数学（理）卷·2017届湖南师大附中高三上学期第四次月考（2016

数学（理）卷·2017届湖南师大附中高三上学期第四次月考（2016

湖南师大附中 2017 届高三月考试卷(四) 数　学(理科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 8 页。时量 120 分钟。满分 150 分。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)复数 4－2i （1＋i）2＝(D) (A)1－2i (B)1＋2i (C)－1＋2i (D)－1－2i (2)执行如图所示的程序框图，则输出的 i 值为(B) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 (3)设向量 a，b 均为单位向量，且|a＋b|＝1，则 a 与 b 夹角为(C) (A)π 3 (B)π 2 (C)2π 3 (D)3π 4 (4)设 m、n 是两条不同的直线，α、β 是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若 m⊥α，n∥α，则 m⊥n；②若 m∥n，n∥α，则 m∥α；③若 m∥n，n⊥β，m∥ α，则 α⊥β；④若 m∩n＝A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则 α∥β. 其中真命题的个数是(C) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (5)已知函数 y＝ax，y＝xb，y＝logcx 的图象如图所示，则(C) (A)a>b>c (B)a>c>b (C)c>a>b (D)c>b>a (6)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的 半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是π，则它的表面积是(D) (A) π (B) 4π 3 (C) 3π (D) 4π (7)已知数列{an}，{bn}满足 a1＝1，且 an，an＋1 方程 x2－bnx＋2n＝0 的两根，则 b10 等于 (D) (A)24 (B)32 (C)48 (D)64 (8)从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天， 要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有(B) (A)40 种 (B)60 种 (C)100 种 (D)120 种 (9)已知 F1、F2 分别是双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1 的左、右焦点，若 F2 关于渐近线的对称点 恰落在以 F1 为圆心，|OF1|为半径的圆上(O 为原点)，则双曲线 C 的离心率为(D) (A) 3 (B)3 (C) 2 (D)2 (10)如果对于任意实数 x，[x]表示不超过 x 的最大整数. 例如[3.27]＝3，[0.6]＝0.那么“[x] ＝[y]”是“|x－y|<1”的(A) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (11)设直线 l：3x＋4y＋a＝0，圆 C：(x－2)2＋y2＝2，若在圆 C 上存在两点 P，Q，在直 线 l 上存在一点 M，使得∠PMQ＝90°，则 a 的取值范围是(C) (A)[－18，6] (B)[6－5 2，6＋5 2] (C)[－16，4] (D)[－6－5 2，－6＋5 2] (12)若函数 f(x)＝{kx＋1，x ≤ 0， ln x，x＞0， 则当 k>0 时，函数 y＝f[f(x)]＋1 的零点个数为(D) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】结合图象分析．当 k>0 时，f[f(x)]＝－1，则 f(x)＝t1∈(－∞，－1 k)或 f(x)＝t2∈ (0，1)．对于 f(x)＝t1，存在两个零点 x1、x2；对于 f(x)＝t2，存在两个零点 x3、x4，共存在 4 个零点，故选 D. 选择题答题卡 题　 号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 答　 案 D B C C C D D B D A C D 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作 答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分． (13)在二项式(x2－2 x)5 的展开式中，x 的一次项系数为__－80__．(用数字作答) (14)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堢 瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以 高乘之，十二而一”．这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之， 十二而一．”