2015届高考数学二轮专题训练：专题七 第3讲 统计与统计案例

2015届高考数学二轮专题训练：专题七 第3讲 统计与统计案例

第3讲　统计与统计案例 考情解读　1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中、低档题．‎ ‎1．随机抽样 ‎(1)简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．‎ ‎(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．‎ ‎(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．‎ ‎2．常用的统计图表 ‎(1)频率分布直方图 ‎①小长方形的面积＝组距×＝频率；‎ ‎②各小长方形的面积之和等于1；‎ ‎③小长方形的高＝，所有小长方形的高的和为.‎ ‎(2)茎叶图 在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．‎ ‎3．用样本的数字特征估计总体的数字特征 ‎(1)众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)‎ 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 ‎(2)方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．‎ 标准差：‎ s＝ .‎ ‎4．变量的相关性与最小二乘法 ‎(1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数．‎ ‎(2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，通过求Q＝(yi－a－bxi)2最小时，得到线性回归方程＝x＋的方法叫做最小二乘法．‎ ‎5．独立性检验 对于取值分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X和Y，其样本频数列联表是 y1‎ y2‎ 总计 x1‎ a b a＋b x2‎ c d c＋d 总计 a＋c b＋d n 则K2(χ2)＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．‎ 热点一　抽样方法 例1　(1)(2013·陕西)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为(　　)‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎(2)(2014·石家庄高三调研)某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．‎ 思维启迪　(1)系统抽样时需要抽取几个个体，样本就分成几组，且抽取号码的间隔相同；(2)分层抽样最重要的是各层的比例．‎ 答案　(1)B　(2)200‎ 解析　(1)由＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为＝＝12.‎ ‎(2)本题属于分层抽样，设该学校的教师人数为x，所以＝，所以x＝200.‎ 思维升华　(1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的；(2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．‎ ‎　(1)某校高一、高二、高三分别有学生人数为495,493,482，现采用系统抽样方法，抽取49人做问卷调查，将高一、高二、高三学生依次随机按1,2,3，…，1 470编号，若第1组有简单随机抽样方法抽取的号码为23，则高二应抽取的学生人数为(　　)‎ A．15 B．16 C．17 D．18‎ ‎(2)(2014·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　)‎ A．200,20 B．100,20‎ C．200,10 D．100,10‎ 答案　(1)C　(2)A 解析　(1)由系统抽样方法，知按编号依次每30个编号作为一组，共分49组，高二学生的编号为496到988，在第17组到第33组内，第17组抽取的编号为16×30＋23＝503，为高二学生，第33组抽取的编号为32×30＋23＝983，为高二学生，故共抽取高二学生人数为33－16＝17，故选C.‎ ‎(2)该地区中、小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，‎ 则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20，故选A.‎ 热点二　用样本估计总体 例2　(1)(2014·山东)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(　　)‎ A．6 B．8 C．12 D．18‎ ‎(2)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/每立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是(　　)‎ A．甲 B．乙 C．甲乙相等 D．无法确定 甲 乙 ‎2‎ ‎0.04‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎0.05‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0.06‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎0.07‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎0.08‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎0.09‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ 思维启迪　(1)根据第一组与第二组的人数和对应频率估计样本总数，然后利用第三组的频率和无疗效人数计算；(2)直接根据公式计算方差．‎ 答案　(1)C　(2)A 解析　(1)志愿者的总人数为＝50，‎ 所以第三组人数为50×0.36＝18，‎ 有疗效的人数为18－6＝12.‎ ‎(2)＝(0.042＋0.053＋0.059＋0.061＋0.062＋0.066＋0.071＋0.073＋0.073＋0.084＋0.086＋0.097)÷12≈0.068 9，‎ ＝(0.041＋0.042＋0.043＋0.046＋0.059＋0.062＋0.069＋0.079＋0.087＋0.092＋0.094＋0.096)÷12≈0.067 5，‎ s2＝[(0.042－0.068 9)2＋(0.053－0.068 9)2＋…＋(0.097－0.068 9)2]≈0.000 212.‎ s2＝[(0.041－0.067 5)2＋(0.042－0.067 5)2＋…＋(0.096－0.067 5)2]≈0.000 429.