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文档介绍
2012年长沙 (2)中考数学试卷
2012年长沙中考数学试卷解析 一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的. 1.﹣3相反数是( ) A. B. ﹣3 C. ﹣ D. 3 解答: 解:﹣3相反数是3. 故选D. 2.下列平面图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 解答: 解:A、是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项正确; B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误; C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误; D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误. 故选A. 3.甲、乙两学生在军训打靶训练中,打靶的总次数相同,且所中环数的平均数也相同,但甲的成绩比乙的成绩稳定,那么两者的方差的大小关系是( ) A. < B. > C. = D. 不能确定 解答: 解:根据方差的意义知,射击成绩比较稳定,则方差较小, ∵甲的成绩比乙的成绩稳定, ∴有:S甲2<S乙2. 故选A. 4.一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示,则下列符合条件的不等式组为( ) A. B. C. D. 解答: 解:由图示可看出,从﹣1出发向右画出的折线且表示﹣1的点是实心圆,表示x≥﹣1; 从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆,表示x<2,所以这个不等式组的解集为﹣1≤x<2,即:. 故选:C. 5.下列四边形中,两条对角线一定不相等的是( ) A. 正方形 B. 矩形 C. 等腰梯形 D. 直角梯形 解答: 解:根据正方形、矩形、等腰梯形的性质,它们的两条对角线一定相等,只有直角梯形的对角线一定不相等. 故选D. 6.下列四个角中,最有可能与70°角互补的是( ) A. B. C. D. 解答: 解:70°角的补角=180°﹣70°=110°,是钝角, 结合各选项,只有D选项是钝角, 所以,最有可能与70°角互补的是D选项的角. 故选D. 7.小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶,但行至中途时,自行车出了故障,只好停下来修车,车修好后,因怕耽误上课,他比修车前加快了速度继续匀速行驶,下面是行驶路程s(m)关于时间t(min)的函数图象,那么符合小明行驶情况的大致图象是( ) A. B. C. D. 解答: 解:小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶,正常匀速行驶的路程、时间图象是一条过原点O的斜线, 修车时自行车没有运动,所以修车时的路程保持不变是一条平行于横坐标的水平线, 修车后为了赶时间,他比修车前加快了速度继续匀速行驶,此时的路程、时间图象仍是一条斜线,只是斜线的倾角变大. 因此选项A、B、D都不符合要求. 故选C. 8.已知:菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E,AD=6cm,则OE的长为( ) A. 6cm B. 4cm C. 3cm D. 2cm 解答: 解:∵四边形ABCD是菱形, ∴OB=OD,CD=AD=6cm, ∵OE∥DC, ∴BE=CE, ∴OE=CD=3cm. 故选C. 9.某闭合电路中,电源的电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象,则用电阻R表示电流I的函数解析式为( ) A. B. C. D. 解答: 解:设I=,那么点(3,2)适合这个函数解析式,则k=3×2=6, ∴I=. 故选C. 10.现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解答: 解:四条木棒的所有组合:3,4,7和3,4,9和3,7,9和4,7,9; 只有3,7,9和4,7,9能组成三角形. 故选B. 二、填空题(本题共8个小题,每小题3分,共24分) 11.已知函数关系式:y=,则自变量x的取值范围是 x≥1 . 解答: 解:根据题意得,x﹣1≥0, 解得x≥1. 故答案为:x≥1. 12.如图,在△ABC中,∠A=45°,∠B=60°,则外角∠ACD= 105 度. 解答: 解:∵∠A=45°,∠B=60°, ∴∠ACD=∠A+∠B=45°+60°=105°. 故答案为:105. 13.若实数a、b满足|3a﹣1|+b2=0,则ab的值为 1 . 解答: 解:根据题意得,3a﹣1=0,b=0, 解得a=,b=0, ab=()0=1. 故答案为:1. 14.如果一次函数y=mx+3的图象经过第一、二、四象限,则m的取值范围是 m<0 . 解答: 解:∵一次函数y=mx+3的图象经过第一、二、四象限, ∴m<0. 故答案为:m<0. 15.任意抛掷一枚硬币,则“正面朝上”是 随机 事件. 解答: 解:抛掷1枚均匀硬币可能正面朝上,也可能反面朝上, 故抛掷1枚均匀硬币正面朝上是随机事件. 故答案为:随机. 16.