就是说：圆堢瑽(圆柱体)的体积 V＝ 1 12×(底面的圆周长的平方×高)，则该问 题中圆周率π的取值为__3__． 【解析】由题意，圆堢瑽(圆柱体)底面的圆周长 48 尺，高 11 尺，体积为 2 112(立方) 尺，设圆堢瑽(圆柱体)的底面半径为 r，则{2πr＝48 πr2 × 11＝2 112 ，解得π＝3, r＝8，故答案 为：3. (15)若 x，y 满足{（x－y）（x＋y－1） ≥ 0， 0 ≤ x ≤ 1 ，则 2x＋y 的取值范围是__[0，3]__． (16)函数 f(x)＝sin (ωx＋φ)的导函数 y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，A，C 为图象与 x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．若在曲线段ABC ︵ 与 x 轴所围成的区域内随机取一点， 则该点在△ABC 内的概率为__ π 4 __． 【解析】由 f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)知|AC|＝ π ω，|yB|＝ω，所以 S△ABC＝1 2·|AC|·|y B|＝ π 2 ， 设 A(x0，0) ，则 ωx0＋φ＝ π 2 ，C(x0＋π ω，0)， 设曲线段ABC ︵ 与 x 轴所围成的区域的面积为 S，则 S＝|∫x0＋ π ωx0f′(x)dx|＝－∫x0＋ π ωx0f′(x)dx＝－f(x)|x0＋ π ωx0＝f(x0)－f(x0＋π ω) ＝sin(ωx0＋φ)－sin(ω(x0＋π ω)＋φ)＝sin π 2 －sin3π 2 ＝2. 所以该点在△ABC 内的概率 P＝S △ ABC S ＝ π 2 2 ＝ π 4 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分 12 分) 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，函数 f(x)＝2sin(x－A)cos x＋sin(B ＋C)(x∈R)，f(x)的图象关于点(π 6 ，0)对称． (Ⅰ)当 x∈(0， π 2 )时，求 f(x)的值域； (Ⅱ)若 a＝7 且 sin B＋sin C＝13 3 14 ，求△ABC 的面积． 【解析】(Ⅰ)f(x)＝2sin(x－A)cos x＋sin(B＋C) ＝2(sin xcos A－cos xsin A)cos x＋sin A ＝2sin xcos xcos A－2cos2xsin A＋sin A ＝sin 2xcos A－cos2xsin A＝sin(2x－A)， 由函数 f(x)的图象关于点(π 6 ，0)对称，知 f(π 6 )＝0， 即 sin (π 3 －A)＝0，又 0＜A＜π，故 A＝ π 3 ，所以 f(x)＝sin(2x－π 3 )， 当 x∈(0， π 2 )时，2x－ π 3 ∈(－π 3 ， 2π 3 )， 所以－ 3 2 ＜sin(2x－π 3 )≤1.即 f(x)的值域为(－ 3 2 ，1]； (Ⅱ)由正弦定理得 a sin A＝ b sin B＝ c sin C＝14 3，则 sin B＝ 3 14b，sin C＝ 3 14c， 所以 sin B＋sin C＝ 3 14(b＋c)＝13 3 14 ，即 b＋c＝13， 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，得 49＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，从而 bc＝40， 则△ABC 的面积为 S＝1 2bcsin A＝1 2×40× 3 2 ＝10 3. (18)(本小题满分 12 分) 某络营销部门为了统计某市友 2016 年 11 月 11 日在某淘宝店的购情况，随机抽查了该 市当天 60 名友的购金额情况，得到如下数据统计表(如表)： 购金额 (单位：千元) 频数 频率 (0，0.5] 3 0.05 (0.5，1] x p (1，1.5] 9 0.15 (1.5，2] 15 0.25 (2，2.5] 18 0.30 (2.5，3] y q 合计 60 1.00 　　 若购金额超过 2 千元的顾客定义为“购达人”，购金额不超过 2 千元的顾客定义为“非 购达人”，已知“非购达人”与“购达人”人数比恰好为 3∶2. (Ⅰ)试确定 x，y，p，q 的值，并补全频率分布直方图(如图)． (Ⅱ)该营销部门为了进一步了解这 60 名友的购物体验，从“非购达人”、“购达人”中 用分层抽样的方法确定 10 人，若需从这 10 人中随机选取 3 人进行问卷调查．设 ξ 为选取的 3 人中“购达人”的人数，求 ξ 的分布列和数学期望． 【解析】(Ⅰ)根据题意，有{3＋x＋9＋15＋18＋y＝60 18＋y 3＋x＋9＋15＝2 3 ， 解得{x＝9 y＝6 . ∴p＝0.15，q＝0.10. 补全频率分布直方图如图所示． (Ⅱ)用分层抽样的方法，从中选取 10 人， 则其中“购达人”有 10×2 5＝4 人， “非购达人”有 10×3 5＝6 人．故 ξ 的可能取值为 0，1，2，3；P(ξ＝0)＝ C40C63 C103 ＝1 6，P(ξ ＝1)＝ C41C62 C103 ＝1 2，P(ξ＝2)＝ C42C61 C103 ＝ 3 10，P(ξ＝3)＝ C43C60 C103 ＝ 1 30. 