江西省宜春市高安中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学（A）试题 Word版含解析

江西省宜春市高安中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学（A）试题 Word版含解析

- 1 - 江西省高安中学 2019—2020 学年度上学期期中考试高一年级数学试题（A 卷） 一、 选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1.已知集合 A＝ ，则 A∩B 的元素个数是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求解方程组 ，得到两曲线的交点坐标，进而可得答案． 【详解】联立 ，解得 即 和 的图象有 3 个交点 ， ， ， ∴集合 有 3 个元素，故选 B. 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题． 2.若两直线 的倾斜角分别为 与 ，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若 < ，则两直线的斜率：k1 < k2 B. 若 = ，则两直线的斜率：k1= k2 C. 若两直线的斜率：k1 < k2 ，则 < D. 若两直线的斜率：k1= k2 ，则 = 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意，两直线 的倾斜角分别为 与 ，斜率分别是 ，表示出斜率和角之间的关 系，根据正切在 之间的定义域和单调性的关系，即可作出判定，得到答案． 【详解】由题意，两直线 的倾斜角分别为 与 ，斜率分别是 ， 所以 ，且 ， 根据正切在 之间的定义域和单调性的关系， { } { }3( , ) , ( , )x y y x B x y y x= = = 3y x y x  =  = 3y x y x  =  = 1,0,1x = − 3y x= y x= ( )1 1− −， ( )0,0 (11)， A B 1 2,l l α β α β α β α β α β 1 2,l l α β 1 2,k k [0, )π 1 2,l l α β 1 2,k k 1 2tan , tank kα β= = , [0, )α β π∈ [0, )π - 2 - 可得，对于 A 中，当 ，此时 ，所以不正确； 对于 B 中，当 ，此时斜率不存在，所以不正确； 对于 C 中，当 ，此时 ，所以不正确； 对于 D 中，当 ，此时 ，所以是正确的，故选 D． 【点睛】本题主要考查了斜率与倾斜角的关系，其中解答中正确理解直线的斜率与倾斜角的 关系，合理运用正切函数性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 3.平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 等于 (　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 通过题意可求得 ,从而 ,即可得到答案. 【 详 解 】 由 于 , 所 以 , 因 此 , 因 此 ,故选 D. 【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，模的相关运算，难度不大. 4.已知直线 的倾斜角为 ，则 的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析： ，选 C. 考点：二倍角公式 5.设 为等差数列, 其前 n 项和为 .若 ，则 ( ) A. 54 B. 40 C. 96 D. 80 【答案】A (0, ), ( , )2 2 π πα β π∈ ∈ 1 2k k> 2 πα β= = 1 20, 0k k< > α β> 1 2k k= α β= a → b → 45 ( )1,1a = 2b = 3a b+  13 6 2+ 2 5 30 34 a b⋅  2 3 3a b a b+ = +   ( )1,1a = 2a = cos 2a b a b θ⋅ = =   2 223 3 9 6 34a b a b a ab b+ = + = + + =       2 3 0x y− − = θ sin2θ 1 4 3 4 4 5 2 5 2 2 2 2sin cos 2tan 4tan 2,sin 2 sin cos 1 tan 5 θ θ θθ θ θ θ θ= = = =+ + { }na nS 8 112 6a a= + 9S = - 3 - 【解析】 【分析】 由已知 2a8＝a11+6，结合等差数列的性质可得，2a8＝a11+a5＝a11+6 从而可得，a5＝6，代入等 差数列的前 n 项和 ，然后利用利用等差数列的性质及所求的 a5 的值代入可求 得答案． 【详解】解：∵2a8＝a11+6 由等差数列的性质可得，2a8＝a11+a5＝a11+6 从而可得，a5＝6 由等差数列的前 n 项和可得， 故选 A． 【点睛】本题主要考查了等差数列的前 n 项和的求解，关键是由已知 2a8＝a11+6，结合等差数 列的性质可得，2a8＝a11+a5＝a11+6，求出 a5，在求和时利用等差数列的和时又一次利用了性 质 a1+a9＝2a5．灵活利用等差数列的性质是解得本题的关键． 6.