数学理卷·2018届山东省沂水县第一中学高三下学期第1次模拟（2018

数学理卷·2018届山东省沂水县第一中学高三下学期第1次模拟（2018

‎2018高三数学（理）模拟试题 ‎ ‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若复数z满足，则= ( )‎ A．1 B． C． D．3‎ ‎2．已知，满足，求的值 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3． “”是“”的( )‎ A充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．若的平均数为4，标准差为3，且，，‎ 则新数据的平均数和标准差分别为（ ）‎ A ．-6 9 B． -6 27 C ．-12 9 D．-12 27‎ ‎5．如图，AB是⊙的直径，VA垂直⊙所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是( ）‎ A．MN//AB B．MN与BC所成的角为45° ‎ ‎ C．OC⊥平面VAC D．平面VAC⊥平面VBC ‎6．已知点分别是椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于M、N两点，若为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．已知向量，， ，若与的夹角为60°，且，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． 6 D． 4‎ ‎8．已知=（），直线和点（，0）分别是图象上相邻的一条对称轴和一个对称中心，则函数的单调增区间为（ ）‎ A．[，]（） B．[，]（）‎ C．[，]（） D．[，]（）‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在的展开式中，项的系数为（　　　）‎ A．252　　　　B．264　　　　C． 512　　　　D．528‎ ‎11．已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数与函数有4个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知且，函数设函数的最大值为,最小值为,则= ． ‎ ‎14．设双曲线的左、右顶点分别为,，点在双曲线上且异于,两点，‎ 为坐标原点．若直线与的斜率之积为，则双曲线的离心率为________．‎ ‎15．若满足约束条件，则的最小值为 ． ‎ ‎16．，已知的平分线与交于点，则的外接圆面积是 ．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，．‎ ‎(Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，设数列的前项和，求．‎ ‎18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，，是上的点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面； ‎ ‎（Ⅱ）若是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的余弦值．‎ ‎19．（本小题满分12分）为了调查历城区城乡居民人民生活水平，随机抽取了10个家庭，得到第个家庭月收入（单位：千元）与月流动资金（单位：千元）的数据资料如下表：‎ ‎720‎ ‎20‎ ‎80‎ ‎196‎ ‎184‎ 其中，与满足函数模型；（Ⅰ）求方程；‎ ‎(Ⅱ)已知某家庭9月收入为9千元，该家庭计划用当月流动资金购置价格为499元的九阳豆浆机，问计划能否成功？‎ 附：对一组数据其回归直线的最小二乘法估计为 ‎20．（本小题满分12分）已知抛物线y2＝4x，直线与抛物线交于A，B两点．‎ ‎(Ⅰ)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值．‎ ‎21． （本小题满分12分）‎ 已知函数,‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性;‎ ‎（Ⅱ）当时,函数在是否存在零点?如果存在，求出；如果不存在，请说明理由．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．[选修4-4，坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为 ‎（Ⅰ）求与的直角坐标方程;‎ ‎（Ⅱ）若与的交于P点，与交于A、B两点，求的面积．‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数，‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎(Ⅱ)若不等式有解，求实数的取值范围．‎ ‎2018高三数学（理）模拟试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B C A A D C B A C B A D ‎1．‎ ‎【解析】， 选B．‎ ‎2．【解析】，‎ ‎ 选C．‎ ‎3． 【解析】答案A．‎ 等价于，当或时，不成立；‎ 而等价于,能推出；‎ 所以“”是“”的充分不必要条件． 答案A．‎ ‎4．【解析】选A．数据的变化，会引起其数字特征的变化．变化规律总结为：‎ 若数据由 ,则平均值由 方差由 ，标准差由．‎ ‎7．【解析】‎ ‎】‎ ‎8．【解析】‎ ‎9．【解析】10．【解析】 必须满足，‎ 项的系数选B．‎ ‎11．【解析】由三视图知对应的几何体是底面半径为、高为的圆锥与底面为直角边长为等腰直角三角形，侧棱垂直底面，高为的三棱锥组成的组合体，圆锥的底面半径为，母线长为，其表面积为+++=，解得=2，所以圆锥的底面半径为6，母线长为10，所以该几何体的体积为 =，故选A．‎ ‎12．【解析】由题意，函数与函数有4个不同的交点，即方程有4个解，设，显然函数 为偶函数，且，函数有四个零点等价于函数在内有2个零点．‎ 显然当时，．‎ ‎（1）当时，函数在上单调递增，最多只有一个零点，显然不满足题意；‎ ‎（2）当时，．‎ 由得；由得．‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．