2012年长沙 (2)中考数学试卷

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2012年长沙 (2)中考数学试卷

‎2012年长沙中考数学试卷解析 一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的.‎ ‎1.﹣3相反数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ ‎﹣3‎ C.‎ ‎﹣‎ D.‎ ‎3‎ 解答:‎ 解:﹣3相反数是3.‎ 故选D.‎ ‎2.下列平面图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 解答:‎ 解:A、是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项正确;‎ B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;‎ C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;‎ D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误.‎ 故选A.‎ ‎3.甲、乙两学生在军训打靶训练中,打靶的总次数相同,且所中环数的平均数也相同,但甲的成绩比乙的成绩稳定,那么两者的方差的大小关系是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎<‎ B.‎ ‎>‎ C.‎ ‎=‎ D.‎ 不能确定 解答:‎ 解:根据方差的意义知,射击成绩比较稳定,则方差较小,‎ ‎∵甲的成绩比乙的成绩稳定,‎ ‎∴有:S甲2<S乙2.‎ 故选A.‎ ‎4.一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示,则下列符合条件的不等式组为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 解答:‎ 解:由图示可看出,从﹣1出发向右画出的折线且表示﹣1的点是实心圆,表示x≥﹣1;‎ 从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆,表示x<2,所以这个不等式组的解集为﹣1≤x<2,即:.‎ 故选:C.‎ ‎5.下列四边形中,两条对角线一定不相等的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 正方形 B.‎ 矩形 C.‎ 等腰梯形 D.‎ 直角梯形 解答:‎ 解:根据正方形、矩形、等腰梯形的性质,它们的两条对角线一定相等,只有直角梯形的对角线一定不相等.‎ 故选D.‎ ‎6.下列四个角中,最有可能与70°角互补的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 解答:‎ 解:70°角的补角=180°﹣70°=110°,是钝角,‎ 结合各选项,只有D选项是钝角,‎ 所以,最有可能与70°角互补的是D选项的角.‎ 故选D.‎ ‎7.小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶,但行至中途时,自行车出了故障,只好停下来修车,车修好后,因怕耽误上课,他比修车前加快了速度继续匀速行驶,下面是行驶路程s(m)关于时间t(min)的函数图象,那么符合小明行驶情况的大致图象是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 解答:‎ 解:小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶,正常匀速行驶的路程、时间图象是一条过原点O的斜线,‎ 修车时自行车没有运动,所以修车时的路程保持不变是一条平行于横坐标的水平线,‎ 修车后为了赶时间,他比修车前加快了速度继续匀速行驶,此时的路程、时间图象仍是一条斜线,只是斜线的倾角变大.‎ 因此选项A、B、D都不符合要求.‎ 故选C.‎ ‎8.已知:菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E,AD=6cm,则OE的长为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎6cm B.‎ ‎4cm C.‎ ‎3cm D.‎ ‎2cm 解答:‎ 解:∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴OB=OD,CD=AD=6cm,‎ ‎∵OE∥DC,‎ ‎∴BE=CE,‎ ‎∴OE=CD=3cm.‎ 故选C.‎ ‎9.