命题角度2-4 应用正弦定理和余弦定理解实际问题（第01期）-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

命题角度2-4 应用正弦定理和余弦定理解实际问题（第01期）-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

‎2018届高考数学（理）大题狂练 命题角度4：应用正弦定理和余弦定理解实际问题 ‎1.如图，某公司要在A,B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长‎35‎米，CB长为80米，设A,B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β.‎ ‎（1）若α=‎30‎‎∘‎,β=‎‎15‎‎∘‎，求AD的长。‎ ‎（2）设计中CD是铅垂方向（CD垂直于AB），若要求α≥2β，问CD的长至多为多少？‎ ‎【答案】（1）‎115(‎3‎-1)‎‎2‎‎（米）‎；（2）CD的长至多约为‎20‎‎2‎米.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用正弦定理求解即可；‎ ‎（2）利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．‎ ‎2. 某兴趣小组测量电视塔的高度（单位：m），如图所示，垂直放置的标杆的高度，仰角．‎ ‎（1）该小组已经测得一组的值，，请据此算出的值；‎ ‎（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离（单位：），使与的差较大，可以提高测量精确度，若电视塔高度为‎125m，问为多大时，最大？‎ ‎【答案】（1）米 （2）当时，最大．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）在直角中，可得，在直角中可得，再根据，即可求解的值；（2）先用表示出和，再根据两角和的公式，求出，利用基本不是可知当时，有最大值，即可得到答案．‎ 试题解析：（1）由及，得 ‎，解得．‎ 因此，算出的电视塔的高度是124m．‎ 考点：解三角形的实际应用．‎ ‎3.某海轮以‎30‎公里/小时的速度航行，在点A测得海上面油井P在南偏东‎60‎‎∘‎，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东‎30‎‎∘‎，海轮改为北偏东‎60‎‎∘‎的航向再行驶40分钟到达C点.‎ ‎（1）求PC间的距离；‎ ‎（2）在点C测得油井的方位角是多少？‎ ‎【答案】（1）‎40‎；（2）‎40‎ .‎ ‎【解析】试题分析：（1）在ΔABP中，根据正弦定理，求BP，再利用余弦定理算出PC的长，即可算出P,C两地间的距离；（2）根据内错角相等可证明CP//AB，从而可得出结论.‎ ‎4.如图，某生态园将一块三角形地的一角开辟为水果园，已知角为， 的长度均大于200米，现在边界处建围墙，在处围竹篱笆.‎ ‎（1）若围墙、总长度为200米，如何可使得三角形地块面积最大？‎ ‎（2）已知竹篱笆长为米， 段围墙高1米， 段围墙高2米，造价均为每平方米100元，若，求围墙总造价的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1） (米)， (米2)；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)设 ，利用题意列出面积的表达式，最后利用均值不等式求解最值即可，注意讨论等号成立的条件和实际问题的定义域；‎ ‎(2)利用题意结合正弦定理求得围墙造价的函数解析式，利用三角形的性质求得 的范围即可求得造价的取值范围.‎ 试题解析：‎ 设 (米)，则,所以 (米2)‎ 当且仅当时，取等号。即 (米)， (米2)‎ ‎(2)由正弦定理， 得 故围墙总造价 ‎ 因为， 所以， ‎ 所以围墙总造价的取值范围为 (元)‎ ‎5.如图，有一码头和三个岛屿， ， ， .‎ ‎（1）求两个岛屿间的距离；‎ ‎（2）某游船拟载游客从码头前往这三个岛屿游玩，然后返回码头 ‎.