2020高中数学 第一章 三角函数 阶段复习课 第2课 三角函数的图象与性质及其应用学案 4

2020高中数学 第一章 三角函数 阶段复习课 第2课 三角函数的图象与性质及其应用学案 4

第二课　三角函数的图象与性质及其应用 ‎[核心速填]‎ ‎1．三角函数的性质 ‎(1)正弦函数：定义域为R，值域为[－1,1]，奇函数，单调增区间：(k∈Z)；单调减区间：(k∈Z)‎ ‎(2)余弦函数：定义域为R，值域为[－1,1]，偶函数，单调增区间：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)；单调减区间：[2kπ，π＋2kπ]‎ ‎(3)正切函数：定义域为；值域为R，奇函数，单调增区间： ‎2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单应用 A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响．‎ ‎(1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响：‎ ‎(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响：‎ ‎(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响：‎ ‎[体系构建]‎ 9‎ ‎[题型探究]‎ 三角函数图象的画法和解析 式的确定 ‎　(1)函数y＝tan在一个周期内的图象是(　　)‎ ‎(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图13所示．‎ 9‎ 图13‎ ‎①求f(x)的解析式；‎ ‎②请写出g(x)＝f的表达式，并求出函数y＝g(x)的图象的对称轴和对称中心. ‎ ‎【导学号：84352150】‎ ‎(1)A　　[(1)y＝tan的周期T＝＝2π，排除B，D 当x＝0时，tan＝－.故选A.]‎ ‎(2)①由图可知A＝3，＝－，∴T＝π⇒ω＝2，f(x)＝3sin(2x＋φ)，∴＋φ＝，φ＝－，∴f(x)＝3sin.‎ ‎②由(1)知g(x)＝f＝3sin＝3sin＝3cos 2x，令2x＝kπ(k∈Z)，∴所求的对称轴为直线x＝(k∈Z)，令2x＝＋kπ(k∈Z)，x＝＋(k∈Z)，∴所求的对称中心为(k∈Z)．‎ ‎[规律方法]　(1)“五点法”作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与x轴的交点，描点作图并向左或向右平移即得正弦曲线和余弦曲线. (2)y＝sin x的图象的对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z，对称中心为(kπ，0)，k∈Z， y＝cos x的图象的对称轴方程为x＝kπ，k∈Z，对称中心为，k∈Z， y＝tan x的图象的对称中心为，k∈Z. (3)由已知条件确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，需要确定A，ω，φ，其中A，ω易求，下面介绍求φ的几种方法. ‎①平衡点法 由y＝Asin(ωx＋φ)＝Asin知它的平衡点的横坐标为－ 9‎ ‎，所以我们可以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点，令其横坐标为x1＝－f(φ,ω)，则可求φ. ‎②确定最值法 这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程. ‎③利用单调性 将函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与y＝sin x的图象比较，选取它们的某一个单调区间得到一个等式，解答即可求出φ.‎ ‎ [跟踪训练]‎ ‎1．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的振幅为4，周期为6π，初相为－.‎ ‎(1)写出这个函数的解析式；‎ ‎(2)用“五点法”在所给坐标系中作出这个函数在一个周期内的图象．‎ ‎[解]　(1)由已知得A＝4，ω＝＝，φ＝－，‎ 因此这个函数的解析式为y＝4sin.‎ ‎(2)列表：‎ x π ‎4π ‎7π x－ ‎0‎ π ‎2π y＝4sin ‎0‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎－4‎ ‎0‎ 描点画图，其图象如图所示：‎ 三角函数的图象变换问题 ‎　(1)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)‎ A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 9‎ 个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎(2)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)‎ A．　　　　　　　　　 B． C．0 D．－ ‎(1)D　(2)B　[(1)因为y＝sin＝cos＝cos，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos.‎ 故选D.‎ ‎(2)y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后 得y＝sin＝sin.若该函数为偶函数，‎ 则＋φ＝kπ＋，k∈Z，故φ＝kπ＋.当k＝0时φ＝.故选B.]‎ ‎[规律方法]　‎ ‎1．函数y＝sin x的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R图象的两种方法 9‎ ‎2．对称变换 ‎(1)y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象 ‎(2)y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象 ‎(3)y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象 ‎[跟踪训练]‎ ‎2．将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　) ‎ ‎【导学号：84352151】‎ A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin D　[函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.]‎ 三角函数的性质 9‎ ‎　(1)若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜0＜π)是偶函数，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)已知函数f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数)．‎ ‎①求f(x)的单调区间；‎ ‎②若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值. 【导学号：84352152】‎ ‎[思路探究]　(1)先根据函数f(x)是偶函数，求θ，再依据单调性求增区间，最后与[0，π]求交集．‎ ‎(2)①由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z求增区间 由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z求减区间 ‎②先求f(x)的最大值，得关于a的方程，再求a的值．‎ ‎(1)B　　[(1)因为函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，‎ 所以φ＝，f(x)＝3sin＝3cos 2x，‎ 令2kπ－π≤2x≤2kπ，得kπ－≤x≤kπ，‎ 可得函数f(x)的增区间为，k∈Z，‎ 所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间为.]‎ ‎(2)①由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ ‎∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ ‎∴函数f(x)的单调减区间为(k∈Z)．‎ ‎②∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，‎ 9‎ ‎∴－≤sin≤1，‎ ‎∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1.‎ 母题探究：1.求本例(2)中函数y＝f(x)，x∈R取最大值时x的取值集合．‎ ‎[解]　当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，‎ ‎∴2x＝＋2kπ，∴x＝＋kπ，k∈Z.‎ ‎∴当f(x)取最大值时，x的取值集合是.‎ ‎2．在本例(2)的条件下，求不等式f(x)＜1的解集．‎ ‎[解]　由f(x)＜1得2sin＋2＜1，‎ 所以sin＜－ 所以2kπ－＜2x＋＜2kπ－，k∈Z.‎ 解得kπ－＜x＜kπ－，k∈Z.‎ 所以不等式f(x)＜1的解集为.‎ 三角函数的实际应用 ‎　(1)如图14，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．‎ 图14‎ ‎(2)如图15，点P是半径为r cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求点的运动周期和频率. ‎ ‎【导学号：84352153】‎ 图15‎ 9‎ ‎(1)8　[(1)根据图象得函数最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.]‎ ‎(2)当质点P从点P0转到点P位置时，点P转过的角度为ωt，则∠POx＝ωt＋φ.‎ 由任意角的三角函数得点P的纵坐标为y＝rsin(ωt＋φ)，即为所求的函数关系式，‎ 点P的运动周期为T＝，‎ 频率为f＝＝.‎ ‎[规律方法]　三角函数模型构建的步骤 (1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题. (4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3．某地昆虫种群数量在七月份1～13日的变化如图16所示，且满足y＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω＞0，－π＜φ＜0)．‎ 根据图中数据求函数解析式．‎ 图16‎ ‎[解]　由图象可知ymax＝900，ymin＝700，‎ 且A＋b＝ymax，－A＋b＝ymin，‎ 所以A＝＝＝100，‎ b＝＝800，且T＝12＝，‎ 所以ω＝，将(7,900)代入函数解析式得×7＋φ＝＋2kπ，k∈Z.‎ 所以φ＝－π＋2kπ，k∈Z.因为－π＜φ＜0，‎ 所以φ＝－π，因此所求的函数解析式为：‎ y＝100sin＋800.‎ 9‎