宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期第5次周练卷数学（文）试题

宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期第5次周练卷数学（文）试题

‎2019-2020学年高三年级第二学期数学（文）第5次周测 时间：2020年4月27日 16:25—17:05‎ 班级________． 姓名________． 得分________．‎ ‎（提示：这是你上学期做过的题目）‎ ‎1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．‎ ‎2.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)过点(0，)，且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设直线x＝my－1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G(－，0)与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．‎ ‎3. 设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．‎ ‎①当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；‎ ‎②证明：∠ABM＝∠ABN.‎ ‎4.设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.‎ ‎(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；‎ ‎(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．‎ ‎ ‎ ‎ 答案：‎ ‎1. 解　(1)由题意有＝，＋＝1，‎ 解得a2＝8，b2＝4.‎ 所以C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：法一：设直线l：y＝kx＋b1(k≠0，b≠0)，‎ A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．‎ 将y＝kx＋b代入＋＝1，‎ 得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.‎ 故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.‎ 于是直线OM的斜率kOM＝＝－，‎ 即kOM·k＝－.‎ 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．‎ 法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，‎ 则 ‎①－②得＋＝0，‎ 即·＝－.‎ 又y1＋y2＝2y0，x1＋x2＝2x0，∴·kAB＝－.‎ kOM·kAB＝－.‎ 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值－.‎ ‎ ‎ ‎2. 解　(1)过程略，椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)点G(－，0)在以线段AB为直径的圆内，解答如下：‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为G(－，0)，‎ 所以＝(x1＋，y1)，＝(x2＋，y2)．‎ 联立x＝my－1与＋＝1，得 ‎(m2＋2)y2－2my－3＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝－，从而·＝(x1＋)(x2＋)＋y1y2＝(my1＋)(my2＋)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋＝－＋＝＞0.‎ ‎3. 解　①当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2)．‎ 所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.‎ ‎②证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，‎ 所以∠ABM＝∠ABN.‎ 当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，‎ M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.‎ 由得ky2－2y－4k＝0，‎ 可知y1＋y2＝，y1y2＝－4.‎ 直线BM，BN的斜率之和为kBM＋kBN＝＋＝.①‎ 将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.‎ 所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.‎ 综上，∠ABM＝∠ABN.‎ ‎4. 解　(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.‎ 因为△ABF2的周长为16，‎ 所以由椭圆定义可得4a＝16，‎ ‎|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.‎ 故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.‎ ‎(2)设|F1B|＝k，‎ 则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.‎ 由椭圆定义可得 ‎|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.‎ 在△ABF2中，由余弦定理可得 ‎|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，‎ 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，‎ 化简可得(a＋k)(a－3k)＝0.‎ 而a＋k>0，故a＝3k.‎ 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.‎ 因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，‎ 故△AF1F2为等腰直角三角形．‎ 从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.‎