问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎（2）因为，所以，‎ 在中， ，由余弦定理得，‎ ‎，‎ 根据“两点之间线段最短”可知，‎ 最短航线是“”或“”，‎ 其航程为.‎ 所以应按航线“”或“”航行，‎ 其航程为.‎ ‎6.如图， 是一块半径为 ，圆心角为的扇形空地.现决定在此空地上修建一个矩形的花坛 ，其中动点 在扇形的弧上，记 .‎ ‎ ‎ ‎(1)写出矩形 的面积 与角 之间的函数关系式；‎ ‎(2)当角 取何值时，矩形 的面积最大？并求出这个最大面积.‎ ‎【答案】（1） （2）时，S取得最大值 ‎【解析】试题分析：(1)由 ‎ ‎， ；(2)化简得  .再由 当时，矩形CDEF的面积S取得最大值.‎ 试题解析：(1)因为： ，  所以， ， 所以， .‎ ‎(2)  ‎ ‎     =.  因为， 所以， 所以当，即时，矩形CDEF的面积S取得最大值.‎ ‎【点睛】本题的主要步骤有：‎ 利用三角函数的定义求得 ,再由矩形的面积公式求得函数；‎ 利用三角恒等变换化简函数的表达式；‎ 利用正弦函数图像求得最值.‎ ‎7.如下图，为对某失事客轮进行有效援助，现分别在河岸选择两处、用强光柱进行辅助照明，其中、、、在同一平面内．现测得长为‎100米，，，，．‎ ‎（1）求△的面积；‎ ‎（2）求船的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（2）由题意，，，‎ 在△中，，即，‎ ‎∴，‎ 在△中，‎ ‎，‎ 在△中，．‎ 故船长为米．‎ 考点：正、余弦定理的应用．‎ ‎8.如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，．‎ ‎（Ⅰ）求大学与站的距离；‎ ‎（Ⅱ）求铁路段的长．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）在中，利用已知及余弦定理即可解得的值；（Ⅱ）由，且为锐角，可求，由正弦定理可得，结合，可求，，，结合，由正弦定理即可解得的值．‎ ‎（II）∵，且为锐角，∴，‎ 在中，由正弦定理得，，‎ 即，∴，∴，‎ ‎∴，∵，∴，，‎ ‎∴，又，∴，‎ 在中，，由正弦定理得，，‎ 即，∴，即铁路段的长为．‎ 考点：1、正弦定理，余弦定理；2、同角三角函数关系式，诱导公式的应用．‎ ‎9.如图所示， 是某海湾旅游区的一角，为营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定建立面积为平分千米的三角形主题游戏乐园，并在区域建立水上餐厅.‎ 已知， .‎ ‎（1）设， ，用表示，并求的最小值；‎ ‎（2）设（为锐角），当最小时，用表示区域的面积，并求的最小值.‎ ‎【答案】(1) ;(2)S= ,8－.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由S△ACB＝AC·BC·sin∠ACB＝4得，BC＝，‎ 在△ACB中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，‎ 即y2＝x 2＋＋16，‎ 所以y＝‎ y＝≥＝4，‎ 当且仅当x2＝，即x＝4时取等号．‎ 所以当x＝4时，y有最小值4．‎ ‎（2）由（1）可知，AB＝4，AC＝BC＝4，所以∠BAC＝30°，‎ 在△ACD中，由正弦定理，CD＝＝＝，‎ 在△ACE中，由正弦定理，CE＝＝＝，‎ 所以，S＝CD·CE·sin∠DCE＝＝．‎ 因为θ为锐角，‎ 所以当θ＝时，S有最小值8－4． ‎ ‎10.某学校的平面示意图为如下图五边形区域，其中三角形区域为生活区，四边形区域为教学区， 为学校的主要道路（不考虑宽度）. .‎ ‎（1）求道路的长度；（2）求生活区面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【解析】试题分析：(1)连接BD，由余弦定理可得BD，由已知可求 ， ，可得 ，利用勾股定理即可得解 的值． (2)设 ，由正弦定理，可得 ，利用三角函数恒等变换的应用化简可得，结合范围3，利用正弦函数的性质可求面积的最大值，从而得解．‎ ‎（2）设，∵，∴.‎ 在中，由正弦定理，得，‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴当，即时， 取得最大值为，‎ 即生活区面积的最大值为.‎