【数学】2018届一轮复习苏教版专题1-3三角函数与平面向量学案

【数学】2018届一轮复习苏教版专题1-3三角函数与平面向量学案

一．考场传真 1. 【2017 课标 1，文 11】△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知 sin sin (sin cos ) 0B A C C   ，a=2，c= 2 ，则 C= A． π 12 B． π 6 C． π 4 D． π 3 【答案】B 2．【2017 课标 3，文 6】函数 1 π π( ) sin( ) cos( )5 3 6f x x x    的最大值为（ ） A． 6 5 B． 1 C． 3 5 D． 1 5 【答案】A 【解析】由诱导公式可得： cos cos sin6 2 3 3x x x                           ，则：   1 6sin sin sin5 3 3 5 3f x x x x                       ,函数的最大值为 6 5 .所以选 A. 3．【2017 课标 II，文 3】函数 π( ) sin(2 )3f x x  的最小正周期为 : | ] A. 4π B. 2π C. π D. π 2 【答案】C 【解析】由题意 2 2T    ，故选 C. 4．【2017 课标 3，文 4】已知 4sin cos 3    ，则sin 2 =（ ） A． 7 9  B． 2 9  C． 2 9 D． 7 9 【答案】A 【解析】  2sin cos 1 7sin 2 2sin cos 1 9          .所以选 A. 5．【2017 课标 3，文 15】 △ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 C=60°，b= 6 ， c=3，则 A=_________. 【答案】75° 6．【2017 课标 II，文 4】设非零向量 a ，b 满足 + = -b ba a 则 A. a ⊥b B. = ba C. a ∥b D.  ba 【答案】A 【解析】由| | | |a b a b      平方得 2 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )a ab b a ab b          ，即 0ab  ，则 a b  ，故选 A. 7．【2017 课标 3，文 13】已知向量 ( 2,3), (3, )a b m    ，且 a b  ，则 m= . 【答案】2 【解析】由题意可得： 2 3 3 0, 2m m      . 8．【2017 课标 II，文 16】 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,若 2 cos cos cosbc B a C c A  ,则 B  【答案】 3  【解析】由正弦定理可得 1 π2sin cos sin cos sin cos sin( ) sin cos 2 3B B A C C A A C B B B         9．【2017 课标 II，文 13】函数 ( ) 2cos sinf x x x  的最大值 为 . 【答案】 5 【解析】 2( ) 2 1 5f x    10．【2017 课标 1，文 13】已知向量 a=（–1，2），b=（m，1）．若向量 a+b 与 a 垂直， 则 m=________． 【答案】7 【解析】由题得 ( 1,3)a b m    ，因为 ( ) 0a b a     ，所以 ( 1) 2 3 0m     ，解得 7m  11．【2017 课标 1，文 15】已知 π(0 )2a ， ，tan α=2，则 πcos ( )4   =__________． 【答案】 3 10 10 二．高考研究 【考纲解读】 1.考纲要求 考纲要求： 三角函数： ①了解任意角、弧度制的概念，理解任意角三角函数的定义；②理解同角三角函数的基本关 系式，能用诱导公式进行化简求值证明；③掌握三角函数的图像与性质，了解函数    xAy sin 的图像，了解参数 ,,A 对函数图像变化的影响；④掌握和差角、二倍 角公式，能运用公式进行简单的恒等变换；⑤掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，并能解 决一些简单的三角形度量问题. 平面向量： 掌握向量的加法和减法，掌握实数与向量的积，解两个向量共线的充要条件，解平面向量基 本定，解平面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的数量积及其几何 意义，了解用平面向量的数量积可以处有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件. 【命题规律】 (1)高考对三角函数图象的考查主要包括三个方面：一是用五点法作图，二是图象变换，三 是已知图象求解析式或求解析式中的参数的值，常以选择题或填空题的形式考查． (2)高考对三角函数性质的考查是重点，以解答题为主，考查 y＝Asin(ωx＋φ)的周期性、 单调性、对称性以及最值等，常与平面向量、三角形结合进行综合考查，试题难度属中低档． （3）三角恒等变换包括三角函数的概念，诱导公式，同角三角函数间的关系，和、差角公 式和二倍角公式，要抓住这些公式间的内在联系，做到熟练应用. （4）解三角形既是对三角函数的延伸又是三角函数的主要应用，因此，在一套高考试卷中， 既有选择题、填空题，还有解答题． （5）平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向 量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常与三角函数相结 合，或作为解题工具应用到解析几何问题中. 3．学法导航 1. 已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最 高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解， 其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 2. 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自 变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 3. 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路：第一步：先借助三角恒等变换及相应三 角函数公式把待求函数化成 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体， 借助复合函数性质求 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题． 