已知直三棱柱 的所有棱长都相等， 为 的中点，则 与 所成角 的余弦值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 取 的中点 ，连接 ，则 ,所以异面直线 与 所成角就是直线 与 所成角，在 中，利用余弦定理，即可求解． 【详解】由题意，取 的中点 ，连接 ，则 , 所以异面直线 与 所成角就是直线 与 所成角， 设正三棱柱的各棱长为 ,则 ， 设直线 与 所成角为 ， ( )1 9 9 9 2 a as += 1 9 9 59 9 542 a as a += × = = 1 1 1ABC A B C− M 1 1AC AM 1BC 15 3 5 3 6 4 10 4 AC N 1C N 1/ /AM C N AM 1BC AM 1C N 1BNC∆ AC N 1C N 1/ /AM C N AM 1BC AM 1C N 2 1 15, 2 2, 3C N BC BN= = = AM 1C N θ - 4 - 在 中，由余弦定理可得 ， 即异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故选 D． 【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相 交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 7.在 中， ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题可以将 转化为 、 转化为 ，通过化简得出 ，最 后得出结果． 【详解】 ， 即 故选 B． 1BNC∆ 2 2 2( 5) (2 2) ( 3) 10cos 42 5 2 2 θ + −= = × × AM 1BC 10 4 ABC∆ cos cos 2b C c B b+ = b a = 2 1 2 2 2 − 2 cosC 2 2 2 2 a b c ab + − cosB 2 2 2 2 a c b ac + − 2a b= cos cos 2b C c B b+ = ， 2 2 2 2 2 2 22 2 a b c a c bb c bab ac + − + −+ =  22 2 22 a b a ba = =， ， 1 2 2 b b a b ，= = - 5 - 【点睛】解三角形的余弦公式： ． 8.若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适 当排序后构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，则 的值等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】 由一元二次方程的根与系数的关系得到 ，再由 三个数列适当排序后 成等差数列，也可适当排序后成等比数列，列出关于 的方程组，即可求解. 【详解】由题意，若 是函数 的两个不同的零点， 可得 ， 因 ，可得 ， 又 三个数列适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， 可得 或 ，解得 或 ， 所以 ，则 ，故选 C. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及等差数列和等比数列的性质的 应用，其中解答中熟练应用一元二次方程的根和系数的关系和等差、等比数列的性质，合理 运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题. 9.已知函数 是定义在 上的偶函数， ，当 时， ，则不等式 的解集是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 为 2 2 2 cos 2 a b cC ab + −= ,a b 2( ) ( 0, 0)f x x px q p q= − + > > , , 2a b − p q+ ,a b p ab q+ = = , , 2a b − ,a b ,a b 2( ) ( 0, 0)f x x px q p q= − + > > ,a b p ab q+ = = 0, 0p q> > 0, 0a b> > , , 2a b − 2 2 4 b a ab = −  = 2 2 4 a b ab = −  = 4 1 a b =  = 1 4 a b =  = 5, 1 4 4p a b q= + = = × = 9p q+ = ( )f x [ ]1 2 ,m m− [ ]1 2, 0,x x m∀ ∈ 1 2x x≠ ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x− − <   ( ) ( )1 2f x f x− ≤ 11, 3  −   1 1,2 3  −   10, 3      10, 2      - 6 - 【分析】 先根据偶函数的定义域关于原点对称求出 ，再根据偶函数的对称性和题设给的 的 增减性解题即可 【详解】 是定义在 上的偶函数， ，解得 ， 的定义域为 又 ，当 时， 在 单调递减， 再由偶函数的对称性可知 ，解得 答案选 C 【点睛】本题考查偶函数的基本性质、利用偶函数的性质解不等式，易错点为解题过程中忽 略 所有括号中的取值都必须在定义域内 10.