专题25 圆的解题方法-名师揭秘2019高考数学（文）命题热点全覆盖

专题25 圆的解题方法-名师揭秘2019高考数学（文）命题热点全覆盖

专题26 圆的解题方法 一．【学习目标】‎ ‎1.掌握圆的标准方程和一般方程，会用圆的方程及其几何性质解题.‎ ‎2.能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，解决与圆有关的问题.‎ ‎3.能利用直线与圆、圆与圆的位置关系的几何特征判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能熟练解决与圆的切线和弦长等有关的综合问题；体会用代数法处理几何问题的思想.‎ 二．方法规律总结 ‎1.在求圆的方程时，应根据题意，合理选择圆的方程形式.圆的标准方程突出了圆心坐标和半径，便于作图使用；圆的一般方程是二元一次方程的形式，便于代数运算；而圆的参数方程在求范围和最值时应用广泛.同时，在选择方程形式时，应熟悉它们的互化.如果问题中给出了圆心与圆上的点两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程；如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.‎ ‎2.在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有xy项，只是表示圆的必要条件而不是充分条件.‎ ‎3.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的几何性质，这样会使问题简化.涉及与圆有关的最值问题或范围问题时应灵活、恰当运用参数方程.‎ ‎4.处理直线与圆、圆与圆的位置关系常用几何法，即利用圆心到直线的距离，两圆心连线的长与半径和、差的关系判断求解.‎ ‎5.求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：‎ ‎(1)几何方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出.‎ ‎(2)代数方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出.‎ ‎(以上两种方法只能求斜率存在的切线，斜率不存在的切线，可结合图形求得).‎ ‎ 6.求直线被圆截得的弦长 ‎(1)几何方法：运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2·.‎ ‎(2)代数方法：运用韦达定理.‎ 弦长|AB|＝.‎ ‎7.注意利用圆的几何性质解题.如：圆心在弦的垂直平分线上，切线垂直于过切点的半径，切割线定理等，在考查圆的相关问题时，常结合这些性质一同考查，因此要注意灵活运用圆的性质解题.‎ 三．【典例分析及训练】‎ 例1．圆 ：与轴正半轴交点为，圆上的点，分别位于第一、二象限，并且 ‎，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，，设的坐标为,则, ,,‎ 因为，所以，即，又，‎ 联立解得或，因为在第二象限，故只有满足，即.‎ 故答案为B.‎ 练习1．已知圆上的动点和定点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图，取点，连接，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 因为,当且仅当三点共线时等号成立,‎ 的最小值为的长，‎ ‎，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆的方程与几何性质以及转化与划归思想的应用，属于难题. ‎ 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，解答本题的关键是将转化为.‎ 练习2．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，，令解得，由于，可知当时，递增，时，，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，，，当时，，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A.‎ 练习3．直线l是圆C1：（x+1）2+y2=1与圆C2：（x+4）2+y2=4的公切线，并且l分别与x轴正半轴，y轴正半轴相交于A，B两点，则△AOB的面积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，‎ 设OA=a，OB=b，由三角形相似可得：，得a=2．‎ 再由三角形相似可得：，解得b=．‎ ‎∴△AOB的面积为．故选A．‎ ‎（二）圆的一般方程 例2．若由方程x2－y2＝0和x2＋(y－b)2＝2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b的取值范围是(　　)‎ A．b≥2或b≤－2 B．b≥2或b≤－2 C．－2≤b≤2 D．－2≤b≤2‎ ‎【答案】B 练习1．