某闭合电路中,电源的电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象,则用电阻R表示电流I的函数解析式为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 解答:‎ 解:设I=,那么点(3,2)适合这个函数解析式,则k=3×2=6,‎ ‎∴I=.‎ 故选C.‎ ‎10.现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1个 B.‎ ‎2个 C.‎ ‎3个 D.‎ ‎4个 解答:‎ 解:四条木棒的所有组合:3,4,7和3,4,9和3,7,9和4,7,9;‎ 只有3,7,9和4,7,9能组成三角形.‎ 故选B.‎ 二、填空题(本题共8个小题,每小题3分,共24分)‎ ‎11.已知函数关系式:y=,则自变量x的取值范围是 x≥1 .‎ 解答:‎ 解:根据题意得,x﹣1≥0,‎ 解得x≥1.‎ 故答案为:x≥1.‎ ‎12.如图,在△ABC中,∠A=45°,∠B=60°,则外角∠ACD= 105 度.‎ 解答:‎ 解:∵∠A=45°,∠B=60°,‎ ‎∴∠ACD=∠A+∠B=45°+60°=105°.‎ 故答案为:105.‎ ‎13.若实数a、b满足|3a﹣1|+b2=0,则ab的值为 1 .‎ 解答:‎ 解:根据题意得,3a﹣1=0,b=0,‎ 解得a=,b=0,‎ ab=()0=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎14.如果一次函数y=mx+3的图象经过第一、二、四象限,则m的取值范围是 m<0 .‎ 解答:‎ 解:∵一次函数y=mx+3的图象经过第一、二、四象限,‎ ‎∴m<0.‎ 故答案为:m<0.‎ ‎15.任意抛掷一枚硬币,则“正面朝上”是 随机 事件.‎ 解答:‎ 解:抛掷1枚均匀硬币可能正面朝上,也可能反面朝上,‎ 故抛掷1枚均匀硬币正面朝上是随机事件.‎ 故答案为:随机.‎ ‎16.在半径为1cm的圆中,圆心角为120°的扇形的弧长是  cm.‎ 解答:‎ 解:扇形的弧长L==πcm.‎ 故答案为:πcm.‎ ‎17.如图,AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF= 360 度.‎ 解答:‎ 解:∵AB∥CD,‎ ‎∴∠BAC+∠ACD=180°…①,‎ ‎∵CD∥EF,‎ ‎∴∠CEF+∠ECD=180°…②,‎ ‎①+②得,‎ ‎∠BAC+∠ACD+∠CEF+∠ECD=180°+180°=360°,‎ 即∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.‎ ‎18.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=2,∠B=60°,则BC的长为 4 .‎ 解答:‎ 解:过点A作AE∥CD交BC于点E,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴四边形AECD是平行四边形,‎ ‎∴AE=CD=2,AD=EC=2,‎ ‎∵∠B=60°,‎ ‎∴BE=AB=AE=2,‎ ‎∴BC=BE+CE=2+2=4.‎ 三、解答题:(本题共2个小题,每小题6分,共12分)‎ ‎19.计算:.‎ 解答:‎ 解:原式=2+2×﹣3=0.‎ ‎20.先化简,再求值:,其中a=﹣2,b=1.‎ 解答:‎ 解:原式=+‎ ‎=+‎ ‎=,‎ 把 a=﹣2,b=1代入得:原式==2.‎ 四.解答题:(本题共2个小题,每小题8分,共16分)‎ ‎21.某班数学科代表小华对本班上期期末考试数学成绩作了统计分析,绘制成如下频数、频率统计表和频数分布直方图,请你根据图表提供的信息,解答下列问题:‎ 分组 ‎49.5~59.5‎ ‎59.5~69.5‎ ‎69.5~79.5‎ ‎79.5~89.5‎ ‎89.5~100.5‎ 合计 频数 ‎2‎ a ‎20‎ ‎16‎ ‎4‎ ‎50‎ 频率 ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.40‎ ‎0.32‎ b ‎1‎ ‎(1)频数、频率统计表中,a= 8 ;b= 0.08 ;‎ ‎(2)请将频数分布直方图补充完整;‎ ‎(3)小华在班上任选一名同学,该同学成绩不低于80分的概率是多少?‎ 解答:‎ 解:(1)a=50﹣2﹣20﹣16﹣4=50﹣42=8,‎ b=1﹣0.04﹣0.16﹣0.40﹣0.32=1﹣0.92=0.08;‎ 故答案为:8,0.08.‎ ‎(2)如图所示;‎ ‎(3)该同学成绩不低于80分的概率是:0.32+0.08=0.40=40%.‎ ‎22.