已知函数 ，将 的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移 个单位长度，所得的图象关于原点对称，则 的一个值是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将 的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，可得函数 的 图 象 ； 再 把 所 得 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 ， 可 得 函 数 的图象．结合所得的图象关于原点对称，可得 ，即 ， ，当 时，则 的一个值是 ． 故选 D． m [ ]0,x m∈  ( )f x [ ]1 2 ,m m− 1 2 0m m∴ − + = 1m = ( )f x [ ]1,1− [ ]1 2, 0,1x x∀ ∈ 1 2x x≠ ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x− − <   ( )f x∴ [ ]0,1x∈ ( ) ( ) [ ] [ ] 1 1,1 1 2 2 1,1 1 2 x f x f x x x x  − ∈ − − ≤ ⇔ ∈ −  − > 10, 3x  ∈   ( )f x ( ) cos 2 4f x x π = +   ( )y f x= 1 2 ϕ ϕ 3 4 π 3 8 π 5 16 π 3 16 π ( )y f x= 1 2 π( ) cos 4 4f x x = +   | |ϕ π πcos 4( ) cos 4 44 4y x xϕ ϕ   = − + = + −      π π4 π4 2kϕ− = + π π 4 16 kϕ = − − k ∈Z 1k = − ϕ 3π 16 - 7 - 11.正数 满足 ，若不等式 对任意实数 恒成立，则实 数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先用基本不等式求 的最小值，再根据配方法求二次函数的最大值. 【详解】 ， 当且仅当 ，即 时，“=”成立， 若不等式 对任意实数 恒成立， 则 ， 即 对任意实数 恒成立， 实数 的取值范围是 . 故选 D. 【点睛】本题考查基本不等式与二次不等式恒成立. 12.已知球 是正三棱锥 的外接球，底边 ，侧棱 ，点 在线段 上，且 ，过点 作球 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B ,a b 1 9 1a b + = 2 4 18a b x x m+ ≥ − + + − x m [3, )+∞ ( ,3]−∞ ( ,6]−∞ [6, )+∞ +a b 1 90, 0, 1a b a b > > + = 1 9 9 9( ) 10 10 2 16b a b aa b a b a b a b a b  ∴ + = + + = + + + ⋅ =    3a b= 4, 12a b= = 2 4 18a b x x m+ ≥ − + + − x 2 4 18 16x x m− + + − ≤ 2 4 2x x m− + + ≤ x 2 24 2 ( 2) 6 6x x x− + + = − − + ≤ 6m∴ ≥ m [6, )+∞ O A BCD− 3BC = 2 3AB = E BD 3BD DE= E O 5 ,44 π π     [ ]2 ,4π π 9 ,44 π π     11 ,44 π π     - 8 - 【解析】 【分析】 设 的中心为 ，球 的半径为 ，连接 ，可得 ， 可得 的值，过点 作圆 的截面，当截面与 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心 时，截面面积最大，即可求解． 【详解】解：如图，设 的中心为 ，球 的半径为 ，连接 ， 则 ， 在 中， ，解得 ， ， 在 中， ， 过点 作圆 的截面，当截面与 垂直时，截面的面积最小， 此时截面圆的半径为 ，最小面积为 ． 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为 ． 故选 B 【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要 确定何时取最值，属于中档题． 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案填在题中横线上) BCD∆ 1O O R 1 1, , ,O D OD O E OE 2 23 (3 )R R= + − R E O OE BCD∆ 1O O R 1 1, , ,O D OD O E OE 0 2 2 1 1 1 23sin 60 3, 33O D AO AD DO= × = = − = 1Rt DOO∆ 2 23 (3 )R R= + − 2R = 3 , 2BD BE DE= ∴ = 1DEO∆ 0 1 3 4 2 3 2 cos30 1O E = + − × × × = 2 2 1 1 2OE O E OO∴ = + = E O OE 2 22 ( 2) 2− = 2π 4π - 9 - 13.已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据复合函数单调性同增异减，以及二次函数对称轴列不等式组，解不等式组求得实数 的取 值范围. 【详解】要使 在 上递增，根据复合函数单调性，需二次函数 对 称轴在 的左边，并且在 时，二次函数的函数值为非负数，即 ，解 得 .即实数 的取值范围是 . 【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题. 14.