∠ADF=∠EPC=90°,‎ ‎∴Rt△EPC≌△FDA(HL),‎ ‎∵∠ADF=∠APB=90°,∠FAD=∠ABP,‎ 当BP=AD或△BPC是等边三角形时,△APB≌△FDA,‎ ‎∴△APB≌△EPC,‎ 故④不正确;‎ 其中正确结论有①②,2个,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.‎ ‎11.(4分)分解因式:x3y﹣2x2y+xy= xy(x﹣1)2 .‎ ‎【分析】原式提取公因式,再利用完全平方公式分解即可.‎ ‎【解答】解:原式=xy(x2﹣2x+1)=xy(x﹣1)2.‎ 故答案为:xy(x﹣1)2‎ ‎ ‎ ‎12.(4分)如果a+b=2,那么代数式(a﹣)÷的值是 2 .‎ ‎【分析】根据分式的运算法则即可求出答案.‎ ‎【解答】解:当a+b=2时,‎ 原式=•‎ ‎=•‎ ‎=a+b ‎=2‎ 故答案为:2‎ ‎ ‎ ‎13.(4分)样本数据1,2,3,4,5.则这个样本的方差是 2 .‎ ‎【分析】先平均数的公式计算出平均数,再根据方差的公式计算即可.‎ ‎【解答】解:∵1、2、3、4、5的平均数是(1+2+3+4+5)÷5=3,‎ ‎∴这个样本方差为s2=[(1﹣3)2+(2﹣3)2+(3﹣3)2+(4﹣3)2+(5﹣3)‎ ‎2]=2;‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)关于x的不等式﹣1<x≤a有3个正整数解,则a的取值范围是 3≤a<4 .‎ ‎【分析】根据不等式的正整数解为1,2,3,即可确定出正整数a的取值范围.‎ ‎【解答】解:∵不等式﹣1<x≤a有3个正整数解,‎ ‎∴这3个整数解为1、2、3,‎ 则3≤a<4,‎ 故答案为:3≤a<4.‎ ‎ ‎ ‎15.(4分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD,则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为 4 .‎ ‎【分析】首先由S△PAB=S矩形ABCD,得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上,作A关于直线l的对称点E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离.然后在直角三角形ABE中,由勾股定理求得BE的值,即PA+PB的最小值.‎ ‎【解答】解:设△ABP中AB边上的高是h.‎ ‎∵S△PAB=S矩形ABCD,‎ ‎∴AB•h=AB•AD,‎ ‎∴h=AD=2,‎ ‎∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上,如图,作A关于直线l的对称点E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离.‎ 在Rt△ABE中,∵AB=4,AE=2+2=4,‎ ‎∴BE===4,‎ 即PA+PB的最小值为4.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎16.(4分)如图,已知点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,作Rt△ABC,边BC在x轴上,点D为斜边AC的中点,连结DB并延长交y轴于点E,若△BCE的面积为4,则k= 8 .‎ ‎【分析】先根据题意证明△BOE∽△CBA,根据相似比及面积公式得出BO×AB的值即为|k|的值,再由函数所在的象限确定k的值.‎ ‎【解答】解:∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线,‎ ‎∴BD=DC,∠DBC=∠ACB,‎ 又∠DBC=∠EBO,‎ ‎∴∠EBO=∠ACB,‎ 又∠BOE=∠CBA=90°,‎ ‎∴△BOE∽△CBA,‎ ‎∴,即BC×OE=BO×AB.