‎ 所以甲、乙两地浓度的方差较小的是甲地．‎ 思维升华　‎ ‎(1)反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的均值、众数和中位数、方差等．‎ ‎(2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小．‎ ‎　(1)某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为________万元．‎ ‎(2)(2014·陕西)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为(　　)‎ A．1＋a,4 B．1＋a,4＋a C．1,4 D．1,4＋a 答案　(1)10　(2)A 解析　(1)由频率分布直方图可知：‎ ＝，所以x＝10.‎ ‎(2)＝1，yi＝xi＋a，‎ 所以y1，y2，…，y10的均值为1＋a，方差不变仍为4.‎ 故选A.‎ 热点三　统计案例 例3　(1)以下是某年2月某地区搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据.‎ 房屋面积x/m2‎ ‎115‎ ‎110‎ ‎80‎ ‎135‎ ‎105‎ 销售价格y/万元 ‎24.8‎ ‎21.6‎ ‎18.4‎ ‎29.2‎ ‎22‎ 根据上表可得线性回归方程＝x＋中的＝0.196 2，则面积为150 m2的房屋的销售价格约为________万元．‎ ‎(2)(2014·江西)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是(　　)‎ 表1‎ ‎ 成绩 性别 不及格 及格 总计 男 ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ 女 ‎10‎ ‎22‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 表2‎ ‎ 视力 性别 好 差 总计 男 ‎4‎ ‎16‎ ‎20‎ 女 ‎12‎ ‎20‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 表3‎ ‎ 智商 性别 偏高 正常 总计 男 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 女 ‎8‎ ‎24‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 表4‎ ‎ 阅读量 性别 丰富 不丰富 总计 男 ‎14‎ ‎6‎ ‎20‎ 女 ‎2‎ ‎30‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ A.成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量 思维启迪　(1)回归直线过样本点中心(，)；‎ ‎(2)根据列联表，计算K2的值 答案　(1)31.244 2　(2)D 解析　(1)由表格可知＝(115＋110＋80＋135＋105)＝109，‎ ＝(24.8＋21.6＋18.4＋29.2＋22)＝23.2.‎ 所以＝－＝23.2－0.196 2×109＝1.814 2.‎ 所以所求线性回归方程为＝0.196 2x＋1.814 2.‎ 故当x＝150时，销售价格的估计值为＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．‎ ‎(2)A中，a＝6，b＝14，c＝10，d＝22，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，‎ K2＝＝.‎ B中，a＝4，b＝16，c＝12，d＝20，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，‎ K2＝＝.‎ C中，a＝8，b＝12，c＝8，d＝24，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，‎ K2＝＝.‎ D中，a＝14，b＝6，c＝2，d＝30，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，‎ K2＝＝.‎ ‎∵<<<，‎ ‎∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量．‎ 思维升华　(1)线性回归方程求解的关键在于准确求出样本点中心．回归系数的求解可直接把相应数据代入公式中求解，回归常数的确定则需要利用中心点在回归直线上建立方程求解；(2)独立性检验问题，要确定2×2列联表中的对应数据，然后代入K2(χ2)计算公式求其值，根据K2(χ2)取值范围求解即可．‎ ‎　(1)已知x、y取值如下表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎1.3‎ ‎1.8‎ ‎5.6‎ ‎6.1‎ ‎7.4‎ ‎9.3‎ 从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且＝0.95x＋，则等于(　　)‎ A．1.30 B．1.45 C．1.65 D．1.80‎ ‎(2)某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系，随机抽测了20人，若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”，“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”．得以下2×2列联表：‎ 高个 非高个 总计 大脚 ‎5‎ ‎2‎ ‎7‎ 非大脚 ‎1‎ ‎12‎ ‎13‎ 总计 ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ 则在犯错误的概率不超过________的前提下认为人的脚的大小与身高之间有关系．‎ ‎(附：‎ P(K2>k)‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎)‎ 答案　(1)B　(2)0.01‎ 解析　(1)依题意得，＝×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，‎ ＝(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25；‎ 又直线＝0.95x＋必过样本点中心(，)，即点(4，5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋，由此解得＝1.45.‎ ‎(2)由题意得 K2＝≈8.802>6.635.‎ 而K2>6.635的概率约为0.01，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为人的脚的大小与身高之间有关系．‎ ‎1．随机抽样的方法有三种，其中简单随机抽样适用于总体中的个体数量不多的情况，当总体中的个体数量明显较多时要使用系统抽样，当总体中的个体具有明显的层次时使用分层抽样．