4. (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等 变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换 公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防 止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽 量缩小，避免产生增解． 5．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的 性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、 统一结构”，这是使问题获得解决的突破口． 6．(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运 用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系． 7．数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义．可以利 用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算． 8．在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题， 如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的 关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中， 只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函 数的知识解决问题． 一．基础知识整合 基础知识： 一．基础知识整合 1．三角函数的图象及常用性质(表中 k∈Z) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 增区间 －π 2 ＋2kπ ， π 2 ＋2kπ [－π＋2kπ， 2kπ] －π 2 ＋kπ， π 2 ＋kπ 减区间 π 2 ＋2kπ， 3π 2 ＋2kπ [2kπ，π＋2kπ] 无 对称轴 x＝kπ＋π 2 x＝kπ 无 对称 中心 (kπ，0) π 2 ＋kπ，0 kπ 2 ，0 2.三角函数的两种常见变换 (1)y＝sin x ――→ 向左(φ＞0)或向右(φ＜0) 平移|φ|个单位 y＝sin (ωx＋φ) ――→ 纵坐标变为原 的 A 倍 横坐标不变 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)． y＝sin ωx ――→ 向左(φ＞0)或向右(φ＜0) 平移|φ ω|个单位 y＝sin(ωx＋φ) ――→ 纵坐标变为原 的 A 倍 横坐标不变 y＝Asin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)． 3．正弦型函数 y＝Asin (ωx＋φ)的对称中心是函数图象与 x 轴的交点，对称轴是过函数图象 的最高点或者最低点且与 x 轴垂直的直线；正切型函数 y＝Atan(ωx＋φ)的图象是中心对称图 形，不是轴对称图形. 4．三角形面积公式：(1)S＝1 2aha(ha 为 BC 边上的高)；(2)S＝1 2absin C＝1 2bcsin A＝1 2acsin B； (3)S＝abc 4R (R 为 △ ABC 外接圆的半径)；(4)S＝2R2sin Asin Bsin C(R 为 △ ABC 外接圆的半径)；(5)S ＝ p(p－a)(p－b)(p－c) p＝1 2(a＋b＋c) ；(6)S＝1 2(a＋b＋c)r＝pr(p＝1 2(a＋b＋c)，r 为 △ ABC 内切圆的半径)． 5．四边形面积公式：S＝1 2l1l2sin θ(l1，l2 为对角线长，θ为对角线夹角)． 6．正弦定理及其变形： a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝ a＋b＋c sin A＋sin B＋sin C ＝2R(2R 为 △ ABC 外接圆的 半径)． 7．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B；c2＝a2＋b2－2abcos C. 8．常用边角互化方法：sin A＝ a 2R ；sin B＝ b 2R ；sin C＝ c 2R ；cos A＝b2＋c2－a2 2bc ； cos B＝a2＋c2－b2 2ac ；cos C＝a2＋b2－c2 2ab . 9．平面向量中的四个基本概念 (1)零向量模的大小为 0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为 0. (2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量，与 a 同向的单位向量为 a |a|. (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)． (4)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影． 10．平面向量的两个重要定理：(1)向量共线定理：向量 a(a≠0)与 b 共线当且仅当存在唯一 一个实数λ，使 b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的 任一向量 a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，其中 e1，e2 是一组基底． 11．两非零向量平行、垂直的充要条件：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： (1)若 a∥b ⇔ a＝λb(b≠0)；a∥b ⇔ x1y2－x2y1＝0； (2)若 a⊥b ⇔ a·b＝0；a⊥b ⇔ x1x2＋y1y2＝0. 12．平面向量的三个性质：(1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2.(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则| AB  |＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2.