‎ 又∵S△BEC=4,‎ ‎∴BC•EO=4,‎ 即BC×OE=8=BO×AB=|k|.‎ ‎∵反比例函数图象在第一象限,k>0.‎ ‎∴k=8.‎ 故答案是:8.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.(6分)解方程:﹣=1.‎ ‎【分析】方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数6,切勿漏乘不含有分母的项,另外分数线有两层意义,一方面它是除号,另一方面它又代表着括号,所以在去分母时,应该将分子用括号括上.‎ ‎【解答】解:去分母得:3(x﹣3)﹣2(2x+1)=6,‎ 去括号得:3x﹣9﹣4x﹣2=6,‎ 移项得:﹣x=17,‎ 系数化为1得:x=﹣17.‎ ‎ ‎ ‎18.(6分)某校为了预测本校九年级男生毕业体育测试达标情况,随机抽取该年级部分男生进行了一次测试(满分50分,成绩均记为整数分),并按测试成绩m(单位:分)分成四类:A类(45<m≤50),B类(40<m≤45),C类(35<m≤40),D类(m≤35)绘制出如图所示的两幅不完整的统计图,请根据图中信息解答下列问题:‎ ‎(1)求本次抽取的样本容量和扇形统计图中A类所对的圆心角的度数;‎ ‎(2)若该校九年级男生有500名,D类为测试成绩不达标,请估计该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有多少名?‎ ‎【分析】(1)用A类别人数除以其所占百分比可得样本容量,再用360°乘以A类别百分比可得其所对圆心角度数;‎ ‎(2)用总人数乘以样本中达标人数所占百分比可得.‎ ‎【解答】解:(1)本次抽取的样本容量为10÷20%=50,扇形统计图中A类所对的圆心角的度数为360°×20%=72°;‎ ‎(2)估计该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有500×(1﹣)=470名.‎ ‎ ‎ ‎19.(6分)攀枝花市出租车的收费标准是:起步价5元(即行驶距离不超过2千米都需付5元车费),超过2千米以后,每增加1千米,加收1.8元(不足1千米按1千米计).某同学从家乘出租车到学校,付了车费24.8元.求该同学的家到学校的距离在什么范围?‎ ‎【分析】已知该同学的家到学校共需支付车费24.8元,从同学的家到学校的距离为x千米,首先去掉前2千米的费用,从而根据题意列出不等式,从而得出答案.‎ ‎【解答】解:设该同学的家到学校的距离是x千米,依题意:‎ ‎24.8﹣1.8<5+1.8(x﹣2)≤24.8,‎ 解得:12<x≤13.‎ 故该同学的家到学校的距离在大于12小于等于13的范围.‎ ‎ ‎ ‎20.(8分)已知△ABC中,∠A=90°.‎ ‎(1)请在图1中作出BC边上的中线(保留作图痕迹,不写作法);‎ ‎(2)如图2,设BC边上的中线为AD,求证:BC=2AD.‎ ‎【分析】(1)如图1,作BC的垂直平分线得到BC的中点D,从而得到BC边上的中线AD;‎ ‎(2)延长AD到E,使ED=AD,连接EB、EC,如图2,通过证明四边形ABEC为矩形得到AE=BC,从而得到BC=2AD.‎ ‎【解答】(1)解:如图1,AD为所作;‎ ‎(2)证明:延长AD到E,使ED=AD,连接EB、EC,如图2,‎ ‎∵CD=BD,AD=ED,‎ ‎∴四边形ABEC为平行四边形,‎ ‎∵∠CAB=90°,‎ ‎∴四边形ABEC为矩形,‎ ‎∴AE=BC,‎ ‎∴BC=2AD.‎ ‎ ‎ ‎21.(8分)如图,在平面直角坐标系中,A点的坐标为(a,6),AB⊥x轴于点B,cos∠OAB═,反比例函数y=的图象的一支分别交AO、AB于点C、D.延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E.已知点D的纵坐标为.‎ ‎(1)求反比例函数的解析式;‎ ‎(2)求直线EB的解析式;‎ ‎(3)求S△OEB.