所以 ξ 的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 ∴E(ξ)＝0×1 6＋1×1 2＋2× 3 10＋3× 1 30＝6 5. (19)(本小题满分 12 分) 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E，F 分别为 BC，DA 的中点．将正方形 ABCD 沿着 线段 EF 折起，使得∠DFA＝60°. 设 G 为 AF 的中点． (Ⅰ)求证：DG⊥EF； (Ⅱ)求直线 GA 与平面 BCF 所成角的正弦值； (Ⅲ)设 P，Q 分别为线段 DG，CF 上一点，且 PQ∥平面 ABEF，求线段 PQ 长度的最小 值． 【解析】(Ⅰ)因为正方形 ABCD 中，E，F 分别为 BC，DA 的中点，所以 EF⊥FD，EF⊥ FA，将正方形 ABCD 沿着线段 EF 折起后，仍有 EF⊥FD，EF⊥FA，而 FD∩FA＝F， 所以 EF⊥平面 DFA.又因为 DG平面 DFA，所以 DG⊥EF. (Ⅱ) 因 为 ∠DFA ＝ 60° ， DF ＝ FA ， 所 以 △DFA 为 等 边 三 角 形 ， 又 AG ＝ GF ， 故 DG⊥FA. 由(Ⅰ)，DG⊥EF，又 EF∩FA＝F，所以 DG⊥平面 ABEF. 设 BE 的中点为 H，连接 GH，则 GA，GH，GD 两两垂直，故以 GA，GH，GD 分别为 x 轴、y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系如图， 则 G(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，4，0)，C(0，4， 3)，F(－1，0，0), 所以GA → ＝(1，0，0)，BC → ＝(－1，0， 3)，BF → ＝(－2，－4，0)． 设平面 BCF 的一个法向量为 m＝(x，y，z), 由 m·BC → ＝0，m·BF → ＝0，得{－x＋ 3z＝0， －2x－4y＝0， 令 z＝2，得 m＝(2 3，－ 3，2)． 设直线 GA 与平面 BCF 所成角为 α， 则 sin α＝|cos〈m，GA → 〉|＝ |m·GA → | |m||GA → | ＝2 57 19 . 即直线 GA 与平面 BCF 所成角的正弦值为2 57 19 . (Ⅲ)由题意，可设 P(0，0，k)(0≤k≤ 3)，FQ → ＝λFC → (0≤λ≤1)， 由FC → ＝(1，4， 3)，得FQ → ＝(λ，4λ， 3λ)， 所以 Q(λ－1，4λ， 3λ)，PQ → ＝(λ－1，4λ， 3λ－k)． 由(Ⅱ)，得GD → ＝(0，0， 3)为平面 ABEF 的法向量． 因为 PQ∥平面 ABEF，所以PQ → ·GD → ＝0，即 3λ－k＝0. 所以|PQ → |＝ （λ－1）2＋（4λ）2＋（ 3λ－k）2＝ （λ－1）2＋（4λ）2＝ 17λ2－2λ＋1， 又因为 17λ2－2λ＋1＝17(λ－ 1 17)2 ＋16 17，所以当 λ＝ 1 17时，|PQ → |min＝4 17 17 . 所以当 λ＝ 1 17，k＝ 3 17时，线段 PQ 长度有最小值4 17 17 . (20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 E：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为1 2，以 E 的四个顶点为顶点的四边形的面积为 4 3. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程； (Ⅱ)设 A，B 分别为椭圆 E 的左、右顶点，P 是直线 x＝4 上不同于点(4，0)的任意一点， 若直线 AP，BP 分别与椭圆相交于异于 A，B 的点 M、N，试探究，点 B 是否在以 MN 为直 径的圆内？证明你的结论． 【解析】(Ⅰ)依题意得c a＝1 2，1 2·2a·2b＝4 3，又 a2＝b2＋c2，由此解得 a＝2，b＝ 3.所 以椭圆 E 的方程为 x2 4＋y2 3＝1. (Ⅱ)点 B 在以 MN 为直径的圆内．证明如下： 方法 1：由(Ⅰ)得 A(－2，0)，B(2，0)．设 M(x0，y0)． ∵M 点在椭圆上，∴y02＝3 4(4－x02)．　① 又点 M 异于顶点 A、B，∴－20，∴BM → ·BP → >0，于是∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点 B 在以 MN 为直径的圆内． 方法 2：由(Ⅰ)得 A(－2，0)，B(2，0)．设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则－20，使(x0－k)f′(x0)＋x0＋1<0，求 k 的最小值． 【解析】(Ⅰ) 若 a≤0，则对一切 x>0，f(x)＝eax－x<1，这与题设矛盾， 故 a>0.而 f′(x)＝aeax－1，令 f′(x)＝0，得 x＝1 aln1 a. 