数学文卷·2018届福建省龙岩市高三下学期教学质量检查（2月）（2018

数学文卷·2018届福建省龙岩市高三下学期教学质量检查（2月）（2018

龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查 数学（文科）试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）‎ A． B．‎ C. D．‎ ‎2.复数（为虚数单位）的虚部为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎3.设，满足约束条件，则目标函数的最小值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎4.如图是某校高三（1）班上学期期末数学考试成绩整理得到的频率分布直方图，由此估计该班学生成绩的众数、中位数分别为（ ）‎ A．， B．，‎ C. ， D．，‎ ‎5.函数的单调递增区间是（ ）‎ A． B．‎ C. D．‎ ‎6. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中两个小矩形面积相等，则该“堑堵”的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知直线：与：，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎10.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知向量，满足，，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知正方体的棱长为，点是底面的中点，点是正方形内的任意一点，则满足线段的长度不小于的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分. ‎ ‎13.函数在区间上的最大值为 ．‎ ‎14. 已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于 ．‎ ‎15.如图，中，，为边上的一点，，，，则 ．‎ ‎16.已知函数，则的值为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.已知是数列的前项和，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列的前项和.‎ ‎18.某地随着经济的发展，居民收入逐年增长.该地一建设银行统计连续五年的储蓄存款（年底余额）得到下表：‎ 年份 储蓄存款 ‎（千亿元）‎ 为便于计算，工作人员将上表的数据进行了处理（令，），得到下表：‎ 时间 储蓄存款 ‎（Ⅰ）求关于的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出关于的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）用所求回归方程预测到年年底，该地储蓄存款额可达多少？‎ 附：线性回归方程，其中，.‎ ‎19.已知空间几何体中，与均为边长为的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面平面，平面平面.‎ ‎（Ⅰ）试在平面内作一条直线，使得直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积.‎ ‎20.已知椭圆：的左、右焦点分别为和，离心率是，直线过点交椭圆于，两点，当直线过点时，的周长为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）当直线绕点运动时，试求的取值范围.‎ ‎21.已知，.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）求直线和曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）直线与轴交于点，与曲线交于，两点，求.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集包含，求实数的取值范围.‎ 龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查 数学（文科）参考答案 一、选择题 ‎1-5: DBADB 6-10: CACAC 11、12：DB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.命题立意：本题主要考查数列的通项公式和前项和公式，裂项相消法求和.考查学生公式的熟练运用能力和计算能力.‎ 解：（Ⅰ）因为①，‎ 所以②，‎ ‎②-①得：，即，‎ 又，所以.‎ ‎（Ⅱ），‎ 令，则，‎ 所以.‎ ‎18.命题立意：本题主要考查一元线性回归分析，考查学生数据处理的能力.‎ 解：（Ⅰ），，，，‎ ‎，，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）将，，代入，‎ 得，‎ 即（或）.‎ ‎（Ⅲ）∵，‎ ‎∴.‎ 所以预测到年年底，该地储蓄存款额可达千亿元.‎ ‎19.命题立意，本题主要考查面面垂直的性质定理，面面平行的判定定理及空间几何体的体积公式，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力和化归转化思想.‎ 解：（Ⅰ）如图所示，取中点，取中点，连结，则即为所求.‎ 证明：取中点，连结，‎ ‎∵为腰长为的等腰三角形，为中点，‎ ‎∴，‎ 又平面平面，‎ 平面平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ 同理可证平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ 又，分别为，中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ 又，平面，平面，‎ ‎∴平面平面，‎ 又平面，∴平面.‎ ‎（Ⅱ）连结，取中点，连结，则，‎ 由（Ⅰ）可知平面，‎ 所以点到平面的距离与点到平面的距离相等.‎ 又是边长为的等边三角形，∴，‎ 又平面平面，平面平面，平面，‎ ‎∴平面，∴平面，‎ ‎∴，又为中点，∴，‎ 又，，∴.‎ ‎∴.‎ ‎20.命题立意：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线和椭圆的位置关系，考查学生逻辑思维能力和分类讨论思想及运算求解能力.‎ 解：（Ⅰ）∵的周长为，‎ ‎∴，‎ 又，∴，∴，‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，两点坐标分别为，，‎ 当直线与轴重合时，点与上顶点重合时，，‎ 当直线与轴重合时，点与下顶点重合时，，‎ 当直线斜率为时，，‎ 当直线斜率存在且不为时，不妨设直线方程为，‎ 联立，‎ 得，‎ 则有，①‎ ‎②‎ 设，则，代入①②得 ‎③‎ ‎④‎ ‎∴，‎ 即，解得，‎ 综上，.‎ ‎21.命题立意：本题主要考查函数的单调性、导数的应用、不等式恒成立等知识，考查学生的数形结合的能力、化归转化能力、运算求解能力以及分类讨论思想.‎ 解：（Ⅰ），‎ 当时，，.∴在上单调递增；‎ 当时，由，得.‎ 当时，；当时，.‎ 所以在单调递减；在单调递增.‎ ‎（Ⅱ）令，‎ 问题转化为在上恒成立，‎ ‎，注意到.‎ 当时，，‎ ‎，‎ 因为，所以，，‎ 所以存在，使，‎ 当时，，递减，‎ 所以，不满足题意. ‎ 当时，，‎ 当时，，，‎ 所以，在上单调递增；所以，满足题意.‎ 综上所述：.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ），‎ 化为，‎ 即的普通方程为，‎ 消去，得的普通方程为.‎ ‎（Ⅱ）在中令得，‎ ‎∵，∴倾斜角，‎ ‎∴的参数方程可设为即（为参数），‎ 代入得，，∴方程有两解，‎ ‎，，∴，同号，‎ ‎.‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）时，或或，‎ 或或，‎ 解集为.‎ ‎（Ⅱ）由已知在上恒成立，‎ ‎∵，，‎ ‎∴在上恒成立，‎ ‎∵的图象在上递减，在上递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴的取值范围是.‎