‎ 所以函数．‎ 又当时，；当时，，‎ 由函数在区间上有两个零点可得，即，解之得．故选D．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．6 14． 15． 16．‎ ‎13．【解析】‎ 设则为奇函数，所以 ‎14．【解析】对双曲线来说,, ‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎ 17．【解析】（Ⅰ）设数列的公差为，数列的公式为，‎ 由．‎ 得，解得．‎ ‎∴．………6分 ‎（Ⅱ）由得，‎ 则为奇数，，‎ 为偶数，．‎ ‎∴‎ ‎………12分 ‎18．‎ 解析：（Ⅰ） ‎ ‎,又…………4分 ‎．………5分 ‎（Ⅱ）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，,‎ 设（），则， ‎ ‎，，，．．．．．．．6分 取 则，∴为面的法向量 设为面的法向量，则，‎ 即，取，，，则，．．．．．．．．．．．．．． 8分 依题意，，则 ．．．．．．．．．．．．．．．9分 于是，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 设直线与平面所成角为，则，‎ ‎,则直线与平面所成角的余弦值为． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 故可以购买豆浆机。‎ ‎20．解：(Ⅰ)联立 消去x并化简整理得y2＋8y－8b＝0． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　2分 依题意应有Δ＝64＋32b＞0，解得b＞－2．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝－8，y1y2＝－8b，‎ 设圆心Q(x0，y0)，‎ 则应有x0＝，y0＝＝－4．‎ 因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆的半径为r＝|y0|＝4，‎ 又|AB|＝＝＝＝．‎ 所以|AB|＝2r＝＝8，‎ 解得b＝－．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　4分 所以x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝，‎ 所以圆心为．‎ 故所求圆的方程为2＋(y＋4)2＝16． ……5分 ‎(Ⅱ)因为直线l与y轴负半轴相交，所以b＜0，‎ 又l与抛物线交于两点，由(1)知b＞－2，‎ 所以－2＜b＜0，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　6分 直线l：y＝－x＋b整理得x＋2y－2b＝0，点O到直线l的距离d＝＝，‎ 所以S△AOB＝|AB|d＝－4b＝4．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　8分 令g(b)＝b3＋2b2，－2＜b＜0，g′(b)＝3b2＋4b＝3b，‎ b ‎－ g′(b)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ g(b)‎  极大值  由上表可得g(b)的最大值为g＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 故S△AOB≤4× ＝．‎ 所以当b＝－时，△AOB的面积取得最大值．……12分 ‎21．解: （Ⅰ）函数的定义域为,‎ ‎．………………1分 ‎①当时，， ‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极大值 的单调递增区间为，单调递减区间为． ………………2分 ‎②当时，令，得或 显然 ‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极小值 极大值 的单调递增区间为，单调递减区间为，；……3分 ③当时，令，得或 ‎ ‎(i)当时,时恒成立, 上单调递增; …………4分 ‎（ⅱ）当时,‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 极大值 的单调递增区间为，单调递减区间为；………5分 ‎（ⅲ）当时，‎ ‎1‎ ‎-+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 极大值 的单调递增区间为，单调递减区间为………6分 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；‎ 当时, 上单调递增； ‎ 当时,的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 当时的单调递增区间为，单调递减区间为．………7分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为,在处取得极大值也是最大值………8分 等价于 ‎，，令得，所以， 所以先增后减，在处取最大值0，所以．………10分 所以 进而,所以 即,………11分 又所以函数在不存在零点． …………12分 ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．[选修4-4，坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）根据题意，的普通方程为 ‎ ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　2分 的普通方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　4分 ‎（Ⅱ）的普通方程为，联立与，得，得，所以点P坐标(1,4) ‎ 点P到 的距离 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　6分 设,．将代入得 ‎ 则 ，‎ ‎ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　8分 ‎ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　10分 ‎23解：（Ⅰ）‎ ‎(2) ‎