当 x<1 aln 1 a时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当 x>1 aln 1 a时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 故当 x＝1 aln 1 a时，f(x)取最小值 f(1 aln 1 a )＝1 a－1 aln1 a. 于是对一切 x∈R，f(x)≥1 恒成立，当且仅当1 a－1 aln1 a≥1.　① 令 g(t)＝t－tln t，则 g′(t)＝－ln t. 当 00，g(t)单调递增；当 t>1 时，g′(t)<0，g(t)单调递减. 故当 t＝1 时，g(t)取最大值 g(1)＝1.因此，当且仅当1 a＝1 即 a＝1 时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{1}. (Ⅱ)a＝1 时，f′(x)＝ex－1, 所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1, 故当 x>0 时， (x－k)f′(x)＋x＋1<0 等价于 k> x＋1 ex－1＋x，　② 令 h(x)＝ x＋1 ex－1＋x(x>0)，则 h′(x)＝ －xex－1 （ex－1）2＋1＝ ex（ex－x－2） （ex－1）2 ， 令 φ(x)＝ex－x－2(x>0)，则 φ′(x)＝ex－1 >0，φ(x)在(0, ＋∞)上单调递增，而 φ(1)<0，φ (2)>0，所以 φ(x)在(0, ＋∞)上存在唯一的零点，亦即 h′(x)在(0, ＋∞)上存在唯一的零点，设 此零点为 α， 则 α∈(1，2)，eα＝α＋2， 当 x∈(0，α)时， h′(x)<0；当 x∈(α，＋∞)时， h′(x)>0，所以 h(x)在(0，＋∞)上 的最小值为 h(α) ，而 h(α)＝ α＋1 eα－1＋α＝α＋1∈(2，3)， 而由②知，存在 x0>0，使(x0－k)f′(x0)＋x0＋1<0 等价于 k>h(α)，所以整数 k 的最小值为 3. 请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分，作答时请 写清题号． (22)(本题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为{x＝2cos α y＝2＋2sin α(α 为参数)，M 为 C1 上的 动点，P 点满足OP → ＝2OM → ，点 P 的轨迹为曲线 C2. (Ⅰ)求 C2 的普通方程； (Ⅱ)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 θ＝ π 3 与 C1 的异于极点的 交点为 A，与 C2 的异于极点的交点为 B，求|AB|. 【解析】(Ⅰ)设 P(x，y)，则由条件知 M(x 2， y 2 ). 由于 M 点在 C1 上，所以 {x 2＝2cos α， y 2＝2＋2sin α ，即 {x＝4cos α， y＝4＋4sin α ，消去参数 α 得 x2＋(y－4)2＝16, 即 C2 的普通方程为 x2＋(y－4)2＝16. (Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ＝4sin θ，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝8sin θ. 射线 θ＝ π 3 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1＝4sin π 3 ， 射线 θ＝ π 3 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2＝8sin π 3 . 所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2 3. (23)(本题满分 10 分)选修 4—5：不等式选讲 已知函数 f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且 f(x＋2)≥0 的解集为[－1，1]． (Ⅰ)求 m 的值； (Ⅱ)若 a，b，c∈R＋，且1 a＋ 1 2b＋ 1 3c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. 【解析】(Ⅰ)因为 f(x)＝m－|x－2|，所以 f(x＋2)≥0 等价于|x|≤m， 由|x|≤m 有解，得 m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}，又 f(x＋2)≥0 的解集为[－1，1]， 故 m＝1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知1 a＋ 1 2b＋ 1 3c＝1，a，b，c∈R＋， 方法 1：由基本不等式得： a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(1 a＋ 1 2b＋ 1 3c) ＝3＋(2b a ＋ a 2b)＋(3c 2b＋2b 3c)＋( a 3c＋3c a ) ≥3＋2＋2＋2＝9. 方法 2：由柯西不等式得 a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(1 a＋ 1 2b＋ 1 3c)≥( a· 1 a ＋ 2b· 1 2b ＋ 3c· 1 3c)2 ＝9.