‎ ‎【分析】(1)利用待定系数法求反比例函数的解析式;‎ ‎(2)根据点A的坐标可求得直线OA的解析式,联立直线OA和反比例函数解析式列方程组可得点E的坐标,再利用待定系数法求BE的解析式;‎ ‎(3)根据三角形的面积公式计算即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵A点的坐标为(a,6),AB⊥x轴,‎ ‎∴AB=6,‎ ‎∵cos∠OAB═=,‎ ‎∴,‎ ‎∴OA=10,‎ 由勾股定理得:OB=8,‎ ‎∴A(8,6),‎ ‎∴D(8,),‎ ‎∵点D在反比例函数的图象上,‎ ‎∴k=8×=12,‎ ‎∴反比例函数的解析式为:y=;‎ ‎(2)设直线OA的解析式为:y=bx,‎ ‎∵A(8,6),‎ ‎∴8b=6,b=,‎ ‎∴直线OA的解析式为:y=x,‎ 则,‎ x=±4,‎ ‎∴E(﹣4,﹣3),‎ 设直线BE的解式为:y=mx+n,‎ 把B(8,0),E(﹣4,﹣3)代入得:,‎ 解得:,‎ ‎∴直线BE的解式为:y=x﹣2;‎ ‎(3)S△OEB=OB•|yE|=×8×3=12.‎ ‎ ‎ ‎22.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E,过点D作DF⊥AC于点F.‎ ‎(1)若⊙O的半径为3,∠CDF=15°,求阴影部分的面积;‎ ‎(2)求证:DF是⊙O的切线;‎ ‎(3)求证:∠EDF=∠DAC.‎ ‎【分析】(1)连接OE,过O作OM⊥AC于M,求出AE、OM的长和∠AOE的度数,分别求出△AOE和扇形AOE的面积,即可求出答案;‎ ‎(2)连接OD,求出OD⊥DF,根据切线的判定求出即可;‎ ‎(3)连接BE,求出∠FDC=∠EBC,∠FDC=∠EDF,即可求出答案.‎ ‎【解答】(1)解:‎ 连接OE,过O作OM⊥AC于M,则∠AMO=90°,‎ ‎∵DF⊥AC,‎ ‎∴∠DFC=90°,‎ ‎∵∠FDC=15°,‎ ‎∴∠C=180°﹣90°﹣15°=75°,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴∠ABC=∠C=75°,‎ ‎∴∠BAC=180°﹣∠ABC∠C=30°,‎ ‎∴OM=OA==,AM=OM=,‎ ‎∵OA=OE,OM⊥AC,‎ ‎∴AE=2AM=3,‎ ‎∴∠BAC=∠AEO=30°,‎ ‎∴∠AOE=180°﹣30°﹣30°=120°,‎ ‎∴阴影部分的面积S=S扇形AOE﹣S△AOE=﹣=3π﹣;‎ ‎(2)证明:连接OD,‎ ‎∵AB=AC,OB=OD,‎ ‎∴∠ABC=∠C,∠ABC=∠ODB,‎ ‎∴∠ODB=∠C,‎ ‎∴AC∥OD,‎ ‎∵DF⊥AC,‎ ‎∴DF⊥OD,‎ ‎∵OD过O,‎ ‎∴DF是⊙O的切线;‎ ‎(3)证明:连接BE,‎ ‎∵AB为⊙O的直径,‎ ‎∴∠AEB=90°,‎ ‎∴BE⊥AC,‎ ‎∵DF⊥AC,‎ ‎∴BE∥DF,‎ ‎∴∠FDC=∠EBC,‎ ‎∵∠EBC=∠DAC,‎ ‎∴∠FDC=∠DAC,‎ ‎∵A、B、D、E四点共圆,‎ ‎∴∠DEF=∠ABC,‎ ‎∵∠ABC=∠C,‎ ‎∴∠DEC=∠C,‎ ‎∵DF⊥AC,‎ ‎∴∠EDF=∠FDC,‎ ‎∴∠EDF=∠DAC.‎ ‎ ‎ ‎23.(12分)如图,在△ABC中,AB=7.5,AC=9,S△ABC=.动点P从A点出发,沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动,动点Q从C点同时出发,以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动,当点P运动到B点时,P、Q两点同时停止运动,以PQ为边作正△PQM(P、Q、M按逆时针排序),以QC为边在AC上方作正△QCN,设点P运动时间为t秒.‎ ‎(1)求cosA的值;‎ ‎(2)当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=S△QCN时,求t的值;‎ ‎(3)当t为何值时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.