专题07 圆锥曲线-备战2017高考高三数学（理）全国各地一模金卷分项解析版

专题07 圆锥曲线-备战2017高考高三数学（理）全国各地一模金卷分项解析版

‎【备战2017高考高三数学全国各地一模试卷分项精品】‎ 专题七 圆锥曲线 一、选择题 ‎【2017安徽合肥一模】已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于，两点．为坐标原点．若的面积为1，则的值为（ ）‎ A. 1 B. C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【2017云南师大附中月考】已知实数满足，则的最大值为（ ）‎ A. 6 B. 12 C. 13 D. 14‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 实数满足的区域为椭圆及其内部，椭圆的参数方程为 ‎（为参数），记目标函数，易知 ‎，故．设椭圆上的点，则，其中，所以的最大值为12，故选B．‎ ‎【2017云南师大附中月考】已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线的对称轴与准线交于点，为抛物线上的动点，，当最小时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由已知，，过点作垂直于准线，则．记，则，当最小时，有最小值，此时直线 与抛物线相切于点．设，可得，所以，则，∴，，∴，故选D．‎ ‎【2017山西五校联考】已知点是抛物线上一点，且到抛物线焦点的距离是到直线的距离的倍，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ ，即 ，即或（舍），故选B.‎ ‎【2017湖北武汉武昌区调研】已知双曲线的两条渐近线分别为， ，经过右焦点垂直于的直线分别交 ， 于两点，若，，成等差数列，且 与 反向，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【2017山东菏泽上学期期末】已知圆方程，圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设.由于，所以，联立直线和圆的方程，消去得，，代入式得.‎ ‎【2017山东菏泽上学期期末】已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解，，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键.‎ ‎【2017吉林二调】已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，且双曲线的离心率相同，则双曲线的实轴长是（ ）‎ A. 32 B. 16 C. 8 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为双曲线与双曲线的离心率相同，所以，解得，即双曲线的一条渐近线方程为，即，又因为，的面积为，所以，解得，即右焦点到渐近线的距离为4，所以，解得，即双曲线的实轴长为16.故选B.‎ ‎【点睛】解决本题的技巧是将双曲线的渐近线的斜率、和的面积为 整体进行考虑，得到，进而转化为右焦点到渐近线的距离问题，减少了计算量.‎ ‎【2017江西师大附中、临川一中联考】已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若，则的最小值为 （ ）‎ A. 3 B. C. D. 4‎ ‎【答案】A ‎【2017湖北重点中学联考】已知双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线平行，则双曲线C的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设双曲线的方程为，由题意，则，应选答案A。‎ ‎【2017湖北重点中学联考】若抛物线上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到轴的最短距离为（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设抛物线的焦点为的中点为，准线方程为，则点到准线的距离，即点到准线的距离的最小值为，所以点到轴的最短距离，应选答案D。‎ ‎【2017河北衡水六调】直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【2017河北衡水六调】已知为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为120°，则的离心率为 （ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设双曲线方程为 ，‎ ‎ ‎ 如图所示， ，过点 作 轴，垂足为 ，则 ，在 中， ，即有 ‎，故点 的坐标为，代入双曲线方程得，即为 ，即 ，则，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的性质——离心率；首先根据题意画出图形，过点 作 轴，得到，通过求解直角三角形得到坐标，代入双曲线方程可得 与 的关系，结合的关系和离心率公式，求得双曲线的离心率．‎ ‎【2017江西上饶一模】已知双曲线方程为，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【2017内蒙包头十校联考】双曲线的左右焦点分别为和，为右支上一点，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． 