(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为 a 与 b 的夹角， 则 cos θ＝ a·b |a||b| ＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21 x22＋y22 . 13．平面向量的三个锦囊：(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则 A，B，P 三点共 线的充要条件是OP  ＝λ1 OA  ＋λ2 OB  (其中λ1＋λ2＝1)．(2)三角形中线向量公式：若 P 为 △ OAB 的边 AB 的中点，则向量OP  与向量OA  ，OB  的关系是OP  ＝1 2(OA  ＋OB  )．(3)三 角形重心坐标的求法：G 为 △ ABC 的重心 ⇔ 0GA GB GC      ⇔ G xA＋xB＋xC 3 ，yA＋yB＋yC 3 . 二．高频考点突破 考点 1 三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式的应 用 【例 1】已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合， ( 2 )( 0)P m m m ， 是 角 终边上的一点，则 tan( )4   的值为（ ） A.3 B. 1 3 C. 1 3  D. 3 【答案】C 【例 2】已知 1cossin cos2sin     ，则 tan . 【答案】 2 1 【解析】 sin 2cos tan 2 1sin cos tan 1             tan 2 1 ． 【规律方法】1、利用三角函数定义将角的终边上点的坐标和三角函数值建立了联系，但是 注意角的顶点在坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴. 2. 正、余弦三兄妹“sin cosx x 、 sin cosx x ”的应用 sin cosx x 与 sin cosx x 通过平方关系联系到一起，即 2(sin cos ) 1 2sin cosx x x x   ， 2(sin cos ) 1sin cos ,2 x xx x   21 (sin cos )sin cos .2 x xx x   因此在解题中若发现题设条 件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个. sin cos 、 的求值技巧：当已知sin 4     ，cos 4     时，利用和、差角的三角函数 公式展开后都含有 sin cosx x 或 sin cos  ，这两个公式中的其中一个平方后即可求出 2sin cos  ，根据同角三角函数的平方关系，即可求出另外一个，这两个联立即可求出 sin cos 、 的值．或者把 sin cos  、sin cos  与 2 2sin cos  =1联立，通过解方 程组的方法也可以求出sin cos 、 的值． 3.如何利用“切弦互化”技巧 （1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式，这样减少了变量，统一为“切”得表达式， 进行求值. 常见的结构有: ① sin ,cos  的二次齐次式（如 2 2sin sin cos cosa b c     ）的问题常采用“1” 代换法求解； ②sin ,cos  的齐次分式（如 sin cos sin cos a b c d       ）的问题常采用分式的基本性质进行变形． （2）切化弦：利用公式 tan  sin cos   ，把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的 时候，采用此技巧. 4．温馨提示：（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利 用画直角三角形速解.（2）利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确 取舍“  ”号. 5. 利用诱导公式求值： i.给角求值的原则和步骤：(1)原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.(2)步骤：利用诱 导公式可以把任意角的三角函数转化为 0 2 : 之间角的三角函数，然后求值，其步骤为： ii.给值求值的原则:寻求所求角与已知角之间的联系，通过相加或相减建立联系，若出现 2  的倍数，则通过诱导公式建立两者之间的联系,然后求解. 常见的互余与互补关系 (1)常见的互余关系有： 3   与 6   ； 3   与 6   ； 4   与 4   等. (2)常见的互补关系有： 3   与 2 3   ; 4   与 3 4   等.遇到此类问题，不妨考虑 两个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题. 6. 利用诱导公式化简、证明 i.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求 (1)原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三 角函数名称转化，以保证三角函数名称最少. (2)要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能 简单，能求值的要求出值. ii.证明三角恒等式的主要思路 (1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简. (2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子. (3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明. 7．提醒：由终边相同的角的关系可知，在计算含有 2 的整数倍的三角函数式中可直接将 2 的整数倍去掉后再进行运算，如    cos 5 cos cos         .[ :学 ] 【举一反三】已知 为锐角，且 4sin 5   ，则  cos    （ ）． A． 3 5  B． 3 5 C． 4 5  D． 