系统抽样最重要的特征是“等距”，分层抽样，最重要的是各层的“比例”．‎ ‎2．用样本估计总体 ‎(1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1.‎ ‎(2)众数、中位数及平均数的异同：众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．‎ ‎(3)当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布．‎ ‎①总体期望的估计，计算样本平均值＝xi.②总体方差(标准差)的估计：方差＝ (xi－)2，标准差＝，方差(标准差)较小者较稳定．‎ ‎3．线性回归方程 ＝ x＋ 过样本点中心(，)，这为求线性回归方程带来很多方便．‎ ‎4．独立性检验 ‎(1)作出2×2列联表．(2)计算随机变量K2(χ2)的值．(3)查临界值，检验作答．‎ 真题感悟 ‎1．(2014·江苏)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.‎ 答案　24‎ 解析　底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15，‎ 底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，‎ 样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.‎ ‎2．(2014·重庆)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(　　)‎ A.＝0.4x＋2.3 B.＝2x－2.4‎ C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4‎ 答案　A 解析　因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.‎ 因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A和B中的线性回归方程进行检验，可以排除B，故选A.‎ 押题精练 ‎1．某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70 km/h以下的汽车有________辆．‎ 答案　20‎ 解析　时速在70 km/h以下的汽车所占的频率为0.01×10＋0.03×10＝0.4，共有0.4×50＝20(辆)．‎ ‎2．某教育出版社在高三期末考试结束后，从某市参与考试的考生中选取600名学生对在此期间购买教辅资料的情况进行调研，得到如下数据：‎ 购买图书情况 只买试题类 只买讲解类 试题类和讲解类都买 人数 ‎240‎ ‎200‎ ‎160‎ 若该教育出版社计划用分层抽样的方法从这600人中随机抽取60人进行座谈，则只买试题类的学生应抽取的人数为________．‎ 答案　24‎ 解析　只买试题类的学生应抽取的人数为60×＝24.‎ ‎3．下表提供了某厂节能减排技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ t ‎4‎ ‎4.5‎ 根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为________．‎ 答案　3‎ 解析　∵样本点中心为，∴＝0.7×4.5＋0.35，解得t＝3.‎ ‎4．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：‎ 做不到“光盘”‎ 能做到“光盘”‎ 男 ‎45‎ ‎10‎ 女 ‎30‎ ‎15‎ 附：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ K2＝ 参照附表，得到的正确结论是(　　)‎ A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”‎ B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”‎ C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”‎ D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”‎ 答案　C 解析　由公式可计算K2的观测值k＝＝≈3.03>2.706，所以有90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选C.‎ ‎(推荐时间：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1．(2014·湖南)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则(　　)‎ A．p1＝p2乙，y甲>y乙 B.甲<乙，y甲y乙 D.甲>乙，y甲0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．‎ 将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的线性回归方程，得＝0.5×9＋2.3＝6.8，‎ 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．‎ ‎12．某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：‎ API ‎[0,50]‎ ‎(50，100]‎ ‎(100，150]‎ ‎(150，200]‎ ‎(200，250]‎ ‎(250，300]‎ ‎>300‎ 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中重度污染 重度污染 天数 ‎4‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎30‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎15‎ ‎(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位：元)与空气质量指数API(记为w)的关系式为：‎ S＝，试估计在本年度内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；‎ ‎(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染．完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 ‎100‎ 附：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ K2＝.‎ 解　(1)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A，‎ 由2003.841.‎ 所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．‎ ‎ ‎