数学理卷·2018届江西省赣州市十四县（市）高三期中联考（2017

数学理卷·2018届江西省赣州市十四县（市）高三期中联考（2017

‎2017—2018学年第一学期赣州市十四县（市）期中联考 ‎ 高三年级数学（理科）试卷 ‎ ‎ ‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. ， ，则=（　　）‎ A．（0，2] B．（1，2] C． D．（﹣4，0）‎ ‎2.对于实数a，b，c，下列命题正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2‎ C．若a＜b＜0，则 D．若a＜b＜0，则 ‎3.下列四种说法正确的是（ ）‎ ‎①函数的定义域是，则“”是“函数为增函数”的充要条件；‎ ‎②命题“”的否定是“”；‎ ‎③命题“若x=2，则”的逆否命题是真命题；‎ ‎④p：在△ABC中，若cos2A=cos2B，则A=B；q：y=sinx在第一象限是增函数，则为真命题．‎ A.①②③④ B. ②③ C.③④ D.③‎ ‎4.设，则的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天 ‎ 算，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（　 　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 若变量满足，则关于的函数图像大致是（ ）‎ ‎7.方程有解，则的最小值为（ ）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎8.已知函数，其导函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为( )‎ A． B． ‎ C． D. ‎ ‎9.设，若函数在区间上有极值点，则的取值范围为（　 　）‎ A． 　　B . 　　C． 　　D．‎ ‎10.已知函数的值域是，则实数的取值范围是（　 　）‎ A．（0，1] B . C．[1，2] D. ‎ ‎11. 若函数，则关于的不等式的解集为（　 ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：‎ ‎①当时，； ‎ ‎②函数有2个零点； ‎ ‎③的解集为， ‎ ‎④，都有．‎ 其中正确命题的个数是（　 　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知向量夹角为45°，且｜｜＝1，｜｜＝，则｜｜＝ ．‎ ‎14. ．‎ ‎15. 在中，为的对边， 成等比数列，，则＝ ．‎ ‎16.已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17. （本小题满分10分）已知正项等比数列满足成等差数列，且．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式; ‎ ‎（Ⅱ）设,求数列的前项和.‎ ‎18. （本小题满分12分）在△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，且3sinAcosB+bsin2A=3sinC． ‎ ‎（I）求a的值； ‎ ‎（Ⅱ）若A=，求△ABC周长的最大值．‎ ‎19. （本小题满分12分）已知命题：函数在上是增函数；‎ 命题：函数 在区间上没有零点．‎ ‎（1）如果命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）如果命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎20. （本小题满分12分）已知向量，设函数．‎ ‎（1）若函数的图像关于直线对称，且时，求函数的单调增区间；‎ ‎（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．‎ ‎21. （本小题满分12分）某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图2所示，其周长为4m，这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况．如图，ABCD（AB＞AD）为长方形的材料，沿AC折叠后交DC于点P，设△ADP的面积为，折叠后重合部分△ACP的面积为．‎ ‎（Ⅰ）设m，用表示图中的长度，并写出的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求面积最大时，应怎样设计材料的长和宽？‎ ‎（Ⅲ）求面积最大时，应怎样设计材料的长和宽？‎ ‎22. （本小题满分12分）已知函数，．‎ ‎（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若直线是函数图像的切线，求的最小值；‎ ‎（3）当时，若与的图像有两个交点，求证：‎ ‎（注：为自然对数的底数，）．‎ ‎2017—2018学年第一学期赣州市十四县（市）期中联考 ‎ 高三年级数学（理科）试卷答案 ‎1-12.BBDA ABCB CBDC ‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ ‎17.（Ⅰ）设正项等比数列的公比为 由,因为,所以..…………2分 又因为成等差数列,所以 ‎.…………3分 所以数列的通项公式为.…………4分 ‎（Ⅱ）依题意得,则 ‎………… ‎…………‚.…………6分 由‚-得 ‎…9分 所以数列的前项和.…………10分 ‎18.解：（I）∵3sinAcosB+bsin‎2A=3sinC，‎ ‎∴3sinAcosB+bsin‎2A=3sinAcosB+3cosAsinB，.…………3分 ‎∴bsinAcosA=3cosAsinB，∴ba=3b，∴a=3；.…………5分 ‎（Ⅱ）由正弦定理可得，∴b=sinB，c=sinC………7分 ‎∴C△ABC=3+（sinB+sinC）=3+[sin（﹣C）+sinC]=3+sin（+C）…8分 ‎∵0＜C＜，∴＜+C＜，∴＜sin（+C）≤1，.…………10分 ‎∴△ABC周长的最大值为3+．.…………12分 ‎19.解：（1）如果命题p为真命题，‎ ‎∵函数f（x）=x3+ax2+x在R上是增函数，∴f′（x）=3x2+2ax+1≥0对x∈（﹣∞，+∞）恒成立 ‎∴….…………5分 ‎（2）g′（x）=ex﹣1≥0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，∴g（x）在区间[0，+∞）递增 命题q为真命题g（0）=a+1＞0⇒a＞﹣1….…………7分 由命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题知p，q一真一假，.…………8分 若p真q假，则….…………10分 若p假q真，则….…………11分 综上所述，.…………12分 ‎20.解： （1）向量，‎ 函数 ‎（1）∵函数f（x）图象关于直线对称，‎ ‎（k∈Z），.…………3分 解得： （k∈Z），‎ 所以函数f（x）的单调增区间为（k∈Z）．.…………5分 ‎（2）由（1）知（2）由（1）知，‎ ‎∴函数单调递增；.…………7分 函数单调递减. .…………8分 又，∴当时函数f（x）有且只有一个零点．‎ 即.…………10分 ‎ ｛｝.…………12分 ‎21.解：（Ⅰ）由题意，,，.…………1分 设，则，由△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，‎ 由PA2=AD2+DP2，得即：..…………3分 ‎（Ⅱ）记△ADP的面积为，则.…………5分 当且仅当时，取得最大值．‎ 故当材料长为，宽为时，最大．….…………7分 ‎（Ⅲ）‎ 于是令.…………9分 关于的函数在上递增，在上递减，‎ 当时， 取得最大值．‎ 故当材料长为，宽为时， 最大．.…………12分 ‎22.（1）解：h（x）=f（x）﹣g（x）=，则，‎ ‎∵h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ ‎∴对∀x＞0，都有，即对∀x＞0，都有，.…………2分 ‎∵，∴，‎ 故实数a的取值范围是；.…………3分 ‎（2）解：设切点为，则切线方程为，‎ 即，亦即，‎ 令，由题意得， ，.……5分 令，则，.…………6分 当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，‎ ‎∴，‎ 故的最小值为﹣1；.…………7分 ‎（3）证明：由题意知，，‎ 两式相加得 两式相减得即 ‎∴，即，. 9分 不妨令，记，‎ 令，则，‎ ‎∴在上单调递增，则，‎ ‎∴，则，∴，‎ 又，‎ ‎∴，即，.…………10分 令，则时，，∴在上单调递增．‎ 又，‎ ‎∴，‎ 则，即．.…………12分