4 5 【答案】A 考点 2 三角函数的图像与性质 【例 3】【四川省内江市 2018 届第一次模拟】已知函数   2sin 3sin cosf x x x x  ，则 A.  f x 的最小正周期为 2 B.  f x 的最大值为 2 C.  f x 在 5,3 6       上单调递减 D.  f x 的图象关于直线 6x  对称 【答案】C 【解析】∵函数   2 1 cos2 3 1sin 3sin cos sin2 sin 22 2 6 2 xf x x x x x x            ， ∴  f x 的最小正周期为 2 2   ，故 A 错误，  f x 的最大值为 1 31 2 2   ，故 B 错误，当 6x  时， 1sin 2 16 6 6 2f                 ，故  f x 的图象不关于直线 6x  对称， 故 D 错误，由 32 2 2 ,2 6 2k x k k Z         ，得 5 3 6k x k      ，令 0k  ， 可得  f x 的一个单调减区间为 5,3 6       ，故 C 正确，故选 C 【例 4】【广西玉林市 2018 届期中】已知 ABC 的三个内角 , ,A B C 所对的边长分别是 , ,a b c ， 且 sin sin 3 sin B A a c C a b    ，若将函数    2 2f x sin x B  的图像向右平移 6  个单位长度， 得到函数  g x 的图像，则  g x 的解析式为（ ） A. 22sin 2 3x     B. 22cos 2 3x     C. 2sin2x D. 2cos2x 【分析】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用 两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般 说 ,当条件中同时出现 ab 及 2b 、 2a 时， 往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化 为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 【答案】D 向右平移 6  个单位长度单位，得到   52 2 2 2 2cos26 6 2g x sin x sin x x                    ，故选 D. 【规律方法】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在 其定义域内，先化简三角函数式，尽量化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的形式，然后再求解．(2) 对于形式 y＝asin ωx＋bcos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为 y＝ a2＋b2sin(ωx＋ φ)(cos φ＝ a a2＋b2 ，sin φ＝ b a2＋b2)的形式 求． (3)对于 y＝Asin(ωx＋φ)函数求单调区间时，一般将ω化为大于 0 的值． 【举一反三】【内蒙古包钢 2018 届月考】函数    cosf x x   的部分图象如图所示, 则  f x 的单调递减区间为 A. 1 3π , π ,4 4k k k      Z B. 1 32 π ,2 π ,4 4k k k      Z C. 1 3, ,4 4k k k      Z D. 1 32 ,2 ,4 4k k k      Z 【答案】D 考点 3 三角恒等变换 【例 5】若 1 3tan , ,tan 2 4 2          ，则sin 2 4     的值为（ ） A． 2 5  B． 2 5 C． 2 10  D． 2 10 【答案】D 【规律方法】1.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路与基本的技巧 基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角 的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数 式的结构特点. 基本的技巧有: （1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角 与其和差角的变换. 如 ( ) ( )            ， 2 ( ) ( )        ， 2 ( ) ( )        ， 2 2       ，    2 2 2          等. (2)三角函数名互化：切割化弦，弦的齐次结构化成切. (3)公式变形使用：如    cos cos sin sin cos          ,   tan 1 tan tan tan tan            tan tan tan tan tan tan            ,    tan tan tan tan tan tan            , sin cos 2 sin 4         , 21 sin 2 1 2sin cos (sin cos )x x x x x     等 (4)三角函数次数的降升：降幂公式与升幂公式:  2sin2 1cossin  ； 2 1 cos2cos 2   ， 2 1 cos2sin 2   . (5)式子结构的转化. (6)常值变换主要指“1”的变换： 2 21 sin cosx x  2 2sec tan tan cotx x x x    tan sin4 2    等. （7）辅助角公式：  2 2sin cos sina x b x a b x     (其中 角所在的象限由 a b、 的 符号确定， 的值由 tan b a   确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角 为特殊角的情况即可. 如 sin cos 2 sin( ),sin 3cos 2sin( ), 3sin cos 2sin( )4 3 6x x x x x x x x x           等. 2.题型与方法: 题型一,利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：（1） 给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换 消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数 式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如 2( ) , ( ) ( )               ，         2222 ，，    2 ，                         ， ， 等，把所求角用含已知角的式子表示，求 解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求 角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角，给值求角的本质还是给值求值，即欲 求某角，也要先求该角的某一三角函数值．由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨 论，确定并求出限定范围内的角．