3 B．5 C. D．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【2017内蒙包头十校联考】在平面直角坐标系中，直线：，圆的半径为1，圆心在直线上，若圆上存在点，且在圆:上，则圆心的横坐标的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 点既在圆上，又在圆上，所以圆和圆有公共点，圆 的圆心为 ，半径为1，圆的圆心为 ，半径为2，则圆心距 ，满足 ，解得： ，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了问题的化归与转化能力，巧妙的考查了两圆的位置关系，两圆相离： ；两圆相交： ；两圆内含： ，两圆相外切： ；两圆内切： ，尤其是相交时要注意不等式是两边，很多同学会忘记左边，切记.‎ ‎【2017山西五校联考】已知点是抛物线上一点，且到抛物线焦点的距离是到直线的距离的倍，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎ ，即 ，即或（舍），故选B.‎ ‎【2017山西五校联考】双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【点睛】解析几何中的最值问题，包括几何法和代数法，如几何法经常涉及圆锥曲线的定义和比较明显的平面几何的定理和性质，所以做题时要充分考虑这些定义来进行转化，比如椭圆和双曲线定义涉及两条焦半径，所以给出 ，就联想 ，抛物线有，就联想到准线的距离.‎ ‎【2017广东深圳一模】直线是圆的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由是圆的一条对称轴知，其必过圆心，因此，则过点斜率为1的直线的方程为，圆心到其距离，所以弦长等于，故选C．‎ ‎【2017广东深圳一模】已知是双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段与相交于点，记点到的两条渐近线的距离之积为，若，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 抛物线的焦点为 ，双曲线的一条渐近线为 ，所以所求距离为，选D.‎ ‎【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、， 、为切点，则直线经过定点 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】设 则 即因此、在直线上，直线方程为，又，所以 即，直线经过定点，选A.‎ ‎【2017四川资阳上学期期末】已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解，，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键.‎ 二、填空题 ‎【2017云南师大附中月考】点是圆上的动点，点，为坐标原点，则面积的最小值是__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 因为，直线OQ的方程为y=x，圆心到直线OQ的距离为，所以圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值为，所以面积的最小值为．‎ ‎【2017湖北武汉武昌区调研】已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则 的面积为__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【2017山东菏泽上学期期末】已知为原点，双曲线上有一点，过作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为，平行四边形的面积为1，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 依题意，渐近线方程为，设，过平行于的方程是，与的交点是，，点到的距离是，根据平行四边形面积有，结合，解得，故.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的方程与性质，考查双曲线的渐近线，考查平行四边形面积公式与点到直线距离公式.由于题目是计算平行四边形的面积，根据平行四边形的面积公式，要计算和点到直线的距离，设出上曲线上任一点的坐标后，求出平行直线的方程后联立方程求得焦点的坐标，利用点到直线的距离即可求出的值.‎ ‎【2017四川资阳上学期期末】若直线（都是正实数）与圆相交于两点，当（是坐标原点）的面积最大时，的最大值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 根据题意画出图形，如图所示：‎ 由的面积为可得，为直角三角形，，则点到直线的距离为，即，那么只有当且仅当时，取最大值.‎ ‎【2017吉林二调】过抛物线的焦点作直线交抛物线于，若，则直线的斜率是__________．‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎【2017安徽合肥一模】已知点为椭圆的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆有且仅有一个交点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与轴交于，过点的直线与椭圆交于两不同点，，若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，直线与轴交于 ，‎ ‎ ，‎ 当直线与轴垂直时， ，‎ 由 ，‎ 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， ，‎ 由 ，‎ 依题意得，，且 ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ， ‎ 综上所述，的取值范围是 .‎ ‎【2017云南师大附中月考】已知抛物线，圆，点为抛物线上的动点，为坐标原点，线段的中点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）点是曲线上的点，过点作圆的两条切线，分别与轴交于两点.‎ 求面积的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.‎ ‎（Ⅱ）设切线方程为：，令y=0，解得，‎ 所以切线与x轴的交点为，圆心(2，0)到切线的距离为，‎ ‎∴，‎ 整理得：，‎ 设两条切线的斜率分别为，‎ 则，‎ ‎∴‎ 记，则，‎ ‎∵，‎ ‎∴在上单增，∴，∴，‎ ‎∴面积的最小值为． ‎ ‎【点睛】本题主要考查以抛物线与圆的方程为载体，考查了抛物线的标准方程，考查了直线与圆相切问题，切线的性质，同时考查了利用导数法解决函数的最值问题，综合性较强，正确利用已知条件转化成一元二次方程，再利用韦达定理即可求出面积的函数表达式，再利用函数的单调性即可求出最值.‎ ‎【2017湖北武汉武昌区调研】已知椭圆的中心在坐标原点，，是它的两个顶点，直线 与相交于点，与椭圆相交于 两点.‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求四边形面积的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎（I）依题意，得椭圆的方程为， 1分 直线的方程分别为， 2分 如图设，其中，‎ 满足方程且故，‎ 由知，得， 4分 由点在直线上知，得， 5分 ‎，化简得解得或. 7分 ‎【2017山东菏泽上学期期末】已知椭圆:的离心率为，且与轴的正半轴的交点为，抛物线的顶点在原点且焦点为椭圆的左焦点.‎ ‎（1）求椭圆与抛物线的标准方程；‎ ‎（2）过的两条相互垂直直线与抛物线有四个交点，求这四个点围成四边形的面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）椭圆的标准方程为，抛物线的标准方程为;（2）四边形的面积最小值为96.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设半焦距为，由题意得，∴，∴椭圆的标准方程为.‎ 设抛物线的标准方程为，则，∴，∴抛物线的标准方程为.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的标准方程和基本性质，考查圆锥曲线的弦长公式和最值的求法.第一问利用题目所给的两个条件，待定 两个系数，要注意隐藏条件.第二问四边形是一个矩形，所以只需求出两条边长，利用弦长公式可求得两个边长.求最值的方法主要是基本不等、换元法和导数法等等.‎ ‎【2017四川资阳上学期期末】已知椭圆的左焦点的离心率为是和的等比中项．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）倾斜角为的直线过原点且与交于两点，倾斜角为的直线过且与交于两点，若，求的值．‎ ‎【答案】（1）;(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题可知，椭圆中，解得，所以椭圆的方程是；‎ ‎（2）设倾斜角为的直线为，倾斜角为的直线，‎ ‎①当时，由，知，则，‎ 于是，此时；‎ ‎（2）当时，由，知，且这两条直线的斜率互为相反数，‎ 设，则，‎ 由，可得，‎ 则，‎ 由可得：，‎ 由于，‎ 设与椭圆的两个交点坐标依次为，‎ 于是，‎ ‎∴‎ ‎，综上所述总有．‎ ‎【2017吉林二调】如图，椭圆，点在短轴上，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程及离心率；‎ ‎（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，的坐标分别为 ‎，联立得，‎ 其判别式，所以，，，‎ 从而 ‎，‎ 所以，当时，，‎ 即为定值，‎ 当直线斜率不存在时，直线即为直线，‎ 此时，‎ 故存在常数，使得为定值.‎ ‎【点睛】在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往要先设出直线方程，在设直线方程时，要注意考虑是否需要讨论该直线的斜率存在情况，如该题中当直线直线斜率不存在时，也符合题意.‎ ‎【2017江西师大附中、临川一中联考】已知右焦点为的椭圆与直线相交于、两点，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）为坐标原点，，，是椭圆上不同的三点，并且为的重心，试探究的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎（2）设直线方程为：，‎ 由得，‎ 为重心，， ‎ 点在椭圆上，故有，‎ 可得， ‎ 而，‎ 点到直线的距离（是原点到距离的3倍得到），‎ ‎， ‎ 当直线斜率不存在时，，，，‎ 的面积为定值．