2020版高中数学 第二章 随机变量及其分布滚动训练四 新人教A版选修2-3
第二章 随机变量及其分布
滚动训练四(§2.1～§2.4)
一、选择题
1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
考点 随机变量及离散型随机变量的概念
题点 随机变量的概念
答案 C
解析 A中取到产品的件数是一个常量而不是变量，B，D中的量也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．
2．设随机变量ξ服从正态分布N(3,16)，若P(ξ>c＋2)＝P(ξ
c＋2)＝P(ξ0，∴a与b同号，
∴ξ的取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
二、填空题
9．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者．则乙连胜四局的概率为________．
考点 相互独立事件的性质及应用
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题点 独立事件与互斥事件的综合应用
答案 0.09
解析 乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴所求概率为P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.
10．一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率是________，问题得到解决的概率是________．
考点 相互独立事件同时发生的概率计算
题点 求两个相互独立事件同时发生的概率
答案
解析 设“甲解决这道难题”为事件A，“乙解决这道难题”为事件B，则A，B相互独立．
所以两人都未解决的概率为P( )＝×＝.
问题得到解决的概率为P(A)＋P(B)＋P(AB)＝1－P( )＝1－＝.
11．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p.若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p＝________.
考点 二项分布、两点分布的均值
题点 二项分布的均值
答案
解析 因为通过各科考试的概率为p，所以不能通过考试的概率为1－p，易知ξ～B(6,1－p)，又E(ξ)＝6(1－p)＝2，解得p＝.
三、解答题
12．篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知甲运动员投篮命中的概率为p，且各次投篮互不影响．
(1)若投篮1次的得分记为X，求方差D(X)的最大值；
(2)当(1)中D(X)取最大值时，求甲运动员投篮5次得4分的概率．
考点 三种常用分布的方差
题点 二项分布的方差
解 (1)依题意，得X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
8
∴E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，
D(X)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝－2＋，
∴当p＝时，D(X)取得最大值，且最大值为.
(2)由(1)可知p＝.记投篮5次的得分为Y，则Y～B，那么P(Y＝4)＝C×4×＝，
则甲运动员投篮5次得4分的概率为.
13．某产品有4件正品和2件次品混在了一起，现要把这2件次品找出来，为此每次随机抽取1件进行测试，测试后不放回，直至次品全部被找出为止．
(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率；
(2)设所要测试的次数为随机变量X，求X的分布列和均值．
考点 常见的几种均值
题点 与排列、组合有关的随机变量的均值
解 (1)设“第1次和第2次都抽到次品”为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)X的所有可能取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＋＝，P(X＝5)＝＋＝.
X的分布列为
X
2
3
4
5
P
因此，E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
四、探究与拓展
14．如图所示，用A，B，C，D表示四类不同的元件连接成系统M.当元件A，B至少有一个正常工作且元件C，D至少有一个正常工作时，系统M正常工作．已知元件A，B，C，D正常工作的概率依次为0.5,0.6,0.7,0.8.则元件连接成的系统M正常工作的概率P(M)等于( )
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A．0.752 B．0.988
C．0.168 D．0.832
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 相互独立事件性质的应用
答案 A
解析 P(M)＝[1－P( )][1－P( )]＝0.752.
15．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比．分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
考点 离散型随机变量的均值的性质
题点 均值在实际中的应用
解 (1)X可能的取值为10,20,100，－200.
根据题意，有
P(X＝10)＝C×1×2＝，
P(X＝20)＝C×2×1＝，
P(X＝100)＝C×3×0＝，
P(X＝－200)＝C×0×3＝.
所以X的分布列为
X
10
20
100
－200
P
(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X
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＝－200)＝.
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝.
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.
(3)X的均值为
E(X)＝10×＋20×＋100×－200×＝－.
这表明，获得分数X的均值为负，
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．
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