要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的 变换，如α＝(α＋β)－β，α＝α＋β 2 ＋α－β 2 等 题型二，三角函数式的化简与证明：三角函数式的化简：常用方法：①直接应用公式进行降 次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等.（2）化简要求： ①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三 角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数 三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换， 应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题 思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证 明. 题型三. 辅助角公式：函数   sin cosf a b    ( ,a b 为常数)，可以化为    2 2 sinf a b     或    2 2 cosf a b     ，其中 可由 ,a b 的值唯一 确定． 【举一反三】【四川省内江市 2018 届第一次模拟】 0 0 0 0sin20 cos40 cos20 sin140  A. 3 2  B. 3 2 C. 1 2  D. 1 2 【答案】B 故选 B 考点 4 解三角形 【例 6】【安徽省淮南市 2018 届高三第四次联考】在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 2 2 2b a bc  ， 2 3A  ，则角 C 等于( ) A. 6  B. 4  或 3 4  C. 3 4  D. 4  【答案】A 【规律方法】 1.在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也 可能为钝角(或直角)，这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦值为正， 该角一定为锐角，且有唯一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量求余弦值． 2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质， 常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一 结构”，这是使问题获得解决的突破口． 【举一反三】【四川省成都市 2018 届一诊】已知 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为  , , ,2cos cos cos 0.a b c C a C c A b   ， （1）求角 C 的大小；（2）若 2, 2 3,b c  ，求 ABC 的面积. 【解析】(1)  2cos cos cos 0C a C c A b   ，由正弦定理可得  2 0cosC sinAcosC sinBcosA sinB    ，  2 0, 2 0cosCsin A C cosCsinB sinB     即 ，又 10 180 , sin 0, cos , 120 .2B B C C         即 （2）由余弦定理可得 2 2 2 22 3 2 2 2 cos120 2 4a a a a       ，又 10, 2, sin 3,2ABCa a S ab C     ABC 的面积为 3. 考点 5 解三角形在实际生活中应用 【例 7】 “郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员求出，地面指挥中 心的在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为 , ,B C D ）．当返 回舱距地面 1 万米的 P 点的时（假定以后垂直下落，并在 A 点着陆），C 救援中心测得飞船 位于其南偏东 60°方向，仰角为 60°， B 救援中心测得飞船位于其南偏西 30°方向，仰角为 30°， D 救援中心测得着陆点 A 位于其正东方向． （1）求 ,B C 两救援中心间的距离； （2） D 救援中心与着陆点 A 间的距离． 分析： （1）在 Rt PAC 中， 01, 60PA PCA    3 3AC  ．在 Rt PAB 中， 01, 30PA PBA   ，  2 2 30 3BC AC BC   万米；（2） 3 1sin sin ,cos 10 10 ACD ACB ACD         0 3 3 1sin sin 30 2 10 ADC ACD       sin 9 3 sin 13 AC ACDAD ADC     万米． 【规律方法】三角形应用题的解题要点：解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问 题中寻找出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得出所要求的量，从而得到实际问题 的解．有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等．正 确理解和掌握方位角、俯角、仰角对于解决三角形应用题也是必不可少的． 把握解三角形应用题的四步： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系； (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型； (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解； (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 求距离问题的注意事项： (1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未 知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 求解高度问题应注意： (1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水 平线的夹角； (2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图； (3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运 用． 解决测量角度问题的注意事项： (1)明确方位角的含义； (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用． 