若圆的圆心在第一象限，则直线一定不经过（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】因为圆的圆心坐标为，由圆心在第一象限可得，所以直线的斜率，轴上的截距为，所以直线不过第一象限.‎ 练习2．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为 A．a=1或a=–2 B．a=2或a=–1 C．a=–1 D．a=2‎ ‎【答案】C ‎【解析】若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，‎ 则，解得a=–1．故答案为：C ‎（三）点与圆的位置关系 例3．例3．过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 练习1.已知点， ，是圆内一点，直线，，，围成的四边形的面积为，则下列说法正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知，四条直线围成的四边形面积，故选A.‎ 练习2．设点M（3，4）在圆外，若圆O上存在点N，使得，则实数r的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，‎ 要使圆O：x2+y2＝r2（r＞0）上存在点N，使得∠OMN＝ ，‎ 则∠OMN的最大值大于或等于时一定存在点N，使得∠OMN＝，‎ 而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时OM＝5，ON＝，又点M（3，4）在圆x2+y2＝r2（r＞0）外，∴实数r的取值范围是 ．‎ 故选：C．‎ ‎（四）圆的几何性质 例4．如图，在平面直角坐标系内，已知点，，圆C的方程为，点P为圆上的动点．‎ 求过点A的圆C的切线方程．‎ 求的最大值及此时对应的点P的坐标．‎ ‎【答案】（1）或；（2）最大值为，.‎ ‎【解析】当k存在时，设过点A切线的方程为，‎ 圆心坐标为，半径，，解得，‎ 所求的切线方程为，当k不存在时方程也满足；‎ 综上所述，所求的直线方程为：或；‎ 设点，则由两点之间的距离公式知，‎ 要取得最大值只要使最大即可，‎ 又P为圆上的点，，‎ ‎，‎ 此时直线OC：，由，‎ 解得舍去或，点P的坐标为 练习1．已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线相切，与y轴交于M，N两点，且．‎ Ⅰ求圆C的标准方程；‎ Ⅱ过点的直线l与圆C交于不同的两点D，E，若时，求直线l的方程；‎ Ⅲ已知Q是圆C上任意一点，问：在x轴上是否存在两定点A，B，使得？若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（I）；（II）或；（III）存在，或，满足题意.‎ ‎【解析】Ⅰ由题意知圆心，且，‎ 由知中，，，则，‎ 于是可设圆C的方程为 又点C到直线的距离为，‎ 所以或舍，‎ 故圆C的方程为，‎ Ⅱ设直线l的方程为即，则由题意可知，圆心C到直线l的距离，‎ 故，解得，‎ 又当时满足题意，‎ 因此所求的直线方程为或，‎ Ⅲ方法一：假设在x轴上存在两定点，，设是圆C上任意一点，则即，‎ 则，‎ 令，‎ 解得或，‎ 因此存在，，或，满足题意，‎ 方法二：设是圆C上任意一点，‎ 由得，‎ 化简可得，‎ 对照圆C的标准方程即，‎ 可得，‎ 解得解得或，‎ 因此存在，或，满足题意．‎ 练习2．设点P是函数图象上任意一点，点Q坐标为，当取得最小值时圆与圆相外切，则的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，函数y，即（x﹣1）2+y2＝4，（y≤0），‎ 对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下半部分，‎ 又由点Q（2a，a﹣3），则Q在直线x﹣2y﹣6＝0上，‎ 当|PQ|取得最小值时，PQ与直线x﹣2y﹣6＝0垂直，此时有2，解可得a＝1，‎ 圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2＝4与圆C2：（x+n）2+（y+2）2＝9相外切，‎ 则有3+2＝5，‎ 变形可得：（m+n）2＝25，‎ 则mn，‎ 故选：C．‎ 练习3．已知，是单位向量，•0．若向量满足||＝1，则||的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵||＝||＝1，且，‎ ‎∴可设，，．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．‎ ‎∴的最大值．‎ 故选：C．‎ 练习4．设P，Q分别是圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆的圆心为M(0,6)，半径为，‎ 设，则， 即，‎ ‎ ‎ ‎∴当 时，，故的最大值为.‎ 故选C.‎ ‎（五）轨迹问题 例5.已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；‎ ‎（1）求线段AB中点M的轨迹方程；‎ ‎（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，当△GOH（O为坐标原点）的面积最大时，求直线m的方程并求出△GOH面积的最大值.