数学理卷·2017届河南省南阳市第一中学高三上学期第五次周考（12

数学理卷·2017届河南省南阳市第一中学高三上学期第五次周考（12

‎ ‎ 数学（理）试题（12.24）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若复数满足，则的虚部为（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎3.下面的程序框图输出的值为（ ）‎ A．16 B．32 C．64 D．128 ‎ ‎4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若，，则；②若，，且，则；‎ ‎③若，，则；④若，，且，则.‎ 其中正确命题的序号是（ ）‎ A．①④ B．②③ C.②④ D．①③‎ ‎6.从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单，要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有（ ）‎ A．14种 B．48种 C. 72种 D．120种 ‎7.在中，若，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知两点，，为坐标原点，点在第二象限，且，设，则（ ）‎ A．-1 B． C. D．1‎ ‎9.已知，点在抛物线上，过点的直线与直线垂直相交于点，，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎11.已知为原点，双曲线上有一点，过作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为，平行四边形的面积为1，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.如图，已知直线，垂足为，在中，，，，点是边上的动点.该三角形在空间按以下条件作自由移动：（1），（2），则的最大值为（ ）‎ A．2 B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.，则的值等于 ．‎ ‎14.在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ．‎ ‎15.在正三棱锥中，是的中点，且，底面边长，则其外接球的表面积为 ．‎ ‎16.定义域为的函数图象上两点，，是图象任意一点，其中，.已知向量，若不等式对任意恒成立，则称函数在上“阶线性近似”，若函数在上“阶线性近似”，则实数的取值范围为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知平面上三点，，.‎ ‎（1）若，（为坐标原点），求向量与夹角的大小；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知等差数列满足：，，该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列，且.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 某校高二奥赛班名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如下，已知分数在的学生有21人.‎ ‎（1）求总人数和分数在分的人数；‎ ‎（2）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩（满分150分）、物理成绩进行分析，该生7次考试的成绩如下表：‎ 已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？‎ 附：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图所示的几何体中，，都是等边三角形，且所在平面平行，四边形为正方形，且所在平面垂直于平面.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正切值.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 如图，椭圆经过点，离心率.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为（与不重合），则直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说=说明理由.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知函数（为常数，为自然对数的底数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）讨论关于的方程的根的个数.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. -2 14.112 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）因为，，‎ 所以，‎ ‎18.（1）设为等差数列的公差，，‎ 由，，，分别加上1,1,3后成等比数列，‎ 所以，，‎ 又，即 ‎（2）由（1）知，‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎①-②，得：‎ ‎19.解：（1）分数在内的学生的频率为，所以该班总人数为.‎ 分数在内学生的频率为，分数在内的人数.‎ ‎（2）；；‎ 由于与之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到 ‎，，线性回归方程为.‎ 当时，.考点：频率分布直方图，线性回归方程.‎ ‎20.解;（Ⅰ）取的中点，的中点，连接.则，又 ‎，所以，同理，所以，又易得，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以.‎ ‎（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，.‎ 设平面的一个法向量是，则 ‎，‎ 令，得.‎ 设平面的一个法向量是，则 ‎，令，得.‎ 所以，‎ 易知二面角为锐二面角，故其余弦值为，‎ 所以二面角的正切值为.‎ 考点：1.平面与平面垂直的判定方法；2.二面角的求法.‎ ‎21.解：（1）依题意可得，解得，.所以，椭圆的方程是.‎ ‎（2）由得 设，则，且，，‎ 经过点，的直线方程为.‎ 令，则 又，.‎ 当时，‎ 这说明，直线与轴交于定点.‎ 考点：1.椭圆的定义与性质；2.直线与椭圆的位置关系.‎ ‎22.解：（1）是奇函数，，即恒成立，，，即恒成立，故.‎ ‎（2）由（1）知，，，要使是区间上的减函数，则有恒成立，.‎ 又，要使在上恒成立，只需 时恒成立即可，（其中）恒成立即可.令 ‎，则，即，而恒成立，.‎ ‎（3）由（1）知方程，即，‎ 令，，‎ 当时，，在上为增函数；‎ 当时，，在上为减函数；‎ 当时，.而 当时，是减函数，当时，是增函数，‎ 当时，.故当，即时，方程无实根；‎ 当，即时，方程有一个根；‎ 当，即时，方程有两个根.‎ 考点：1.函数的奇偶性；2.导数与函数的单调性；3.函数与方程.‎