如图,A,P,B,C是半径为8的⊙O上的四点,且满足∠BAC=∠APC=60°,‎ ‎(1)求证:△ABC是等边三角形;‎ ‎(2)求圆心O到BC的距离OD.‎ 解答:‎ 解:(1)在△ABC中,‎ ‎∵∠BAC=∠APC=60°,‎ 又∵∠APC=∠ABC,‎ ‎∴∠ABC=60°,‎ ‎∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°,‎ ‎∴△ABC是等边三角形;‎ ‎(2)∵△ABC为等边三角形,⊙O为其外接圆,‎ ‎∴O为△ABC的外心,‎ ‎∴BO平分∠ABC,‎ ‎∴∠OBD=30°,‎ ‎∴OD=8×=4.‎ 五、解答题(本题共2个小题,每小题9分,共18分)‎ ‎23.以“开放崛起,绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于‎2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕,作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个,其中境外投资合作项目个数的2倍比省内境外投资合作项目多51个.‎ ‎(1)求湖南省签订的境外,省外境内的投资合作项目分别有多少个?‎ ‎(2)若境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元,7.5亿元,求在这次“中博会”中,东道湖南省共引进资金多少亿元?‎ 解答:‎ 解:(1)设境外投资合作项目个数为x个,‎ 根据题意得出:2x﹣(348﹣x)=51,‎ 解得:x=133,‎ 故省外境内投资合作项目为:348﹣133=215个.‎ 答:境外投资合作项目为133个,省外境内投资合作项目为215个.‎ ‎(2)∵境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元,7.5亿元,‎ ‎∴湖南省共引进资金:133×6+215×7.5=2410.5亿元.‎ 答:东道湖南省共引进资金2410.5亿元.‎ ‎24.如图,已知正方形ABCD中,BE平分∠DBC且交CD边于点E,将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置,并延长BE交DF于点G.‎ ‎(1)求证:△BDG∽△DEG;‎ ‎(2)若EG•BG=4,求BE的长.‎ 解答:‎ ‎(1)证明:∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置,‎ ‎∴△BCE≌△DCF,‎ ‎∴∠FDC=∠EBC,‎ ‎∵BE平分∠DBC,‎ ‎∴∠DBE=∠EBC,‎ ‎∴∠FDC=∠EBE,‎ ‎∵∠DGE=∠DGE,‎ ‎∴△BDG∽△DEG.‎ ‎(2)解:∵△BCE≌△DCF,‎ ‎∴∠F=∠BEC,∠EBC=∠FDC,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠DCB=90°,∠DBC=∠BDC=45°,‎ ‎∵BE平分∠DBC,‎ ‎∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC,‎ ‎∴∠BDF=45°+22.5°=67.5°,‎ ‎∠F=90°﹣22.5°=67.5°=∠BDF,‎ ‎∴BD=BF,‎ ‎∵△BCE≌△DCF,‎ ‎∴∠F=∠BEC=67.5°=∠DEG,‎ ‎∴∠DGB=180°﹣22.5°﹣67.5°=90°,‎ 即BG⊥DF,‎ ‎∵BD=BF,‎ ‎∴DF=2DG,‎ ‎∵△BDG∽△DEG,BG×EG=4,‎ ‎∴=,‎ ‎∴BG×EG=DG×DG=4,‎ ‎∴DG=2,‎ ‎∴BE=DF=2DG=4.‎ 六、解答题(本题共2个小题,每小题10分,共20分)‎ ‎25.在长株潭建设两型社会的过程中,为推进节能减排,发展低碳经济,我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后,再投入100万元购买生产设备,进行该产品的生产加工.已知生产这种产品的成本价为每件20元.经过市场调研发现,该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理,并且该产品的年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为:‎ ‎(年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本)‎ ‎(1)当销售单价定为28元时,该产品的年销售量为多少万件?‎ ‎(2)求该公司第一年的年获利W(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并说明投资的第一年,该公司是盈利还是亏损?