‎ ‎【分析】(1)如图1中,作BE⊥AC于E.利用三角形的面积公式求出BE,利用勾股定理求出AE即可解决问题;‎ ‎(2)如图2中,作PH⊥AC于H.利用S△PQM=S△QCN构建方程即可解决问题;‎ ‎(3)分两种情形①如图3中,当点M落在QN上时,作PH⊥AC于H.②如图4中,当点M在CQ上时,作PH⊥AC于H.分别构建方程求解即可;‎ ‎【解答】解:(1)如图1中,作BE⊥AC于E.‎ ‎∵S△ABC=•AC•BE=,‎ ‎∴BE=,‎ 在Rt△ABE中,AE==6,‎ ‎∴coaA===.‎ ‎(2)如图2中,作PH⊥AC于H.‎ ‎∵PA=5t,PH=3t,AH=4t,HQ=AC﹣AH﹣CQ=9﹣9t,‎ ‎∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+(9﹣9t)2,‎ ‎∵S△PQM=S△QCN,‎ ‎∴•PQ2=וCQ2,‎ ‎∴9t2+(9﹣9t)2=×(5t)2,‎ 整理得:5t2﹣18t+9=0,‎ 解得t=3(舍弃)或.‎ ‎∴当t=时,满足S△PQM=S△QCN.‎ ‎(3)①如图3中,当点M落在QN上时,作PH⊥AC于H.‎ 易知:PM∥AC,‎ ‎∴∠MPQ=∠PQH=60°,‎ ‎∴PH=HQ,‎ ‎∴3t=(9﹣9t),‎ ‎∴t=.‎ ‎②如图4中,当点M在CQ上时,作PH⊥AC于H.‎ 同法可得PH=QH,‎ ‎∴3t=(9t﹣9),‎ ‎∴t=,‎ 综上所述,当t=s或s时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.‎ ‎ ‎ ‎24.(12分)如图,对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,与y轴交于C点,且+=﹣.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)抛物线顶点为D,直线BD交y轴于E点;‎ ‎①设点P为线段BD上一点(点P不与B、D两点重合),过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F,求△BDF面积的最大值;‎ ‎②在线段BD上是否存在点Q,使得∠BDC=∠QCE?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【分析】(1)应用对称轴方程、根与系数关系求b,c ‎(2)①设出点P坐标表示△BDF面积,求最大值;‎ ‎②利用勾股定理逆定理,证明∠BDC=90°,则QC⊥y轴,问题可解.‎ ‎【解答】解:(1)∵抛物线对称轴为直线x=1‎ ‎∴﹣‎ ‎∴b=2‎ 由一元二次方程根与系数关系:‎ x1+x2=﹣,x1x2=‎ ‎∴+==﹣‎ ‎∴﹣‎ 则c=﹣3‎ ‎∴抛物线解析式为:y=x2﹣2x﹣3‎ ‎(2)由(1)点D坐标为(1,﹣4)‎ 当y=0时,x2﹣2x﹣3=0‎ 解得x1=﹣1,x2=3‎ ‎∴点B坐标为(3,0)‎ ‎①设点F坐标为(a,b)‎ ‎∴△BDF的面积S=×(4﹣b)(a﹣1)+(﹣b)(3﹣a)﹣×2×4‎ 整理的S=2a﹣b﹣6‎ ‎∵b=a2﹣2a﹣3‎ ‎∴S=2a﹣(a2﹣2a﹣3)﹣6=﹣a2+4a﹣3‎ ‎∵a=﹣1<0‎ ‎∴当a=2时,S最大=﹣4+8﹣3=1‎ ‎②存在 由已知点D坐标为(1,﹣4),点B坐标为(3,0)‎ ‎∴直线BD解析式为:y=2x﹣6‎ 则点E坐标为(0,﹣6)‎ 连BC、CD,则由勾股定理 CB2=(3﹣0)2+(﹣3﹣0)2=18‎ CD2=12+(﹣4+3)2=2‎ BD2=(﹣4)2+(3﹣1)2=20‎ ‎∴CB2+CD2=BD2‎ ‎∴∠BDC=90°‎ ‎∵∠BDC=∠QCE ‎∴∠QCE=90°‎ ‎∴点Q纵坐标为﹣3‎ 代入﹣3=2x﹣6‎ ‎∴x=‎ ‎∴存在点Q坐标为(,﹣3)‎ ‎ ‎
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