记不等式组 表示的平面区域为 ，则圆 在区域 内的 弧长为________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据不等式组，画出可行域和圆的曲线，求得两条直线夹角，进而求得区域内的弧长． 【详解】根据所给不等式组，画出可行域如下图所示 ( )2( ) lg 2f x x ax= − + (2, )+∞ a ( ],3−∞ a ( )f x ( )2,+∞ 2 2y x ax= − + 2x = 2x = 2 22 2 2 2 0 a a  ≤  − + ≥ 3a ≤ a ( ],3−∞ ( 2 )( 3 ) 0, 0 x y x y x − + ≥  ≥ D 2 2 1x y+ = D 4 π - 10 - 所以两条直线形成的夹角为 所以圆 在区域 内的弧长为 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，圆方程曲线，应用正切函数的差角公式时注意角 的符号，属于中档题． 15.已知等差数列 的公差 ,且 成等比数列,若 为数列 的前 项和,则 的最小值为____________. 【答案】4 【解析】 依题意：∵a1，a3，a13 成等比数列，a1=1，∴a32=a1a13，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0， 解得 d=2．可得 , 则 , 当且仅当 n=2,等号成立. 故答案为 4 ( ) tan tantan 1 tan tan α βα β α β −− = + ⋅ 1 1 2 3 11 11 2 3  − −  = = + ⋅ −   4 π 2 2 1x y+ = D 4l π= { }na 0d ≠ 1 3 13, ,a a a 1 1, na S= { }na n 2 24 5 n n S a + + 22 1,n na n S n= − = ( )22 ( 2) 4 2 162 24 12 162 4 45 2 2 2 n n n nS n na n n n + − + ++ += = = + + − ≥+ + + + - 11 - 点睛：本题考查了等差数列的通项公式、前 n 项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最 值，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值． 16.已知函数 满足 ，且 ,当 时， ，若曲线 与直线 有 5 个交点，则实数 的取值范围是 _________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意，可得 知 是周期为 2 的函数，且图象关于 对称，利用 与 的图象，列出不等式，即可求解. 【详解】 由题意，可得 ， 可得 ， 是周期为 2 的函数， 又由 ， 则函数 的图象关于 对称， 由当 时， ,可画出函数 的图象， 作出直线 的图象，如图所示， 要使得 与 有 5 个交点， 则当 时， ,解得 ，当 时， ，解得 ，所以实数 的取值范围是 ， ( )f x ( 1 ) (1 )f x f x− + = + (1 ) (1 ),( )f x f x x R+ = − ∈ [ ]0,1x∈ ( ) 2 1xf x = − ( )y f x= ( 1)y k x= − k 1 1 1 1, ,4 6 6 4    − −       ( ) ( ) ( )1 1 1f x f x f x− + = + = − ( )f x 1x = ( )y f x= ( )1y k x= − ( ) ( )1 1f x f x+ = − + ( ) ( )2f x f x= + ( )f x∴ ( ) ( )1 1f x f x+ = − ( )f x 1x = [ ]0,1x∈ ( ) 2 1xf x = − ( )y f x= ( )1y k x= − ( )y f x= ( )1y k x= − 0k > ( ) ( ) 5 1 1 7 1 1 k k  ⋅ − < ⋅ − > 1 1 6 4k< < k 0< ( ) ( ) 3 1 1 5 1 1 k k  ⋅ − − < ⋅ − − > 1 1 4 6k− < < − k 1 1 1 1, ,4 6 6 4    − −       - 12 - 故答案为 . 【点睛】本题主要考査了函数与方程的综合应用，着重考査了数形结合思想，属于难题.数形 结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要 思想方法.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量 关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根 的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质． 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,17 题满分 10 分，其余满分 12 分) 17.（1）已知直线 与 .若 ，求 的值. （2）已知圆 过 两点，且圆心 在直线 ，求圆 的方程. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由两直线平行的条件，建立关于 的方程，求出 的值； （2）设圆 方程为 ，代入条件，建立关于 的方程组，解方程 组即可. 