2020高中数学 第一章 三角函数 阶段复习课 第2课 三角函数的图象与性质及其应用学案 4

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2020高中数学 第一章 三角函数 阶段复习课 第2课 三角函数的图象与性质及其应用学案 4

第二课 三角函数的图象与性质及其应用 ‎[核心速填]‎ ‎1.三角函数的性质 ‎(1)正弦函数:定义域为R,值域为[-1,1],奇函数,单调增区间:(k∈Z);单调减区间:(k∈Z)‎ ‎(2)余弦函数:定义域为R,值域为[-1,1],偶函数,单调增区间:[-π+2kπ,2kπ](k∈Z);单调减区间:[2kπ,π+2kπ]‎ ‎(3)正切函数:定义域为;值域为R,奇函数,单调增区间: ‎2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单应用 A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响.‎ ‎(1)φ对y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响:‎ ‎(2)ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响:‎ ‎(3)A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响:‎ ‎[体系构建]‎ 9‎ ‎[题型探究]‎ 三角函数图象的画法和解析 式的确定 ‎ (1)函数y=tan在一个周期内的图象是(  )‎ ‎(2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图13所示.‎ 9‎ 图13‎ ‎①求f(x)的解析式;‎ ‎②请写出g(x)=f的表达式,并求出函数y=g(x)的图象的对称轴和对称中心. ‎ ‎【导学号:84352150】‎ ‎(1)A  [(1)y=tan的周期T==2π,排除B,D 当x=0时,tan=-.故选A.]‎ ‎(2)①由图可知A=3,=-,∴T=π⇒ω=2,f(x)=3sin(2x+φ),∴+φ=,φ=-,∴f(x)=3sin.‎ ‎②由(1)知g(x)=f=3sin=3sin=3cos 2x,令2x=kπ(k∈Z),∴所求的对称轴为直线x=(k∈Z),令2x=+kπ(k∈Z),x=+(k∈Z),∴所求的对称中心为(k∈Z).‎ ‎[规律方法] (1)“五点法”作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与x轴的交点,描点作图并向左或向右平移即得正弦曲线和余弦曲线. (2)y=sin x的图象的对称轴方程为x=kπ+,k∈Z,对称中心为(kπ,0),k∈Z, y=cos x的图象的对称轴方程为x=kπ,k∈Z,对称中心为,k∈Z, y=tan x的图象的对称中心为,k∈Z. (3)由已知条件确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式,需要确定A,ω,φ,其中A,ω易求,下面介绍求φ的几种方法. ‎①平衡点法 由y=Asin(ωx+φ)=Asin知它的平衡点的横坐标为- 9‎ ‎,所以我们可以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点,令其横坐标为x1=-f(φ,ω),则可求φ. ‎②确定最值法 这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论,只需解一个特殊的三角方程. ‎③利用单调性 将函数y=Asin(ωx+φ)的图象与y=sin x的图象比较,选取它们的某一个单调区间得到一个等式,解答即可求出φ.‎ ‎ [跟踪训练]‎ ‎1.已知函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的振幅为4,周期为6π,初相为-.‎ ‎(1)写出这个函数的解析式;‎ ‎(2)用“五点法”在所给坐标系中作出这个函数在一个周期内的图象.‎ ‎[解] (1)由已知得A=4,ω==,φ=-,‎ 因此这个函数的解析式为y=4sin.‎ ‎(2)列表:‎ x π ‎4π ‎7π x- ‎0‎ π ‎2π y=4sin ‎0‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎-4‎ ‎0‎ 描点画图,其图象如图所示:‎ 三角函数的图象变换问题 ‎ (1)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是(  )‎ A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2‎ B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2‎ C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 9‎ 个单位长度,得到曲线C2‎ D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2‎ ‎(2)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为(  )‎ A.          B. C.0 D.- ‎(1)D (2)B [(1)因为y=sin=cos=cos,所以曲线C1:y=cos x上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到曲线y=cos 2x,再把得到的曲线y=cos 2x向左平移个单位长度,得到曲线y=cos 2=cos.‎ 故选D.