若盈利,最大利润是多少?若亏损,最小亏损是多少?‎ ‎(3)第二年,该公司决定给希望工程捐款Z万元,该项捐款由两部分组成:一部分为10万元的固定捐款;另一部分则为每销售一件产品,就抽出一元钱作为捐款.若除去第一年的最大获利(或最小亏损)以及第二年的捐款后,到第二年年底,两年的总盈利不低于67.5万元,请你确定此时销售单价的范围.‎ 解答:‎ 解:(1)∵25≤28≤30,,‎ ‎∴把28代入y=40﹣x得,‎ ‎∴y=12(万件),‎ 答:当销售单价定为28元时,该产品的年销售量为12万件;‎ ‎(2)①当 25≤x≤30时,W=(40﹣x)(x﹣20)﹣25﹣100=﹣x2+60x﹣925=﹣(x﹣30)2﹣25,‎ 故当x=30时,W最大为﹣25,及公司最少亏损25万;‎ ‎②当30<x≤35时,W=(25﹣0.5x)(x﹣20)﹣25﹣100‎ ‎=﹣x2+35x﹣625=﹣(x﹣35)2﹣12.5‎ 故当x=35时,W最大为﹣12.5,及公司最少亏损12.5万;‎ 对比1°,2°得,投资的第一年,公司亏损,最少亏损是12.5万;‎ 答:投资的第一年,公司亏损,最少亏损是12.5万;‎ ‎(3)①当 25≤x≤30时,W=(40﹣x)(x﹣20﹣1)﹣12.5﹣10=﹣x2+59x﹣782.5‎ 令W=67.5,则﹣x2+59x﹣782.5=67.5‎ 化简得:x2﹣59x+850=0 x1=25;x2=34,‎ 此时,当两年的总盈利不低于67.5万元,25≤x≤30;‎ ‎②当30<x≤35时,W=(25﹣0.5x)(x﹣20﹣1)﹣12.5﹣10=﹣x2+35.5x﹣547.5,‎ 令W=67.5,则﹣x2+35.5x﹣547.5=67.5,‎ 化简得:x2﹣71x+1230=0 x1=30;x2=41,‎ 此时,当两年的总盈利不低于67.5万元,30<x≤35,‎ 答:到第二年年底,两年的总盈利不低于67.5万元,此时销售单价的范围是25≤x≤30或30<x≤35.‎ ‎26.如图半径分别为m,n(0<m<n)的两圆⊙O1和⊙O2相交于P,Q两点,且点P(4,1),两圆同时与两坐标轴相切,⊙O1与x轴,y轴分别切于点M,点N,⊙O2与x轴,y轴分别切于点R,点H.‎ ‎(1)求两圆的圆心O1,O2所在直线的解析式;‎ ‎(2)求两圆的圆心O1,O2之间的距离d;‎ ‎(3)令四边形PO1QO2的面积为S1,四边形RMO1O2的面积为S2.‎ 试探究:是否存在一条经过P,Q两点、开口向下,且在x轴上截得的线段长为的抛物线?若存在,请求出此抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.‎ 解答:‎ 解:(1)由题意可知O1(m,m),O2(n,n),‎ 设过点O1,O2的直线解析式为y=kx+b,则有:‎ ‎(0<m<n),解得,‎ ‎∴所求直线的解析式为:y=x.‎ ‎(2)由相交两圆的性质,可知P、Q点关于O1O2对称.‎ ‎∵P(4,1),直线O1O2解析式为y=x,∴Q(1,4).‎ 如解答图1,连接O1Q.‎ ‎∵Q(1,4),O1(m,m),根据两点间距离公式得到:‎ O1Q==‎ 又O1Q为小圆半径,即QO1=m,‎ ‎∴=m,化简得:m2﹣10m+17=0 ①‎ 如解答图1,连接O2Q,同理可得:n2﹣10n+17=0 ②‎ 由①,②式可知,m、n是一元二次方程x2﹣10x+17=0 ③的两个根,‎ 解③得:x=5±,∵0<m<n,∴m=5﹣,n=5+.‎ ‎∵O1(m,m),O2(n,n),‎ ‎∴d=O1O2==8.‎ ‎(3)假设存在这样的抛物线,其解析式为y=ax2+bx+c,因为开口向下,所以a<0.‎ 如解答图2,连接PQ.‎ 由相交两圆性质可知,PQ⊥O1O2.‎ ‎∵P(4,1),Q(1,4),‎ ‎∴PQ==,又O1O2=8,‎ ‎∴S1=PQ•O1O2=××8=;‎ 又S2=(O2R+O1M)•MR=(n+m)(n﹣m)=;‎ ‎∴==1,即抛物线在x轴上截得的线段长为1.‎ ‎∵抛物线过点P(4,1),Q(1,4),‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴抛物线解析式为:y=ax2﹣(5a+1)x+5+4a,‎ 令y=0,则有:ax2﹣(5a+1)x+5+4a=0,‎ 设两根为x1,x2,则有:x1+x2=,x1x2=,‎ ‎∵在x轴上截得的线段长为1,即|x1﹣x2|=1,‎ ‎∴(x1﹣x2)2=1,∴(x1+x2)2﹣4x1x2=1,‎ 即()2﹣4()=1,化简得:8a2﹣10a+1=0,‎ 解得a=,可见a的两个根均大于0,这与抛物线开口向下(即a<0)矛盾,‎ ‎∴不存在这样的抛物线.‎
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