在半径为1cm的圆中,圆心角为120°的扇形的弧长是 cm. 解答: 解:扇形的弧长L==πcm. 故答案为:πcm. 17.如图,AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF= 360 度. 解答: 解:∵AB∥CD, ∴∠BAC+∠ACD=180°…①, ∵CD∥EF, ∴∠CEF+∠ECD=180°…②, ①+②得, ∠BAC+∠ACD+∠CEF+∠ECD=180°+180°=360°, 即∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°. 18.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=2,∠B=60°,则BC的长为 4 . 解答: 解:过点A作AE∥CD交BC于点E, ∵AD∥BC, ∴四边形AECD是平行四边形, ∴AE=CD=2,AD=EC=2, ∵∠B=60°, ∴BE=AB=AE=2, ∴BC=BE+CE=2+2=4. 三、解答题:(本题共2个小题,每小题6分,共12分) 19.计算:. 解答: 解:原式=2+2×﹣3=0. 20.先化简,再求值:,其中a=﹣2,b=1. 解答: 解:原式=+ =+ =, 把 a=﹣2,b=1代入得:原式==2. 四.解答题:(本题共2个小题,每小题8分,共16分) 21.某班数学科代表小华对本班上期期末考试数学成绩作了统计分析,绘制成如下频数、频率统计表和频数分布直方图,请你根据图表提供的信息,解答下列问题: 分组 49.5~59.5 59.5~69.5 69.5~79.5 79.5~89.5 89.5~100.5 合计 频数 2 a 20 16 4 50 频率 0.04 0.16 0.40 0.32 b 1 (1)频数、频率统计表中,a= 8 ;b= 0.08 ; (2)请将频数分布直方图补充完整; (3)小华在班上任选一名同学,该同学成绩不低于80分的概率是多少? 解答: 解:(1)a=50﹣2﹣20﹣16﹣4=50﹣42=8, b=1﹣0.04﹣0.16﹣0.40﹣0.32=1﹣0.92=0.08; 故答案为:8,0.08. (2)如图所示; (3)该同学成绩不低于80分的概率是:0.32+0.08=0.40=40%. 22.如图,A,P,B,C是半径为8的⊙O上的四点,且满足∠BAC=∠APC=60°, (1)求证:△ABC是等边三角形; (2)求圆心O到BC的距离OD. 解答: 解:(1)在△ABC中, ∵∠BAC=∠APC=60°, 又∵∠APC=∠ABC, ∴∠ABC=60°, ∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°, ∴△ABC是等边三角形; (2)∵△ABC为等边三角形,⊙O为其外接圆, ∴O为△ABC的外心, ∴BO平分∠ABC, ∴∠OBD=30°, ∴OD=8×=4. 五、解答题(本题共2个小题,每小题9分,共18分) 23.以“开放崛起,绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕,作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个,其中境外投资合作项目个数的2倍比省内境外投资合作项目多51个. (1)求湖南省签订的境外,省外境内的投资合作项目分别有多少个? (2)若境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元,7.5亿元,求在这次“中博会”中,东道湖南省共引进资金多少亿元? 解答: 解:(1)设境外投资合作项目个数为x个, 根据题意得出:2x﹣(348﹣x)=51, 解得:x=133, 故省外境内投资合作项目为:348﹣133=215个. 答:境外投资合作项目为133个,省外境内投资合作项目为215个. (2)∵境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元,7.5亿元, ∴湖南省共引进资金:133×6+215×7.5=2410.5亿元. 答:东道湖南省共引进资金2410.5亿元. 24.如图,已知正方形ABCD中,BE平分∠DBC且交CD边于点E,将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置,并延长BE交DF于点G. (1)求证:△BDG∽△DEG; (2)若EG•BG=4,求BE的长. 解答: (1)证明:∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置, ∴△BCE≌△DCF, ∴∠FDC=∠EBC, ∵BE平分∠DBC, ∴∠DBE=∠EBC, ∴∠FDC=∠EBE, ∵∠DGE=∠DGE, ∴△BDG∽△DEG. (2)解:∵△BCE≌△DCF, ∴∠F=∠BEC,∠EBC=∠FDC, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠DCB=90°,∠DBC=∠BDC=45°, ∵BE平分∠DBC, ∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC, ∴∠BDF=45°+22.5°=67.5°, ∠F=90°﹣22.5°=67.5°=∠BDF, ∴BD=BF, ∵△BCE≌△DCF, ∴∠F=∠BEC=67.5°=∠DEG, ∴∠DGB=180°﹣22.5°﹣67.5°=90°, 即BG⊥DF, ∵BD=BF, ∴DF=2DG, ∵△BDG∽△DEG,BG×EG=4, ∴=, ∴BG×EG=DG×DG=4, ∴DG=2, ∴BE=DF=2DG=4. 