‎ ‎【2017湖北重点中学联考】已知椭圆过点，且焦距为2.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设过点的直线与椭圆C交于不同的两点A，B，点，如果，求直线的方程.‎ ‎【答案】 (1) (2) 或.‎ ‎【2017河北衡水六调】已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，当时，．‎ ‎（1）判断的形状，并求抛物线的方程；‎ ‎（2）若两点在抛物线上，且满足，其中点，若抛物线上存在异于的点，使得经过三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，求点的坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】 ‎ ‎(1)设，则切线的方程为，且，所以，‎ ‎，所以，‎ 所以为等腰三角形，且为的中点，‎ 所以，因为，‎ 所以，所以，得，‎ 所以抛物线方程为；‎ ‎【2017江西上饶一模】已知椭圆：，圆：的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为2．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线交椭圆于，两点，若，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1） ；（2）直线的方程为或．‎ ‎（2）由得：，‎ 即，可得，‎ ‎①当垂直轴时，，‎ 此时满足题意，所以此时直线的方程为；‎ ‎②当不垂直轴时，设直线的方程为，‎ 由消去得，‎ 设，，所以，，‎ 代入可得：，‎ 代入，，得，‎ 代入化简得：，解得，‎ 经检验满足题意，则直线的方程为，‎ 综上所述直线的方程为或．‎ ‎【点睛】解析几何解答题的考查，不管问题是什么都会涉及转化与化归能力的考查，比如本题，如何将其转化为熟悉的代数运算是本题的关键，转化为后，即转化为直线方程与圆锥曲线联立，设而不求的思想，代入根与系数的关系，得到结果.‎ ‎【2017内蒙包头十校联考】已知，分别是椭圆的左、右焦点.‎ ‎（1）若点是第一象限内椭圆上的一点，，求点的坐标；‎ ‎（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；（2）.‎ ‎（2）显然不满足题设条件，可设的方程为，‎ 设，‎ 联立 ‎……6分 由 ‎，得.①‎ 又为锐角，‎ ‎……8分 又 ‎.②……11分 综①②可知的取值范围是……12分 ‎【点睛】解析几何中的参数范围的考查是高考经常考的的问题，这类问题，要将几何关系转化为代数不等式的运算，必然会考查转化与化归的能力，将为锐角转化为 ，这样就代入根与系数的关系，转化为解不等式的问题，同时不要忽略.‎ ‎【2017山西五校联考】设点为椭圆的左焦点，直线被椭圆截得弦长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）圆与椭圆交于两点，为线段上任意一点，直线交椭圆于两点为圆的直径，且直线的斜率大于，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎（2）设，则，又， 4分 所以，则，故，‎ 则直线的方程为，即，代入椭圆的方程并整理得，‎ 则，故直线的斜率， 7分 设，由，得，‎ 设，则有， 8分 又，‎ 所以 ‎， 10分 因为，所以，‎ 即的取值范围是． 12分 ‎【2017广东深圳一模】已知椭圆的左右顶点分别为，上下顶点分别为，左右焦点分别为，其中长轴长为4，且圆为菱形的内切圆．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）点为轴正半轴上一点，过点作椭圆的切线，记右焦点在上的射影为，若的面积不小于，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2）由题意，可设直线的方程为，‎ 联立消去得，（*）‎ 由直线与椭圆相切，得，‎ 化简得，‎ 设点，由（1）知，则 ‎，解得，‎ 所以的面积，‎ 代入消去化简得，‎ 所以，解得，即，‎ 从而，又，所以，‎ 故的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．本题注意相切情况的运用，化三角形面积为含一个变量的式子，再利用椭圆范围求解．‎ ‎【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点，‎ ‎ （Ⅰ）若，求曲线的方程； （Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线的另一条渐近线上；‎ ‎（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线过点交曲线于点C、D，求△CDF1 面积的最大值． ‎ ‎【答案】（Ⅰ）和（Ⅱ）详见解析（Ⅲ） ‎ （Ⅱ）曲线的渐近线为 ，如图，设直线 ‎ 则 ‎ ‎ ‎ 又由数形结合知， ‎ 设点，则， ‎ ‎，‎ ‎，即点M在直线上。 ………………7分 ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知，曲线，点 设直线的方程为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设由韦达定理： ‎ ‎ ‎ 令，， ‎ ‎，，当且仅当即时等号成立 ‎ · 时，………………………………….12分 ‎