数学文卷·2018届北京师大附中高三上学期期中考试（2017

数学文卷·2018届北京师大附中高三上学期期中考试（2017

北京师大附中2018届上学期高中三年级期中考试数学试卷（文科）‎ 本试卷共150分，考试时间120分钟.‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题纸上.‎ ‎1. 已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）‎ ‎（A）4 （B）3 （C）2 （D）1‎ ‎2. 下列函数中为偶函数的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3. 已知直线m，n和平面α，如果，那么“m⊥n”是“m⊥α”的（ ）‎ ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎4. 已知平面向量，则a与a+b的夹角为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5. 在等比数列中，，，则等于（ ）‎ ‎（A）9 （B）72 （C）9或72 （D）9或-72‎ ‎6. 设x，y满足则的最小值为（ ）‎ ‎（A）1 （B） （C）5 （D）9‎ ‎7. 若函数的相邻两个零点的距离为，且，则函数的极值点为（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎8. 中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则，例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长 的记录，其中115.1寸表示115寸1分（1寸=10分）.已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )‎ ‎（A）72.4寸 （B）81.4寸 （C）82.0寸 （D）91.6寸 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题纸上.‎ ‎9. 设i为虚数单位，复数=______________.‎ ‎10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c=4，，则a=_______，S△ABC=_________.‎ ‎11. 若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为_________.‎ ‎12. 已知向量a=（1,1），点A（3,0），点B为直线y=2x上的一个动点，若∥a，则点B的坐标为_____________.‎ ‎13. 已知函数，.‎ ‎（1）当k=0时，函数g（x）的零点个数为____________；‎ ‎（2）若函数g（x）恰有2个不同的零点，则实数k的取值范围为_________.‎ ‎14. 在平面直角坐标系xOy中，A（-12,0），B（0,6），点P在圆O：上，若，则点P的横坐标的取值范围是_________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.‎ ‎15. （本小题满分13分）‎ 已知等比数列的公比q>0，且.‎ ‎（I）求公比q和的值；‎ ‎（II）若的前n项和为，求证：.‎ ‎16. （本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求函数的最小正周期和单调递增区间.‎ ‎17. （本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥E-ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3.‎ ‎（I）求棱锥C-ADE的体积；‎ ‎（II）求证：平面ACE⊥平面CDE；‎ ‎（III）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎18. （本小题满分13分）‎ 已知点A（a，3），圆C的圆心为（1,2），半径为2.‎ ‎（I）求圆C的方程；‎ ‎（II）设a=3，求过点A且与圆C相切的直线方程；‎ ‎（III）设a=4，直线l过点A且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；‎ ‎（IV）设a=2，直线过点A，求被圆C截得的线段的最短长度，并求此时的方程.‎ ‎19.（本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎（I）若曲线存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；‎ ‎（II）求的单调区间；‎ ‎（III）设函数，求证：当时，在上存在极小值.‎ ‎20. （本小题满分14分）‎ 已知椭圆C：的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为.‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）设过点B（0，m）（m>0）的直线与椭圆C相交于E，F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C A B A D B D C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9. 10. 2； 11. 12. （-3，-6） 13. 2，‎ ‎14. ‎ ‎15. 解：‎ ‎（I）法一 因为，所以4，所以，‎ 因为，所以，因为，所以q>0，即q=2.‎ 法二：因为，所以，所以有，所以.‎ 因为，所以q>0，即q=2.所以.‎ ‎（II）当q=2时，， 所以.‎ 所以. 因为，所以 法二：当q=2时， 所以.‎ 所以. 所以，所以.‎ 法三：当q=2时，，‎ 所以，‎ 要证，只需要，只需，‎ 上式显然成立，得证.‎ ‎16. 解：（I）因为 所以 ‎（II）因为 所以 所以周期.‎ 令 解得.‎ 所以的单调递增区间为.‎ 法二：因为 所以 ‎=‎ 所以周期，‎ 令，解得，，‎ 所以的单调递增区间为.‎ ‎17. （I）解：在Rt△ADE中，.‎ 因为CD⊥平面ADE，‎ 所以棱锥C-ADE的体积为.‎ ‎（II）证明：因为CD⊥平面ADE，AE平面ADE，‎ 所以CD⊥AE.又因为AE⊥DE，CDDE=D，所以AE⊥平面CDE.‎ 又因为AE平面ACE，所以平面ACE⊥平面CDE.‎ ‎（III）结论：在线段DE上存在一点F，且，使AF∥平面BCE.‎ 解：设F为线段DE上一点，且,‎ 过点F作FM∥CD交CE于M，则.‎ 因为CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，‎ 所以CD∥AB.‎ 又因为CD=3AB 所以MF=AB，FM∥AB，‎ 所以四边形ABMF是平行四边形，‎ 则AF∥BM.‎ 又因为AF平面BCE，BM平面BCE，‎ 所以AF∥平面BCE.‎ ‎18. （I）圆C的方程为；‎ ‎（II）过点A且与圆C相切的直线方程为或；‎ ‎（III）直线的方程为或；‎ ‎（IV）被圆C截得的线段的最短长度为；直线的方程为.‎ ‎19. 解：（I）由得.‎ 由已知曲线存在斜率为-1的切线，‎ 所以存在大于零的实数根，‎ 即存在大于零的实数根，‎ 因为在时单调递增，‎ 所以实数a的取值范围.‎ ‎（II）由可得 当时，，所以函数的增区间为；‎ 当时，若，，若，，‎ 所以此时函数的增区间为，减区间为.‎ ‎（III）由及题设得，‎ 由可得，由（II）可知函数在上递增，‎ 所以，取，显然，‎ ‎，所以存在满足，即 存在满足，‎ 所以，在区间（1，+∞）上的情况如下：‎ ‎ ‎ ‎ － 0 +‎ ‎ ↘ 极小 ↗‎ 所以当-10，‎ 所以00，得.‎ 综上，m的取值范围是.‎ ‎（方法二）‎ ‎…… 则，.‎ 因为点D总在以线段EF为直径的圆内，‎ 所以.‎ 因为,‎ 所以 ‎，‎ 整理，得. （以下与方法一相同，略）‎