【详解】（1）因为 ，所以 ，解得 . （2）设圆 方程为 ，则圆 的圆心为 又由圆 过 两点，且圆心 在直线 上， 则有 ，解可得 ， 则圆 的方程为 . 【点睛】（1）考查两直线一般式的平行条件，直线 与直线 1 1 1 1, ,4 6 6 4    − −       1 : 2 1 0l x my+ + = ( )2 : 4 1 2 0l mx m y+ + + = 1 2l l// m C ( ) ( )2,2 , 2,6A B− C 3 0x y+ = C 1 2 − 2 2 4 12 24 0x y x y+ + − + = m m C 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = , ,D E F 1 2l l 22( 1) 4 0 2 ( 1) 0 m m m m  + − =  − + ≠ 1 2m = − C 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = C ( , )2 2 D E− − C ( 2,2), (2,6)A B− C 3 0x y+ = 3 02 2 8 2 2 0 40 2 6 0 D E D E F D E F − − =  − + + =  + + + =  4, 12, 24D E F= = − = C 2 2 4 12 24 0x y x y+ + − + = 1 1 1 0A x B y C+ + = 2 2 2 0A x B y C+ + = - 13 - 平行的条件为 ； （2）考查利用待定系数求圆的方程，是基础题. 18.已知公差不为 的等差数列 的首项 ,且 成等比数列． （1）求数列 的通项公式; （2）设 ,求数列 的前 项和 ． 【答案】(1) ; (2) . 【解析】 【分析】 （1）设数列 的公差为 ,根据题意，求解 ，即可得到数列 的通项公式； （2）由（1）可得 ，利用裂项相消法，即可求解. 【详解】(1)设数列 的公差为 ,则 . 由 成等比数列,得 即 得 (舍去)或 . 所以数列 通项公式为 (2)因为 所以 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“裂项相消法”， 此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础， 准确计算求和是关键，易错点是在“裂项”之后求和时，弄错数列的项数，能较好的考查考 生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等. 19.如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是等腰梯形，且 , 的 1 2 2 1 1 2 2 1 0 0 A B A B B C B C − =  − ≠ 0 { }na 1 2a = 1 2 41, 1, 1a a a+ + + { }na * 1 1 ,n n n b n Na a + = ∈ { }nb n nS *3 1,na n n N= − ∈ 2(3 2)n nS n = + { }na d 3d = { }na 1 1 1 1 1[ ]3 3 1 3 2n n n b a a n n+ = = −− + { }na d ( ) *2 1 ,na n d n N= + − ∈ 1 2 41, 1, 1a a a+ + + ( ) ( )( )2 2 1 41 1 1a a a+ = + + ( ) ( )23 3 3 3d d+ = + 0d = 3d = { }na *3 1,na n n N= − ∈ ( )( )1 1 1 1 1 1 3 1 3 2 3 3 1 3 2n n n b a a n n n n+  = = = − − + − +  ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1...3 2 5 3 5 8 3 3 1 3 2 3 2 3 2 2 3 2n nS n n n n        = − + − + + − = − =       − + + +        P ABCD− PA ⊥ ABCD ABCD - 14 - ，其中 . （1）证明：平面 平面 . （2）求点 到平面 的距离． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）由题意结合已知数据，利用勾股数证得 ，又由 平面 可得 ，从而证得 平面 ，再利用面面垂直的判定定理可得结论. （2）先求得 ,利用余弦定理及三角形面积公式求得 ，利用等体积转化根据 可得距离. 【详解】（1）过点 作 交 于点 . 因为底面 是等腰梯形，且 ，所以 在 中， ，同理可得 因为 与 相似，所以 ， 所以 ，则 因为 平面 平面 ，所以 / /AD BC 2 5, 2, 2 4 2,AB PA BC AD AC BD E= = = = = PBD ⊥ PAC B PDC 6 14 7 AC BD⊥ PA ⊥ ,ABCD PA BD⊥ BD ⊥ PAC P BDCV − PDCS∆ P BDC B PDCV V− −= A AH BC⊥ BC H ABCD 2 4 2BC AD= = 2, 3 2BH HC= = Rt ABH∆ 2 2 20 2 3 2AH AB BH= − = − = 6AC = BEC△ DEA△ 2AE DE= = 2 2 24 4 8AE DE AD+ = + = = AC BD⊥ PA ⊥ ,ABCD BD ⊆ ABCD PA BD⊥ - 15 - 因为 平面 平面 ，且 ，所以 平面 因为 平面 ，所以平面 平面 （2）因为 平面 ，所以 ， 因为 ，所以 在 中，因为 ， 所以 ， 所以 ，则 的面积为 设点 到平面 的距离为 ，则三棱锥 的体积 因为 ，所以 ，解得 故点 到平面 的距离为 【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理，考查了点面距离的求法，等体积转化是解决此类 问题的常用方法，属于中档题. 