六、解答题(本题共2个小题,每小题10分,共20分) 25.在长株潭建设两型社会的过程中,为推进节能减排,发展低碳经济,我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后,再投入100万元购买生产设备,进行该产品的生产加工.已知生产这种产品的成本价为每件20元.经过市场调研发现,该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理,并且该产品的年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为: (年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本) (1)当销售单价定为28元时,该产品的年销售量为多少万件? (2)求该公司第一年的年获利W(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并说明投资的第一年,该公司是盈利还是亏损?若盈利,最大利润是多少?若亏损,最小亏损是多少? (3)第二年,该公司决定给希望工程捐款Z万元,该项捐款由两部分组成:一部分为10万元的固定捐款;另一部分则为每销售一件产品,就抽出一元钱作为捐款.若除去第一年的最大获利(或最小亏损)以及第二年的捐款后,到第二年年底,两年的总盈利不低于67.5万元,请你确定此时销售单价的范围. 解答: 解:(1)∵25≤28≤30,, ∴把28代入y=40﹣x得, ∴y=12(万件), 答:当销售单价定为28元时,该产品的年销售量为12万件; (2)①当 25≤x≤30时,W=(40﹣x)(x﹣20)﹣25﹣100=﹣x2+60x﹣925=﹣(x﹣30)2﹣25, 故当x=30时,W最大为﹣25,及公司最少亏损25万; ②当30<x≤35时,W=(25﹣0.5x)(x﹣20)﹣25﹣100 =﹣x2+35x﹣625=﹣(x﹣35)2﹣12.5 故当x=35时,W最大为﹣12.5,及公司最少亏损12.5万; 对比1°,2°得,投资的第一年,公司亏损,最少亏损是12.5万; 答:投资的第一年,公司亏损,最少亏损是12.5万; (3)①当 25≤x≤30时,W=(40﹣x)(x﹣20﹣1)﹣12.5﹣10=﹣x2+59x﹣782.5 令W=67.5,则﹣x2+59x﹣782.5=67.5 化简得:x2﹣59x+850=0 x1=25;x2=34, 此时,当两年的总盈利不低于67.5万元,25≤x≤30; ②当30<x≤35时,W=(25﹣0.5x)(x﹣20﹣1)﹣12.5﹣10=﹣x2+35.5x﹣547.5, 令W=67.5,则﹣x2+35.5x﹣547.5=67.5, 化简得:x2﹣71x+1230=0 x1=30;x2=41, 此时,当两年的总盈利不低于67.5万元,30<x≤35, 答:到第二年年底,两年的总盈利不低于67.5万元,此时销售单价的范围是25≤x≤30或30<x≤35. 26.如图半径分别为m,n(0<m<n)的两圆⊙O1和⊙O2相交于P,Q两点,且点P(4,1),两圆同时与两坐标轴相切,⊙O1与x轴,y轴分别切于点M,点N,⊙O2与x轴,y轴分别切于点R,点H. (1)求两圆的圆心O1,O2所在直线的解析式; (2)求两圆的圆心O1,O2之间的距离d; (3)令四边形PO1QO2的面积为S1,四边形RMO1O2的面积为S2. 试探究:是否存在一条经过P,Q两点、开口向下,且在x轴上截得的线段长为的抛物线?若存在,请求出此抛物线的解析式;若不存在,请说明理由. 解答: 解:(1)由题意可知O1(m,m),O2(n,n), 设过点O1,O2的直线解析式为y=kx+b,则有: (0<m<n),解得, ∴所求直线的解析式为:y=x. (2)由相交两圆的性质,可知P、Q点关于O1O2对称. ∵P(4,1),直线O1O2解析式为y=x,∴Q(1,4). 如解答图1,连接O1Q. ∵Q(1,4),O1(m,m),根据两点间距离公式得到: O1Q== 又O1Q为小圆半径,即QO1=m, ∴=m,化简得:m2﹣10m+17=0 ① 如解答图1,连接O2Q,同理可得:n2﹣10n+17=0 ② 由①,②式可知,m、n是一元二次方程x2﹣10x+17=0 ③的两个根, 解③得:x=5±,∵0<m<n,∴m=5﹣,n=5+. ∵O1(m,m),O2(n,n), ∴d=O1O2==8. (3)假设存在这样的抛物线,其解析式为y=ax2+bx+c,因为开口向下,所以a<0. 如解答图2,连接PQ. 由相交两圆性质可知,PQ⊥O1O2. ∵P(4,1),Q(1,4), ∴PQ==,又O1O2=8, ∴S1=PQ•O1O2=××8=; 又S2=(O2R+O1M)•MR=(n+m)(n﹣m)=; ∴==1,即抛物线在x轴上截得的线段长为1. ∵抛物线过点P(4,1),Q(1,4), ∴,解得, ∴抛物线解析式为:y=ax2﹣(5a+1)x+5+4a, 令y=0,则有:ax2﹣(5a+1)x+5+4a=0, 设两根为x1,x2,则有:x1+x2=,x1x2=, ∵在x轴上截得的线段长为1,即|x1﹣x2|=1, ∴(x1﹣x2)2=1,∴(x1+x2)2﹣4x1x2=1, 即()2﹣4()=1,化简得:8a2﹣10a+1=0, 解得a=,可见a的两个根均大于0,这与抛物线开口向下(即a<0)矛盾, ∴不存在这样的抛物线.查看更多