‎ ‎（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）解：设点 由中点坐标公式有 ‎ 又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：‎ 点的轨迹方程为： ‎ ‎（2）令，则 当，即时面积最大为2 ‎ 又直线过点，，∴到直线的距离为，当直线斜率不存在时，到的距离为1不满足，令 故直线的方程为： ‎ ‎（3）设点，由于点 则，令 有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程.‎ 当直线与圆相切时，取得最大或最小 故有 所以 练习1．已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；‎ ‎（1）求线段AB中点M的轨迹方程；‎ ‎（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，求以弦GH为直径的圆的面积最小值及此时直线m的方程.‎ ‎（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.（O为坐标原点）‎ ‎【答案】（1）；（2）圆的面积最小值（3）‎ ‎【解析】（1）解：设点 由中点坐标公式有 ‎ 又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：‎ 点的轨迹方程为： ‎ ‎（2）由题意知，原心到直线的距离∴当即 当时，弦长最短，‎ 此时圆的面积最小，圆的半径，面积 ‎ 又，所以直线斜率，又过点 故直线的方程为： ‎ ‎（3）设点，由于点 法一：所以，令 ‎ 有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程.‎ 当直线与圆相切时，取得最大或最小 故有 所以 ‎ 法二：‎ ‎∴从而 练习2．四棱锥P-ABCD中，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（　　）‎ A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．球的一部分 D．抛物线的一部分 ‎【答案】A 练习3．已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与过的直线交于点，设点的坐标，若，则下列结论中不正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由椭圆的左右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），‎ 过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点P，且l1⊥l2，‎ ‎∴P在线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02＝1，‎ ‎∴1，‎ 故A错误，B正确；‎ ‎3x02+2y02＞2x02+2y02＝2（x02+y02）＝2＞1，故C正确；‎ 由圆x2+y2＝1在P（x0，y0）的切线方程为：x0x+y0y＝1，如图，‎ ‎∵坐标原点O（0，0）与点（）在直线x0x+y0y＝1的同侧，且x0×0+y0×0＝0＜1，‎ ‎∴，故D正确．∴不正确的选项是A．故选：A．‎ 练习4．已知圆C： (为锐角) ,直线l：y=kx,则 A．对任意实数k与,直线l和圆C相切 B．对任意实数k与,直线l和圆C有公共点 C．对任意实数k与,直线l和圆C相交 D．对任意实数k与,直线l和圆C相离 ‎【答案】B ‎【解析】由题意，圆心坐标为：，所以圆心的轨迹方程为：，‎ 所以圆心与原点的距离为1，所以圆必过原点.‎ 由于直线过原点，所以直线与圆必有交点.‎ 故选B.‎ ‎（六）直线与圆的位置关系 例6.已知抛物线的顶点在坐标原点，其焦点在轴正半轴上，为直线上一点，圆与轴相切（为圆心），且，关于点对称.‎ ‎（1）求圆和抛物线的标准方程；‎ ‎（2）过的直线交圆于，两点，交抛物线于，两点，求证：.‎ ‎【答案】（1）的标准方程为.的标准方程为（2）见证明 ‎【解析】（1）设抛物线的标准方程为，则焦点的坐标为.‎ 已知在直线上，故可设 因为，关于对称，所以，解得 所以的标准方程为.‎ 因为与轴相切，故半径，‎ 所以的标准方程为.‎ ‎（2）由（1）知，直线的斜率存在，设为，且方程为 则到直线的距离为，‎ 所以，‎ 由消去并整理得：.‎ 设，，则，，.‎ 所以 ‎ 因为，，，所以 所以，即.‎ 练习1．已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）求圆的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】（1）直线的斜率，的中点坐标为 直线的方程为 ‎（2）设圆心，则由点在上，得．①‎ 又直径， ，．②‎ 由①②解得或，圆心或 ‎ 圆的方程为或 练习2．已知直线，曲线，若直线与曲线相交于、两点，则的取值范围是____；的最小值是___.