20.在平面四边形 中，已知 ， ， ． （1）若 ，求 的面积； （2）若 ， ，求 的长． PA ⊆ ,PAC AC ⊆ PAC PA AC A= BD ⊥ PAC BD ⊆ PBD PBD ⊥ PAC PA ⊥ ABCD ,PA AC PA AD⊥ ⊥ 2, 2 2, 6PA AD AC= = = 2 3, 2 10PD PC= = PDC∆ 2 3, 2 10, 2 5PD PC CD= = = 20 40 12 3 2cos 52 2 5 2 10 PCD + −∠ = = × × 7sin 5PCD∠ = PDC∆ 1 1 7sin 2 10 2 5 2 142 2 5PC CD PCD⋅ ∠ = × × × = B PDC h B PCD− 2 14 3 hV = 1 1 4 2 3 2 2 83 2P BDCV V −= = × × × × = 2 14 83 h = 6 14 7h = B PDC 6 14 7 ABCD 3 4ABC π∠ = AB AD⊥ 1AB = 5AC = ABC∆ 2 5sin 5CAD∠ = 4=AD CD - 16 - 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 分析】 （1）在 中，由余弦定理，求得 ,进而利用三角形的面积公式，即可求解； （2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解 ，再在 中，利用正弦定理和余弦定理，即可求解. 【详解】（1）在 中， 即 ,解得 . 所以 . （2）因为 ,所以 ， , . 在 中， , . 所以 . 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三 角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般 地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正 弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 21.已知向量 ， ，函数 ． （1）当 时，求 的值域； 【 1 2 13 ΔABC 2BC = 10sin BCA 10 ∠ = ΔABC ΔABC 2 2 2AC AB BC 2AB BC COS ABC∠= + − ⋅ ⋅ 25 1 BC 2 BC= + + ⋅ 2BC 2BC 4 0⇒ + − = BC 2= ΔABC 1 1 2 1S AB BC sin ABC 1 22 2 2 2 ∠= ⋅ ⋅ = × × × = 0 2 5BAD 90 ,sin CAD 5 ∠ ∠= = 2 5cos BAC 5 ∠ = 5sin BAC 5 ∠ = πsin BCA sin BAC4 所以 ∠ ∠ = −   ( )2 cos BAC sin BAC2 ∠ ∠= − 2 2 5 5 10 2 5 5 10  = − =    ΔABC AC AB sin ABC sin BCA∠ ∠= AB sin ABCAC 5sin BCA ∠ ∠ ⋅∴ = = 2 2 2CD AC AD 2AC AD cos CAD∠= + − ⋅ ⋅所以 55 16 2 5 4 135 = + − × × × = CD 13= (sin 3 cos ,1)m x x= − 2(2sin ,4cos )n x x= ( )f x = ⋅m n [0, ]2x π∈ ( )f x - 17 - （2）若对任意 ， ，求实数 取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据向量数量积，得到函数 表达式，利用倍角公式、降幂公式，化简得 ，根据自变量 x 的范围，求 的值域． （2）利用换元法，令 ，转化成关于 t 的一元二次不等式．通过分离参数，结合基 本不等式，求参数的取值范围． 【详解】（1） 当 时， ， ， 所以 的值域为 ． （2）令 ， ，由（1）得 ，问题等价于 ， 恒成立，当 时， ； 当 时， ， 恒成立， 因为 ， ，当且仅当 时，等号成立， 所以 的最小值为 2，故 ，综上，实数 的取值范围为 ． 【点睛】本题考查了利用降幂公式、倍角公式对三角函数式化简、求值，利用换元法、基本 不等式等、分离参数法等解不等式，综合性强，属于中档题． 的[0, ]2x π∈ 2 ( ) ( 2) ( ) 2 0f x a f x a− + + + ≥ a [1,4] ( ,2]−∞ ( )f x ( ) 2cos 2 33f x x π = + +   ( )f x ( )t f x= ( ) 2 22sin 2 3sin cos 4cosf x x x x x= − + 22 2cos 2 3sin cosx x x= + − 3 cos2 3sin2x x= + − 2cos 2 33x π = + +   0, 2x π ∈   42 ,3 3 3x π π π + ∈   1cos 2 1,3 2x π   + ∈ −       ( )f x [ ]1,4 ( )t f x= 0, 2x π ∈   [ ]1,4t ∈ ( )2 2 2 0t a t a− + + + ≥ [ ]1,4t ∈ 1t = a R∈ 1t ≠ ( ) 11 1a t t ≤ − + − ( ]1,4t ∈ ( ]1,4t ∈ ( ) ( )1 11 2 1 21 1t tt t − + ≥ − ⋅ =− − 2t = ( ) 11 1t t − + − 2a ≤ a ( ],2−∞ - 18 - 22.