‎ ‎(2)y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后 得y=sin=sin.若该函数为偶函数,‎ 则+φ=kπ+,k∈Z,故φ=kπ+.当k=0时φ=.故选B.]‎ ‎[规律方法] ‎ ‎1.函数y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ),x∈R图象的两种方法 9‎ ‎2.对称变换 ‎(1)y=f(x)的图象y=-f(x)的图象 ‎(2)y=f(x)的图象y=f(-x)的图象 ‎(3)y=f(x)的图象y=-f(-x)的图象 ‎[跟踪训练]‎ ‎2.将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为(  ) ‎ ‎【导学号:84352151】‎ A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin D [函数y=2sin的周期为π,将函数y=2sin的图象向右平移个周期即个单位长度,所得图象对应的函数为y=2sin=2sin,故选D.]‎ 三角函数的性质 9‎ ‎ (1)若函数f(x)=3sin(2x+θ)(0<0<π)是偶函数,则f(x)在[0,π]上的单调递增区间是(  )‎ A. B. C. D. ‎(2)已知函数f(x)=2sin+a+1(其中a为常数).‎ ‎①求f(x)的单调区间;‎ ‎②若x∈时,f(x)的最大值为4,求a的值. 【导学号:84352152】‎ ‎[思路探究] (1)先根据函数f(x)是偶函数,求θ,再依据单调性求增区间,最后与[0,π]求交集.‎ ‎(2)①由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z求增区间 由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z求减区间 ‎②先求f(x)的最大值,得关于a的方程,再求a的值.‎ ‎(1)B  [(1)因为函数f(x)=3sin(2x+θ)(0<θ<π)是偶函数,‎ 所以φ=,f(x)=3sin=3cos 2x,‎ 令2kπ-π≤2x≤2kπ,得kπ-≤x≤kπ,‎ 可得函数f(x)的增区间为,k∈Z,‎ 所以f(x)在[0,π]上的单调递增区间为.]‎ ‎(2)①由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,‎ ‎∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z),由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,‎ 解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,‎ ‎∴函数f(x)的单调减区间为(k∈Z).‎ ‎②∵0≤x≤,∴≤2x+≤,‎ 9‎ ‎∴-≤sin≤1,‎ ‎∴f(x)的最大值为2+a+1=4,∴a=1.‎ 母题探究:1.求本例(2)中函数y=f(x),x∈R取最大值时x的取值集合.‎ ‎[解] 当f(x)取最大值时,2x+=+2kπ,‎ ‎∴2x=+2kπ,∴x=+kπ,k∈Z.‎ ‎∴当f(x)取最大值时,x的取值集合是.‎ ‎2.在本例(2)的条件下,求不等式f(x)<1的解集.‎ ‎[解] 由f(x)<1得2sin+2<1,‎ 所以sin<- 所以2kπ-<2x+<2kπ-,k∈Z.‎ 解得kπ-<x<kπ-,k∈Z.‎ 所以不等式f(x)<1的解集为.‎ 三角函数的实际应用 ‎ (1)如图14,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为________.‎ 图14‎ ‎(2)如图15,点P是半径为r cm的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置P0开始,按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动,求点P的纵坐标y关于时间t的函数关系,并求点的运动周期和频率. ‎ ‎【导学号:84352153】‎ 图15‎ 9‎ ‎(1)8 [(1)根据图象得函数最小值为2,有-3+k=2,k=5,最大值为3+k=8.]‎ ‎(2)当质点P从点P0转到点P位置时,点P转过的角度为ωt,则∠POx=ωt+φ.‎ 由任意角的三角函数得点P的纵坐标为y=rsin(ωt+φ),即为所求的函数关系式,‎ 点P的运动周期为T=,‎ 频率为f==.‎ ‎[规律方法] 三角函数模型构建的步骤 (1)收集数据,观察数据,发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图,选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题. (4)根据问题的实际意义,对答案的合理性进行检验.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3.某地昆虫种群数量在七月份1~13日的变化如图16所示,且满足y=Asin(ωx+φ)+b(ω>0,-π<φ<0).‎ 根据图中数据求函数解析式.‎ 图16‎ ‎[解] 由图象可知ymax=900,ymin=700,‎ 且A+b=ymax,-A+b=ymin,‎ 所以A===100,‎ b==800,且T=12=,‎ 所以ω=,将(7,900)代入函数解析式得×7+φ=+2kπ,k∈Z.‎ 所以φ=-π+2kπ,k∈Z.因为-π<φ<0,‎ 所以φ=-π,因此所求的函数解析式为:‎ y=100sin+800.‎ 9‎
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