【举一反三】如图，某城市有一条公路从正西方 AO 通过市中心O 后转向东偏北 角方向 的OB .位于该市的某大学 M 与市中心O 的距离 3 13OM km ，且 AOM   .现要修筑 一条铁路 L ，L 在OA 上设一站 A ，在OB 上设一站 B ，铁路在 AB 部分为直线段，且经过 大学 M .其中 tan 2  ， 3cos 13   ， 15AO km . （Ⅰ）求大学 M 与 A 站的距离 AM ； （Ⅱ）求铁路 AB 段的长 AB . （II）∵ 3cos 13   ，且  为锐角，∴ 2sin 13   ，在 AOM 中，由正弦定理得， sin sin AM OM MAO   ，即 6 2 3 132 sin13 MAO   ，∴ 2sin 2MAO  ，∴ 4MAO   ，∴ 4ABO    ，∵ tan 2  ，∴ 2sin 5   ， 1cos 5   ，∴ 1sin sin( )4 10 ABO     ，又 AOB     ，∴ 2sin sin( ) 5 AOB      ， 在 AOB 中， 15AO  ，由正弦定理得， sin sin AB AO AOB ABO   ，即 15 2 1 5 10 AB  ，∴ 30 2AB  ，即铁路 AB 段的长 AB 为30 2km . 考点 6 平面向量的线性运算 【例 8】【2018 辽宁庄河两校联考】已知直线 分别于半径为 的圆 相切于点 ，若点 在圆 的内部（不包括边界），则实数 的取值范 围是( ) A. B. C. D. 分析：一般动点在圆内可转化为与圆心距离小于半径，因此写出向量 ，再根据向量的平方运算，求出 ，令其小于半径即可求出． 【答案】B 【规律方法】用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量 的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式即可得λ1，λ2 的值． 向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素 材，常见的结论如下： ① 1 ( )3PG PA PB PC       G 为 ABC 的重心，特别地 0PA PB PC P       为 ABC 的重心； ( ), [0, )AB AC     是 BC 边上的中线 AD 上的任意向量，过重心；  1 ,2AD AB AC    等于已知 AD 是 ABC 中 BC 边的中线. ② PA PB PB PC PC PA P           为 ABC 的垂心； ( ) | | cos | | cos AB AC AB B AC C       [0, )   是 △ ABC 的边 BC 的高 AD 上的任意向量，过垂心. ③| | | | | | 0AB PC BC PA CA PB P          ABC 的内心；向量 ( )( 0) | | | | ACAB AB AC       所在直线过 ABC 的内心(是 BAC 的角平分线所在直线). ④ ( ) ( ) ( ) 0OA OB AB OB OC BC OC OA CA                 ， 2 2 2OA OB OC OA OB OC            O 为 ABC 的外心. 向量与平行四边形相关的结论 向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形 ABCD 中，设 ,AB a AC b     ，则有以下的结论： ① ,AB AC a b AD        通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若 CAB D  ,可判断四边形为平行四边形； ② , ,a b AD a b CB         若 0a b a b a b           对角线相等或邻边垂直，则平行四 边形为矩形； ( ) ( ) 0a b a b a b           对角线垂直.则平行四边形为菱形； ③ 2 2 2 2 2 2a b a b a b          说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和； ④|| | | || | | | | | |a b a b a b          ，特别地，当 a b  、 同向或有 0   | | | | | |a b a b       || | | || | |a b a b      ；当 a b  、 反向或有 0   | | | | | |a b a b       || | | || | |a b a b      ；当 a b  、 不共线  || | | || | | | | | |a b a b a b          (这 些和实数比较类似). 【举一反三】【内蒙古呼和浩特市 2018 届质调】已知 , ,A B C 是平面上不共线的三点， O 是 ABC 的重心，动点 P 满足： 1 1 1 23 2 2OP OA OB OC          ，则 P 一定为 ABC 的 A. 重心 B. AB 边中线的三等分点（非重心）C. AB 边中线的中点 D. AB 边的中 点 【答案】B 考点 7 平面向量的数量积 【例 9】如图，在 ABC 中， , 3 , 1AD AB BC BD AD     ，则 AC AD   的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 分析：本题考查向量的数量积的定义和性质，同时考查诱导公式和正弦定理的运用，是关于 向量数量积的常考题型，属于中档题；运用向量的数量积的定义，结合条件可得 CADACACAD  cos ，再由诱导公式可得 BACACACAD  sin ，结合三角形 ABC 中的正弦定理和直角三角形的锐角三角函数的定义，计算即可得到所求值. 【答案】C 【规律方法】1.在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求 向量用共同的基底表示出 ，在利用平面向量的数量积数量积运算法则求解. 2.计算向量 b 在向量 a 方向上的投影有两种思路：思路 1，用| b | cos 计算;思路 2，利用 a b | a | 计算. 3.注意向量的数量积不满足消去率和结合律.4.在计算向量数量积时，若一个向量在另一个 向量上的投影已计算，可以利用向量数量积的几何意义计算. 【举一反三】【内蒙古呼和浩特市 2018 届质调】在 ABC 中， 60A   ， 3AB AC  ， D 是 ABC 所在平面上的一点，若 3BC DC  ，则 DB AD   A. 1 B. 2 C. 5 D. 9 2 【答案】A 【解析】如图，  2 2 2 2,3 3 3 3DB CB AB AC AD AB BD AB AB AC                 1 2 3 3AB AC   . ∴ 2 22 2 1 2 2 4 1 3 3 3 3 9 9 9DB AD AB AC AB AC AB AC AB AC                            2 4 29 9 3 3 cos60 19 9 9            .