对于定义域为 的函数 ，部分 与 的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 0 2 2 0 0 2 （1）求 ； （2）数列 满足 ，且对任意 ，点 都在函数 的图像上， 求 ； （3）若 ，其中 ， ， ， ， 求此函数的解析式，并求 ( )． 【答案】(1) ;(2) ;(3) . 【解析】 试题分析：(1) ；(2) 周期为 ；(3)由题意得 . 试题解析：(1) (2) ,周期为 4 , 所以 = . R ( )y f x= x y x 2− 1− 0 y 3 1− { [ (0)]}f f f { }nx 1 2x = n ∗∈N 1( , )n nx x + ( )y f x= 1 2 4nx x x+ + + ( ) sin( )y f x A x bω ϕ= = + + 0A > 0 ω π< < 0 ϕ π< < 0 3b< < (1) (2) (3 )f f f n+ + + n ∗∈N 2 4n 3 2n − ( ){ } ( )( ) ( )0 3 1 2f f f f f f  = = − =  ( )1 2 12x x f x= ⇒ = ( ) ( ) ( ) ( )3 2 4 3 5 4 5 12 0 3 1 2f x f x x f x x f x x x= = ⇒ = = ⇒ = = − ⇒ = = ⇒ = ⇒ 1 2 44 4nx x x n⇒ + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2{ 2, 1,0 3 3 3 2 0 4 f f A bf f πω − = = ⇒ = = = ⇒= = ( )f x = 2cos 1 63 x T π + ⇒ = ( ) ( )1 2f f⇒ + + ( ) ( ) ( )3 4)+ 5 6 6f f f f+ + = ⇒（ ( ) ( ) ( ) 3 , 21 2 3 {3 2, 2 1 n n kf f f n n n k =+ + + = − = + ( ){ } ( )( ) ( )0 3 1 2f f f f f f  = = − =  ( ) ( ) ( )1 1 2 12, 2 0,n nx x f x x f x f+= = ∴ = = = ( )3 2 3,x f x= = ( )4 3 1,x f x= = − ( )5 4 2x f x= = 5 1x x∴ = 1 2 4nx x x+ + + 4n - 19 - (3)由题意得 由 又 而 从而有 此函数的最小正周期为 6, 1)当 时. . 2)当 时. . 【点睛】本题考查函数的解析式、复合函数、数列的通项公式和三角函数，涉及函数与方程 思想、分类讨论思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力， 综合性强，属于较难题型.第二小题通过计算发现数列的周期性，并利用周期性解题；第三小 题通过待定系数法求得 ，从而 ，再利用周期性结合分 类讨论思想进行求解. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2{ 0 3 3 2 0 4 f f f f − = = = = ( ) ( ) ( ) ( )1 2 sin sin sin cos 0ω ϕ ω ϕ ω ϕ− ∴ + = − + ∴ =  0 ω π< < sin 0 cos 0ω ϕ∴ ≠ ∴ = 0 ϕ π< < 2 πϕ∴ = ( )2 3 3 2 { 2 3 { 2cos 1 3 02 0 A b Acos A Acos b b A A AAcos b ω ω ωω + = + − = + = ⇒ = − ⇒ − + − =+ = 2 22 4 2 2 3 0 2. 1A A A A A b∴ − + − + = ∴ = = 1cos 2 ω =  0 ω π< < 3 πω∴ = ( ) 2cos 13f x x π∴ = + ( ) ( )6 0 3f f= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4)+ 5 6 6f f f f f f+ + + + = （ 2n k= ( )*k N∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 6f f f n f f f k+ + + = + + +  ( ) ( ) ( )1 2 6 6 3k f f f k n = + + + = =  2 1n k= − ( )*k N∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 6 6 2 6 1 6f f f n f f f k f k f k f k+ + + = + + + − − − − −  ( ) ( ) ( )1 2 6 5 6 5 3 2k f f f k n = + + + − = − = −  2, 1, 3A b πω= = = ( ) 2cos 13f x x π= + - 20 -