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】直线l：kx﹣yk＝0过定点（1，），曲线C为半圆：（x﹣2）2+y2＝4（y≥0）‎ 如图：‎ 由图可知：kOP，kPE，∴；‎ 要使弦长AB最小，只需CP⊥AB，此时|AB|＝22，‎ 故答案为：[，]；．‎ 练习3．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x2+y2＝1和点，点B（1，1），M为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为_____．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】如图所示，取点K（﹣2，0），连接OM、MK．‎ ‎∵OM＝1，OA＝，OK＝2，∴，‎ ‎∵∠MOK＝∠AOM，∴△MOK∽△AOM，∴，∴MK＝2MA，‎ ‎∴|MB|+2|MA|＝|MB|+|MK|，‎ 在△MBK中，|MB|+|MK|≥|BK|，‎ ‎∴|MB|+2|MA|＝|MB|+|MK|的最小值为|BK|的长，‎ ‎∵B（1，1），K（﹣2，0），∴|BK|＝.‎ 故答案为：．‎ 练习4．已知直线l：mx﹣y＝1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y＝2垂直，则m的值为_____，动直线l：mx﹣y＝1被圆C：x2﹣2x+y2﹣8＝0截得的最短弦长为_____．‎ ‎【答案】0或2 ． ‎ ‎（七）圆与圆的位置关系 例1．在平面直角坐标系中，已知点和直线：，设圆的半径为1，圆心在直线上.‎ ‎（Ⅰ）若圆心也在直线上，过点作圆的切线.‎ ‎（1）求圆的方程；（2）求切线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）(1)或（2）或（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）(1)由得圆心为，‎ ‎∵圆的半径为1，‎ ‎∴圆的方程为：.‎ ‎（2）由圆方程可知过的切线斜率一定存在，‎ 设所求圆的切线方程为，即，‎ ‎∴，解之得：或，‎ ‎∴所求圆的切线方程为：或.‎ 即或.‎ ‎（Ⅱ）∵圆的圆心在直线：上，‎ 设圆心为，‎ 则圆的方程为：，‎ 又∵，‎ ‎∴设为，则 整理得：，设为圆,‎ ‎∴点应该既在圆上又在圆上 ‎∴圆和圆有公共点，∴,‎ 即：，‎ 解之得：‎ 即的取值范围为：.‎ 练习1．在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，，记外接圆为圆.‎ ‎(1)求圆的方程；‎ ‎(2)在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）存在，且个数为2‎ ‎【解析】(1)设外接圆的方程为,‎ 将代入上述方程得：‎ 解得 则圆的方程为 ‎(2)设点的坐标为，‎ 因为，所以 化简得：.‎ 即考查直线与圆的位置关系 点到直线的距离为 所以直线与圆相交，故满足条件的点有两个。.‎ 练习2．已知圆和 ‎(1)求证：圆和圆相交；‎ ‎(2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长。‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】(1)圆的圆心，半径，‎ 圆的圆心，半径 两圆圆心距 ‎ 所以，圆和相交；‎ ‎(2)圆和圆的方程相减，得，‎ 所以两圆的公共弦所在直线的方程为，‎ 圆心到直线的距离为：‎ 故公共弦长为 练习3．已知圆，圆．‎ ‎（1）试判断圆与圆是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交，说明理由；‎ ‎（2）若直线与圆交于A，B两点，且，求实数k的值．‎ ‎【答案】（1）； （2）或。.‎ ‎【解析】（1）‎ ‎，两圆相交，两圆做差得 即公共弦所在直线为：‎ ‎（2）由题可知，设 将代入 得整理得，‎ ‎，由韦达定理得 化简得，解得或。‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及圆和圆的位置关系及其判定，属中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。‎ 练习4．.如图，已知圆和圆 ‎（1）求两圆所有公切线的斜率 ‎（2）设为平面上一点，满足：若存在点的无穷多条直线与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长是直线被圆截得的弦长的2倍，试求所有满足条件的点P的坐标 ‎【答案】(1) 或或，(2) ‎ ‎【解析】（1）由题意得公切线斜率存在，设公切线方程为 所以 所以或，或，‎ 解得或或，‎ ‎【点睛】定点的探索与证明问题 ‎(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．‎ ‎(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．‎