选 A. 考点 8 平面向量和三角函数的综合问题 【例 10】【2018 河北衡水武邑中点二调】已知锐角 ABC 的外接圆的半径为 1， 6B   ， 则 BA BC  的取值范围为__________． 分析：解题时先由正弦定理把 △ ABC 的边 a，c 用含有 A 的代数式表示，再由三角形为锐角 三角形求出角 A 的范围，把向量的数量积利用三角变换转化为关于 A 的三角函数，最后利 用三角函数的取值范围求解． 【答案】 33, 32     【规律方法】在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数 中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角 函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题 的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量 或者三角函数的知识解决问题． 【举一反三】【】浙江省台州中学 2018 届第三次统练】已知向量 3sin ,14 xm       , 2cos ,cos4 4 x xn       ，记  f x m n   ． (1) 若   1f x  ，求 πcos 3x    的值； (2) 在锐角 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别是 , , ,a b c 且满足 2 cos cosa c B b C  ， 求  2f A 的取值范围． 1. 已知向量 3OA  ， 2OB  ，OC mOA nOB    ，若OA  与OB  的夹角为 60°，且 OC AB  ，则实数 m n 的值为（ ） A. 1 6 B. 1 4 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 · 3 2 cos60 3, , ,OAOB OC mOA nOB OC AB                     2 2 · · · 0mOA nOB AB mOA nOB OB OA m n OAOB mOA nOB                    ，   13 9 4 0, 6 mm n m n n        ，故选 A. 押题依据 平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出条件解决垂直问题已成为近几 年高考的热点． 2．设单位向量 a ， b 的夹角为锐角，若对于任意的  ( , ) ( , ) || | 1, 0x y x y x y xy   …a b ， 都有 8| 2 | 15 x y „ ，则 a b 的最小值为（ ） A． 1 2  B． 1 4  C． 1 4 D． 1 2 【答案】C 押题依据 本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的 方向，本题解法灵活，难度适中． 3．已知函数 2( ) cos 1f x x  （ 0  ）的最小正周期为 π ，若将其图象沿 x 轴向右平移 a （ 0a  ）个单位，所得图象关于 π 3x  对称，则实数 a 的最小值为（ ） A． π B． π 3 C． 3π 4 D． π 4 【答案】B 【解析】由函数 2 1 cos2 1 1( ) cos 1 1 cos22 2 2 xf x x x       的最小正周期为 π ， 所以 1  ，将其图象向右平移 a 个单位可得  1 1cos22 2y x a   的图象，根据其图象关 于 π 3x  对称，可得 2 2 , , ,3 3 2 ka k k a k           ，所以实数 a 的最小值为 π 3 ， 故选 B. 押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求 A，考查了 数形结合思想． 4．已知函数 ( ) 3sin( )f x x   ( 0, )2     的图象过点 3(0, )2A ， B C、 为该图象 上相邻的最高点和最低点，若 4BC  ，则函数 ( )f x 的单调递增区间为 (A) 2 4[2 ,2 ],3 3k k k  Z (B) 2 4[2 π π,2 π π],3 3k k k  Z (C) 2 4[4 π π,4 π π],3 3k k k  Z (D) 5 1[4 ,4 ],3 3k k k  Z 【答案】D 押题依据 三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或 对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三 角恒等变换得到函数的解析式．第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指 定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式． 5. 在 ABC△ 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，满足 3 cos cos c a b A B   ， D 是 AC 边上的 一点． (Ⅰ)求 cos B 的值； (II)若 2AB  ， 2AD DC ， 4 3 3BD  ，求 ABC△ 的面积. 【解析】(Ⅰ)由 3 cos cos c a b A B   ，得 3 cos cos cosc B a B b A  ，3 cos cos cosc B a B b A  ，根 据正弦定理， 3sin cos sin cos sin cosC B A B B A  sin( )A B  sinC ，因为sin 0C  ，所 以 1cos 3B  ． (II)设 BC a ， 2 2AD DC x  ，则在 ABC△ 中，由余弦定理得 2 2AC AB  2BC  2 cosAB BC ABC  ，即 2 2 49 4 3 ax a   ①， 在 ABD△ 中，由余弦定理得 2 2 24 3(2 ) ( ) 23cos 4 32 2 3 x ADB x       ，在 DBC△ 中，由余弦定 理得 押题依据 三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很 好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点．